Hatványhalmaz

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Az {x, y, z} halmaz hatványhalmazának az elemei Hasse-diagrammal ábrázolva

A halmazelméletben egy halmaz hatványhalmazának nevezzük az adott halmaz összes részhalmazainak a halmazát.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha H halmaz, akkor \mathcal{P}(H)-val jelöljük és a H halmaz hatványhalmazának nevezzük a H összes részhalmazainak halmazát. Vagy másképpen: \mathcal{P}(H):=\{x \mid x \subseteq H\} ahol a \subseteq szimbólum a részhalmaz-reláció jele.

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha H az \{a, b, c\} háromelemű halmaz, akkor részhalmazai a következők:

  • nullaelemű részhalmaza az \emptyset üres halmaz
  • egyelemű részhalmazai az \{a\}, a \{b\} és a \{c\}
  • kételemű részhalmazai: \{a, b\}, \{a, c\} és \{b, c\}
  • egyetlen háromelemű részhalmaza saját maga: \{a, b, c\}

Tehát \mathcal{P}(H)=\big\{\emptyset, \{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\big\}

Az axiomatikus elméletek hatványhalmaz fogalmai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Cantor elméletében, a naiv halmazelméletben egyáltalán nem kétséges, hogy minden H halmaz esetén a x\subseteq H kijelentésből képezett \{x\mid x\subseteq H\} halmaz létezik. Az axiomatikus elméletekben ezzel szemben ezt a tényállást axiómában kell rögzíteni. Az ilyen axiómát hatványhalmaz axiómának nevezzük.

Zermelo–Fraenkel-axiómarendszer[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

ZF-ben (és bővítéseiben) hatványhalmaz axiómának nevezzük a következő formulát: (\forall x)(\exists y)(\forall z)((z\in y)\Leftrightarrow(z\subseteq x))

ahol z\subseteq x jelöli az (\forall u)((u\in z)\Rightarrow (u\in x)) formulát.

Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az NBG-ben (lényegében) szabad képezni minden formalizálható T(x) tulajdonságra az {x|T(x)} kifejezést, csak ezt nem minden esetben nevezhetjük halmaznak, hanem csak osztálynak. Azt NBG esetén azt mondjuk, hogy a H kifejezés halmaz, ha levezethető az (\exists y)(H\in y) formula. Ezt a formulát Set(H)-val jelöljük és jelentése: "H halmaz ". Rövidítsük az \{x|x\subseteq H\}-t \mathcal{P}(H)-val. Ekkor a hatványhalmaz axióma a következő formula:

(\forall x)(\mathcal{S}et(x)\Rightarrow\mathcal{S}et(\mathcal{P}(x)))

Bourbaki-halmazelmélet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A francia matematikuscsoport által kidolgozott formális-axiomatikus halmazelméletben minden A formula (itt szintén formalizálható tulajdonságra kell gondolnunk) és x változó esetén \mathcal{C}oll_x(A) jelöli az (\exists y)((x\in y)\Leftrightarrow A(x)) formulát, melynek jelentése: "az A(x) tulajdonságból halmaz képezhető (éspedig az {x|A(x)} halmaz)". Ha \mathcal{C}oll_x(A) tétel, akkor azt mondjuk, hogy az A formula kollektivizáló az x változóban. A hatványhalmaz axióma ekkor a következő formula:

(\forall x)(\mathcal{C}oll_y(y\subseteq x))

ahol y\subseteq x jelöli az (\forall u)((u\in y)\Rightarrow (u\in x)) formulát.

Tételek a hatványhalmazról[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Megjegyzés: Ez a tétel magyarázza a hatványhalmaz elnevezést, és az irodalomban néhol előforduló 2^H:=\mathcal{P}(H) hatványozásra utaló jelölést.
  • Tétel(Cantor-tétel) – Bármely H halmaz esetén \mathcal{P}(H) számossága nagyobb H számosságánál.

Jelben: | \mathcal{P}(H) | > |H|.

Egy hatványhalmaz több algebrai és relációs struktúra alaphalmaza is lehet.

  • Állítás – Ha H halmaz, akkor a
  • (\mathcal{P}(H),\cup) és (\mathcal{P}(H),\cap) (azaz rendre az unióval és a metszettel, mint műveletekkel ellátva) egységelemes, zéróelemes félcsoportok
  • \mathcal{P}(H) a \cup-val és \cap-val mint műveletekkel ellátva Boole-algebrát alkot
  • \mathcal{P}(H) a \subseteq relációval ellátva Boole-hálót alkot.

Továbbá a mértékelmélet számára fontos tény, hogy a \mathcal{P}(H) hatványhalmaz halmazgyűrű, sőt \sigma-algebra (szigma-algebra).

Történeti adalékok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Georg Cantor, halmazelméletének ellentmondásosságát Russelltől függetlenül saját maga is felismerte. Az általa talált Cantor-antinómia a Cantor-tételből következik. Legyen U az összes halmazok halmaza, azaz bármely H halmazra  H\in U . A naiv halmazelmélet szerint bármely halmaznak van hatványhalmaza, így U-nak is. Ekkor a Cantor-tétel szerint fennáll a következő egyenlőtlenség: |U|<|\mathcal{P}(U)|\leq |U|, ami ellentmondás.

Az ellentmondás feloldását az NBG szemléletű osztálykalkulusban tehetjük meg. Eszerint, ugyan lehet képezni a \mathcal{P}(U) összességet, de mivel Set(U) cáfolható, azaz U nem halmaz így a Cantor-tétel, mely csak halmazokra vonatkozik nem használható fel.

Felhasznált irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Bourbaki halmazelméletéről[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Kristóf János, Az analízis logikai alapjai, ELTE jegyzet, 1998.

(A matematika logikai megalapozása Bourbaki szerint, Kristóf János kitűnő tolmácsolásában. A teljes szöveg elektronikus formában itt.)

  • Kristóf János, Az analízis elemei. I., ELTE jegyzet, 1996.

(A halmazelmélet és az analízis megalapozása Bourbaki szerint. A teljes szöveg elektronikus formában itt.)

  • Nikolas Bourbaki, Théorie des Ensembles, de la collection éléments de Mathématique, Hermann, Paris 1970. (gyakran orosz kiadásban: Tyeorija mnozsensztvo)
  • Cikk a Bourbaki-csoportról