Hatványhalmaz

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Az {x, y, z} halmaz hatványhalmazának az elemei Hasse-diagrammal ábrázolva

A halmazelméletben egy halmaz hatványhalmazának nevezzük az adott halmaz összes részhalmazainak a halmazát.

Definíció[szerkesztés]

Ha halmaz, akkor -val jelöljük és a halmaz hatványhalmazának nevezzük a összes részhalmazainak halmazát. Vagy másképpen: ahol a szimbólum a részhalmaz-reláció jele.

Példa[szerkesztés]

Ha az háromelemű halmaz, akkor részhalmazai a következők:

  • nullaelemű részhalmaza az üres halmaz
  • egyelemű részhalmazai az , a és a
  • kételemű részhalmazai: , és
  • egyetlen háromelemű részhalmaza saját maga:

Tehát

Az axiomatikus elméletek hatványhalmaz fogalmai[szerkesztés]

Cantor elméletében, a naiv halmazelméletben egyáltalán nem kétséges, hogy minden H halmaz esetén a kijelentésből képezett halmaz létezik. Az axiomatikus elméletekben ezzel szemben ezt a tényállást axiómában kell rögzíteni. Az ilyen axiómát hatványhalmaz axiómának nevezzük.

Zermelo–Fraenkel-axiómarendszer[szerkesztés]

ZF-ben (és bővítéseiben) hatványhalmaz axiómának nevezzük a következő formulát:

ahol jelöli az formulát.

Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet[szerkesztés]

Az NBG-ben (lényegében) szabad képezni minden formalizálható T(x) tulajdonságra az {x|T(x)} kifejezést, csak ezt nem minden esetben nevezhetjük halmaznak, hanem csak osztálynak. Azt NBG esetén azt mondjuk, hogy a H kifejezés halmaz, ha levezethető az formula. Ezt a formulát Set(H)-val jelöljük és jelentése: "H halmaz ". Rövidítsük az -t -val. Ekkor a hatványhalmaz axióma a következő formula:

Bourbaki-halmazelmélet[szerkesztés]

A francia matematikuscsoport által kidolgozott formális-axiomatikus halmazelméletben minden A formula (itt szintén formalizálható tulajdonságra kell gondolnunk) és x változó esetén jelöli az formulát, melynek jelentése: "az A(x) tulajdonságból halmaz képezhető (éspedig az {x|A(x)} halmaz)". Ha tétel, akkor azt mondjuk, hogy az A formula kollektivizáló az x változóban. A hatványhalmaz axióma ekkor a következő formula:

ahol jelöli az formulát.

Tételek a hatványhalmazról[szerkesztés]

  • Tétel – Ha H véges halmaz és elemszáma az n természetes szám, akkor H hatványhalmazának számossága .
Megjegyzés: Ez a tétel magyarázza a hatványhalmaz elnevezést, és az irodalomban néhol előforduló hatványozásra utaló jelölést.
  • Tétel(Cantor-tétel) – Bármely H halmaz esetén számossága nagyobb H számosságánál.

Jelben: .

  • Tétel – A természetes számok hatványhalmazának számossága megegyezik a valós számok halmazának számosságával, azaz kontinuum-számosságú. Tömören: .

Egy hatványhalmaz több algebrai és relációs struktúra alaphalmaza is lehet.

  • Állítás – Ha H halmaz, akkor a
  • és (azaz rendre az unióval és a metszettel, mint műveletekkel ellátva) egységelemes, zéróelemes félcsoportok
  • a -val és -val mint műveletekkel ellátva Boole-algebrát alkot
  • a relációval ellátva Boole-hálót alkot.

Továbbá a mértékelmélet számára fontos tény, hogy a hatványhalmaz halmazgyűrű, sőt -algebra (szigma-algebra).

Történeti adalékok[szerkesztés]

Georg Cantor, halmazelméletének ellentmondásosságát Russelltől függetlenül saját maga is felismerte. Az általa talált Cantor-antinómia a Cantor-tételből következik. Legyen U az összes halmazok halmaza, azaz bármely H halmazra . A naiv halmazelmélet szerint bármely halmaznak van hatványhalmaza, így U-nak is. Ekkor a Cantor-tétel szerint fennáll a következő egyenlőtlenség: , ami ellentmondás.

Az ellentmondás feloldását az NBG szemléletű osztálykalkulusban tehetjük meg. Eszerint, ugyan lehet képezni a összességet, de mivel Set(U) cáfolható, azaz U nem halmaz így a Cantor-tétel, mely csak halmazokra vonatkozik nem használható fel.

Felhasznált irodalom[szerkesztés]

Bourbaki halmazelméletéről[szerkesztés]

  • Kristóf János, Az analízis logikai alapjai, ELTE jegyzet, 1998.

(A matematika logikai megalapozása Bourbaki szerint, Kristóf János kitűnő tolmácsolásában. A teljes szöveg elektronikus formában itt.)

  • Kristóf János, Az analízis elemei I., ELTE jegyzet, 1996.

(A halmazelmélet és az analízis megalapozása Bourbaki szerint. A teljes szöveg elektronikus formában itt.)

  • Nikolas Bourbaki, Théorie des Ensembles, de la collection éléments de Mathématique, Hermann, Paris 1970. (gyakran orosz kiadásban: Tyeorija mnozsensztvo)
  • Cikk a Bourbaki-csoportról