Hatványhalmaz

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
Az {x, y, z} halmaz hatványhalmazának az elemei Hasse-diagrammal ábrázolva

A halmazelméletben egy halmaz hatványhalmazának nevezzük az adott halmaz összes részhalmazainak a halmazát. A halmazok halmazát Ernst Zermelo és Gerhard Hessenberg is vizsgálta. A hatványhalmaz elnevezés későbbi.

Definíció[szerkesztés]

Ha halmaz, akkor -val jelöljük és a halmaz hatványhalmazának nevezzük a összes részhalmazainak halmazát. Vagy másképpen: ahol a szimbólum a részhalmaz-reláció jele.

A hatványhalmaz halmazrendszer, azaz egy olyan halmaz, melynek elemei halmazok. A rendszer elemei közé tartoznak a nem valódi részhalmazok, így az üres halmaz, és is. További jelölései: és .

Példa[szerkesztés]

Ha az háromelemű halmaz, akkor részhalmazai a következők:

  • nullaelemű részhalmaza az üres halmaz
  • egyelemű részhalmazai az , a és a
  • kételemű részhalmazai: , és
  • egyetlen háromelemű részhalmaza saját maga:

Tehát

További példák:

Egy halmazrendszer, például egy topológia vagy σ-algebra az alapjukul szolgáló tér, mint ponthalmaz hatványhalmazának részhalmaza, azaz eleme.

Tételek a hatványhalmazról[szerkesztés]

  • Tétel – Ha H véges halmaz és elemszáma az n természetes szám, akkor H hatványhalmazának számossága .
Megjegyzés: Ez a tétel magyarázza a hatványhalmaz elnevezést, és az irodalomban néhol előforduló hatványozásra utaló jelölést.
  • Tétel(Cantor-tétel) – Bármely H halmaz esetén számossága nagyobb H számosságánál.

Jelben: .

  • Tétel – A természetes számok hatványhalmazának számossága megegyezik a valós számok halmazának számosságával, azaz kontinuum-számosságú. Tömören: .

Egy hatványhalmaz több algebrai és relációs struktúra alaphalmaza is lehet.

  • Állítás – Ha H halmaz, akkor a
  • és (azaz rendre az unióval és a metszettel, mint műveletekkel ellátva) egységelemes, zéróelemes félcsoportok
  • a -val és -val mint műveletekkel ellátva Boole-algebrát alkot
  • a relációval ellátva Boole-hálót alkot.

Továbbá a mértékelmélet számára fontos tény, hogy a hatványhalmaz halmazgyűrű, sőt -algebra (szigma-algebra).

Struktúrája[szerkesztés]

A tartalmazás reláció részben rendezés a hatványhalmazon, de nem teljes rendezés, ha a teljes halmaz legalább kételemű. A legkisebb elem az , a legnagyobb a teljes halmaz.

A részben rendezés teljes háló. Ez azt jelenti, hogy minden részhalmazának van közös legnagyobb alsó korlátja és legkisebb felső korlátja. Konkrétan ez a metszet, illetve az unió. Jelben, ha , akkor:

A legnagyobb, illetve legkisebb elemek legnagyobb alsó korlátja, illetve legkisebb felső korlátja:

Ha hozzávesszük a komplementerképzést, mint , akkor Boole-háló, azaz distributív és komplementeres háló.

Minden Boole-háló indukál egy egyértelmű kommutatív gyűrűszerkezetet, ez az úgynevezett Boole-gyűrű. Műveletei az halmazon a szimmetrikus differencia, mint összeadás, és a metszet, mint szorzás. Az összeadás semleges eleme az üres halmaz, és a szorzás semleges eleme a teljes halmaz.

Karakterisztikus függvény[szerkesztés]

Ha az alaphalmaz , akkor minden részhalmazhoz hozzárendelhető egy karakterisztikus függvény, amelyre:

Ez bijekció és között. Ez motiválja a és a jelöléseket, mivel a természetes számok Neumann-modelljében (általában: )

Az megfeleltetés tisztán bijekció, azonban megfelelő műveleteket definiálva izomorfizmussá tehető.

Számossága[szerkesztés]

A következőkben jelöli egy halmaz számosságát.

  • Ha véges, akkor .
  • Minden halmazra teljesül Cantor tétele: .

Végtelen halmaz esetén is jelölik -nel a hatványhalmaz számosságát. Az általánosított kontinuumhipotézis szerint, ha az halmaz végtelen, akkor az számosság után az a közvetlenül következő számosság:

Az axiomatikus elméletek hatványhalmaz-fogalmai[szerkesztés]

Cantor elméletében, a naiv halmazelméletben egyáltalán nem kétséges, hogy minden H halmaz esetén a kijelentésből képezett halmaz létezik. Az axiomatikus elméletekben ezzel szemben ezt a tényállást axiómában kell rögzíteni. Az ilyen axiómát hatványhalmaz-axiómának nevezzük.

Zermelo–Fraenkel-axiómarendszer[szerkesztés]

ZF-ben (és bővítéseiben) hatványhalmaz-axiómának nevezzük a következő formulát:

ahol jelöli az formulát.

Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet[szerkesztés]

Az NBG-ben (lényegében) szabad képezni minden formalizálható T(x) tulajdonságra az {x|T(x)} kifejezést, csak ezt nem minden esetben nevezhetjük halmaznak, hanem csak osztálynak. Azt NBG esetén azt mondjuk, hogy a H kifejezés halmaz, ha levezethető az formula. Ezt a formulát Set(H)-val jelöljük és jelentése: „H halmaz”. Rövidítsük az -t -val. Ekkor a hatványhalmaz-axióma a következő formula:

Bourbaki-halmazelmélet[szerkesztés]

A francia matematikuscsoport által kidolgozott formális-axiomatikus halmazelméletben minden A formula (itt szintén formalizálható tulajdonságra kell gondolnunk) és x változó esetén jelöli az formulát, melynek jelentése: „az A(x) tulajdonságból halmaz képezhető (éspedig az {x|A(x)} halmaz)”. Ha tétel, akkor azt mondjuk, hogy az A formula kollektivizáló az x változóban. A hatványhalmaz-axióma ekkor a következő formula:

ahol jelöli az formulát.

Hasonló konstrukciók[szerkesztés]

Ha egy halmaz, akkor azt a halmazrendszert jelöli, mely az halmaz -nál kevesebb elemet tartalmazó részhalmazaiból áll. Például . A teljes halmaz hiányzik, hiszen nem tartalmaz kevesebb, mint három elemet.

A hatványképzés kiterjeszthető osztályokra is. Itt arra kell vigyázni, hogy valódi osztályok nem állhatnak az reláció bal oldalán. Egy K osztály hatványa az az osztály, melynek elemei azok a halmazok, amelyek elemei mind K-beliek. Tehát a hatványhalmaz az osztály részhalmazaiból áll. Valódi osztály hatványhalmaza valódi osztály, mivel egyenként elemei a K elemeiből alkotott egyelemű halmazok, de nem eleme a teljes K osztály. Viszont az üres halmaz eleme.

Történeti adalékok[szerkesztés]

Georg Cantor, halmazelméletének ellentmondásosságát Russelltől függetlenül saját maga is felismerte. Az általa talált Cantor-antinómia a Cantor-tételből következik. Legyen U az összes halmazok halmaza, azaz bármely H halmazra . A naiv halmazelmélet szerint bármely halmaznak van hatványhalmaza, így U-nak is. Ekkor a Cantor-tétel szerint fennáll a következő egyenlőtlenség: , ami ellentmondás.

Az ellentmondás feloldását az NBG szemléletű osztálykalkulusban tehetjük meg. Eszerint, ugyan lehet képezni a összességet, de mivel Set(U) cáfolható, azaz U nem halmaz így a Cantor-tétel, mely csak halmazokra vonatkozik nem használható fel.

További információk[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

  • Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20401-6.

Bourbaki halmazelméletéről[szerkesztés]

  • Kristóf János, Az analízis logikai alapjai, ELTE jegyzet, 1998.

(A matematika logikai megalapozása Bourbaki szerint, Kristóf János kitűnő tolmácsolásában. A teljes szöveg elektronikus formában itt.)

  • Kristóf János, Az analízis elemei I., ELTE jegyzet, 1996.

(A halmazelmélet és az analízis megalapozása Bourbaki szerint. A teljes szöveg elektronikus formában itt.)

  • Nikolas Bourbaki, Théorie des Ensembles, de la collection éléments de Mathématique, Hermann, Paris 1970. (gyakran orosz kiadásban: Tyeorija mnozsensztvo)
  • Cikk a Bourbaki-csoportról

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Potenzmenge című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.