Félcsoport

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A matematikában az asszociatív grupoidokat félcsoportoknak nevezzük. Részletesebben ez azt jelenti, hogy a félcsoport egy olyan egyműveletes algebrai struktúra, amelyben a binér művelet asszociatív. Ha a művelet kommutatív is, akkor kommutatív félcsoportról beszélünk.

Definíció[szerkesztés]

Legyen tetszőleges grupoid. Azt mondjuk, hogy félcsoport, ha a művelet asszociatív, azaz ha az un. alaphalmaz tetszőleges elemeire teljesül. Ha a művelet kommutatív is, azaz teljesül tetszőleges elemekre, akkor kommutatív félcsoportról beszélünk.

Tetszőleges félcsoportban érvényes az általános asszociativitás törvénye, azaz a művelet eredménye nem függ a zárójelezéstől, csupán a vizsgált kifejezésben szereplő elemek sorrendjétől. Kommutatív félcsoportban érvényes az általános kommutativitás törvénye, azaz a művelet eredménye nem csak a zárójelezéstől független, hanem a kifejezésben szereplő elemek sorrendjétől is.

Egy félcsoport tetszőleges eleme esetén az elemet kétféleképpen szoktuk jelölni. Vagy (a számok összegének mintájára) , vagy pedig (a számok szorzatának mintájára) módon. Ilyenkor azt is szoktuk mondani, hogy (az első esetben) additív írásmódot, illetve (a második esetben) multiplikatív írásmódot használunk, a művelet jeleként pedig az összeadás, illetve a szorzás jelét használjuk; multiplikatív írásmód esetén gyakran el is hagyjuk a szorzás jelét: helyett -t írunk. Additív írásmód esetén az -tagú összeget , multiplikatív írásmód esetén az -tényezős szorzatot módon jelöljük; itt pozitív egész szám. Egy félcsoport tetszőleges és elemeire és tetszőleges pozitív egészekre érvényesek az alábbiak.

Additív írásmód esetén:

  • Ha a félcsoport kommutatív, akkor

Multiplikatív írásmód esetén:

  • Ha a félcsoport kommutatív, akkor

A továbbiakban multiplikatív írásmódot használunk, és a félcsoportokat csak az alaphalmazukkal jelöljük.

Részfélcsoport, ideál[szerkesztés]

Egy félcsoport részfélcsoportján az halmaz olyan nem üres részhalmazát értjük, amely maga is félcsoport az -beli műveletre nézve, azaz tetszőleges elemek esetén .

Egy félcsoport részfélcsoportját az egy bal (jobb) oldali ideáljának nevezzük, ha tetszőleges és elemekre () teljesül. Ha az bal oldali és egyben jobb oldali ideálja is, akkor -ről azt mondjuk, hogy az egy ideálja. Minden félcsoportnak egy bal oldali ideálja (jobb oldali ideálja, ideálja). Ha -nek nincs önmagától különböző (azaz valódi) bal oldali ideálja (jobb oldali ideálja, ideálja), akkor az félcsoportot bal egyszerű (jobb egyszerű, egyszerű) félcsoportnak nevezzük.

Kitüntetett elemek félcsoportban[szerkesztés]

Azt mondjuk, hogy egy félcsoport eleme a félcsoport bal (jobb) oldali egységeleme, ha tetszőleges elemre () teljesül. Egy félcsoport valamely elemét a félcsoport egységelemének nevezzük, ha az a félcsoport bal oldali és egyben jobb oldali egységeleme is. Minden félcsoportnak legfeljebb egy egységeleme van. Egy egységelemes félcsoportot monoidnak nevezünk.

Akkor mondjuk, hogy egy egységelemes félcsoport eleme egy elem bal (jobb) oldali inverze, ha (). A elemet az elem inverzének nevezzük, ha az -nak bal oldali és egyben jobb oldali inverze is. Egy monoid minden elemének legfeljebb egy inverze van.

Egy olyan monoidot, amelyben minden elemnek van inverze, csoportnak nevezünk.

Egy félcsoport eleméről azt mondjuk, hogy a félcsoport bal (jobb) oldali nulleleme, ha tetszőleges elemre () teljesül. Egy félcsoport valamely elemét a félcsoport nullelemének nevezzük, ha az a félcsoport bal oldali és egyben jobb oldali nullelem is.

Egy félcsoport elemét idempotens elemnek nevezzük, ha . Egy félcsoport egységeleme, illetve nulleleme idempotens elemek. Kötegen olyan félcsoportot értünk, melynek minden eleme idempotens elem. Egy kommutatív köteget félhálónak nevezünk.

Egy félcsoport eleméről azt mondjuk, hogy a félcsoport reguláris eleme, ha van -nek olyan eleme, melyre teljesül. Világos, hogy egy félcsoport minden idempotens eleme reguláris elem. Egy olyan félcsoportot, melyben minden elem reguláris elem reguláris félcsoportnak nevezünk.

Egy félcsoport eleméről azt mondjuk, hogy egy elem Neumann-féle inverze, ha és . Világos, hogy ha Neumann-féle inverze -nak, akkor Neumann-féle inverze -nek (azaz és egymás Neumann-féle inverzei). Könnyen ellenőrizhető, hogy ha egy félcsoport reguláris eleme úgy, hogy , akkor és egymás Neumann-féle inverzei. Ha egy reguláris félcsoportban minden elemnek pontosan egy Neumann-féle inverze van, akkor a félcsoportot inverz félcsoportnak nevezzük.

Példák félcsoportokra[szerkesztés]

  • A természetes számok halmaza az összeadás művelettel.
  • A természetes számok halmaza a szorzás művelettel.
  • Tetszőleges nem üres halmaz az () művelettel. Ebben a félcsoportban minden elem jobb oldali egységelem, és minden elem bal oldali nullelem (az ilyen félcsoportokat balzéró félcsoportoknak nevezzük). minden eleme idempotens elem, tehát egy köteg.
  • Tetszőleges nem üres halmaz az () művelettel. Ebben a félcsoportban minden elem bal oldali egységelem, és minden elem jobb oldali nullelem (az ilyen félcsoportokat jobbzéró félcsoportoknak nevezzük). minden eleme idempotens elem, tehát egy köteg.
  • Tetszőleges és nem üres halmazok esetén az Descartes szorzat, ahol a művelet a következőképpen van értelmezve . Ez a félcsoport egy speciális köteg; az ilyen félcsoportot derékszögű kötegnek nevezzük.
  • Tetszőleges nem üres halmaz összes önmagába való egyértelmű leképezéseinek (azaz transzformációinak) halmaza, ahol a művelet a leképezések szokásos kompozíciója. Ezt a félcsoportot az halmaz feletti teljes transzformációfélcsoportnak nevezzük.

Tulajdonságok[szerkesztés]

  • Minden félcsoport izomorf egy teljes transzformációfélcsoport valamely részfélcsoportjával.
  • Ha egy félcsoportnak van jobb oldali és bal oldali egységeleme, akkor ez a félcsoport egyetlen jobb oldali egységeleme, egyetlen bal oldali egységeleme, s így egyetlen egységeleme.
  • Egy félcsoport akkor és csak akkor csoport, ha a művelet invertálható, azaz tetszőleges elemekhez megadhatók olan elemek, melyekre és teljesülnek.
  • Egy félcsoport akkor és csak akkor csoport, ha van egy bal oldali egységeleme és minden elemének van -re vonatkozó bal oldali inverze, azaz létezik olyan elem, melyre teljesül.
  • Érvényes az előző tétel duálisa, azaz egy félcsoport akkor és csak akkor csoport, ha van egy jobb oldali egységeleme és minden elemének van -re vonatkozó jobb oldali inverze, azaz létezik olyan elem, melyre teljesül.
  • Ha egy félcsoportnak van jobb oldali és bal oldali nulleleme, akkor ez a félcsoport egyetlen jobb oldali nulleme, egyetlen bal oldali nulleleme, s így egyetlen nulleleme.
  • Ha egy félcsoport reguláris eleme úgy, hogy teljesül valmely elemre, akkor az és elemek a félcsoport idempotens elemei.
  • Egy reguláris félcsoport akkor és csak akkor inverz félcsoport, ha idempotens elemei felcserélhetők egymással, azaz teljesül a félcsoport tetszőleges és idempotens elemeire.
  • Egy köteg akkor és csak akkor derékszögű köteg, ha tetszőleges és elemeire teljesül.
  • Egy félcsoport akkor és csak akkor derékszögű köteg, ha izomorf egy balzéró félcsoportnak és egy jobbzéró félcsoportnak a direkt szorzatával.
  • Egy félcsoport akkor és csak akkor bal egyszerű (jobb egyszerű, egyszerű), ha tetszőleges elem esetén (, ) teljesül.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Hivatkozások[szerkesztés]

  • A.H. Clifford and G.B. Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., I (1961), II (1967)
  • A. Nagy, Special Classes of Semigroups, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 2001
  • Rédei László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
  • Szendrei Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)

Források[szerkesztés]