Félcsoport

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában az asszociatív grupoidokat félcsoportoknak nevezzük. Részletesebben ez azt jelenti, hogy a félcsoport egy olyan egyműveletes algebrai struktúra, amelyben definiálva van egy kétváltozós, asszociatív művelet.

Ha az adott műveletet (A; + ) módon jelöltük, akkor általában összeadásként, ha pedig (A; \cdot ) módon jelöltük, akkor általában szorzásként beszélünk róla, de ez nem jelenti azt, hogy a számok összeadásáról vagy szorzásáról van szó, hiszen a definícióban ezt nem követeltük meg.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen (A; \cdot ) tetszőleges grupoid. Azt mondjuk, hogy (A; \cdot ) félcsoport, ha tetszőleges a, b, c \in A elemekre

a\cdot (b\cdot c) = (a \cdot b)\cdot c

teljesül.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Tetszőleges félcsoportban teljesül az általános asszociativitás tétele, ami azt jelenti, hogy az asszociativitás kiterjeszthető n \in \mathbb{N} elemre, azaz egy n-tényezős szorzatban sem a függ végeredmény a zárójelezés sorrendjétől, ezért a zárójelezés elhagyható.
  • Tetszőleges (A; \cdot ) félcsoportban teljesül, hogy reguláris elemek szorzata reguláris elem, azaz tetszőleges félcsoport reguláris elemei (ha léteznek) félcsoportot alkotnak.
  • Tetszőleges félcsoport bármely reguláris elemének vagy van inverze, vagy pedig nincs balinverze. (Illetve ennek az állításnak természetesen a duálisa is teljesül.)
  • Bármely (A; \cdot ) félcsoport tetszőleges a \in A idempotens elemére akkor és csak akkor teljesül a bal oldali egyszerűsítési szabály, ha a balegységelem.
  • Félcsoportban a reguláris és idempotens elem egységelem.
  • Ha (A; \cdot ) véges félcsoport és van reguláris eleme, akkor van egységeleme.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Rédei, László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
  • Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]