Félcsoport

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában az asszociatív grupoidokat félcsoportoknak nevezzük. Részletesebben ez azt jelenti, hogy a félcsoport egy olyan egyműveletes (S; * ) algebrai struktúra, amelyben a  * binér művelet asszociatív. Ha a * művelet kommutatív is, akkor kommutatív félcsoportról beszélünk.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen (S; * ) tetszőleges grupoid. Azt mondjuk, hogy (S; * ) félcsoport, ha a * művelet asszociatív, azaz ha az S un. alaphalmaz tetszőleges a, b, c elemeire a * (b * c) = (a * b) * c teljesül. Ha a * művelet kommutatív is, azaz a*b=b*a teljesül tetszőleges a, b\in S elemekre, akkor kommutatív félcsoportról beszélünk.

Tetszőleges (S; * ) félcsoportban érvényes az általános asszociativitás törvénye, azaz a * művelet eredménye nem függ a zárójelezéstől, csupán a vizsgált kifejezésben szereplő elemek sorrendjétől. Kommutatív félcsoportban érvényes az általános kommutativitás törvénye, azaz a művelet eredménye nem csak a zárójelezéstől független, hanem a kifejezésben szereplő elemek sorrendjétől is.

Egy (S; * ) félcsoport tetszőleges a eleme esetén az a*a elemet kétféleképpen szoktuk jelölni. Vagy (a számok összegének mintájára) 2a, vagy pedig (a számok szorzatának mintájára) a^2 módon. Ilyenkor azt is szoktuk mondani, hogy (az első esetben) additív írásmódot, illetve (a második esetben) multiplikatív írásmódot használunk, a művelet jeleként pedig az összeadás, illetve a szorzás jelét használjuk; multiplikatív írásmód esetén gyakran el is hagyjuk a szorzás jelét: a \cdot b helyett ab-t írunk. Additív írásmód esetén az n-tagú a+\cdots +a összeget na, multiplikatív írásmód esetén az n-tényezős a\cdots a szorzatot a^n módon jelöljük; itt n pozitív egész szám. Egy félcsoport tetszőleges a és b elemeire és tetszőleges n, m pozitív egészekre érvényesek az alábbiak.

Additív írásmód esetén:

  • (n+m)a=na+ma,
  • (nm)a=n(ma)=m(na),
  • Ha a félcsoport kommutatív, akkor n(a+b)=na+nb.

Multiplikatív írásmód esetén:

  • a^{(n+m)}=a^na^m,
  • a^{(nm)}=(a^n)^m=(a^m)^n,
  • Ha a félcsoport kommutatív, akkor (ab)^n=a^nb^n.

A továbbiakban multiplikatív írásmódot használunk, és a félcsoportokat csak az alaphalmazukkal jelöljük.

Részfélcsoport, ideál[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy S félcsoport részfélcsoportján az S halmaz olyan nem üres B részhalmazát értjük, amely maga is félcsoport az S-beli műveletre nézve, azaz tetszőleges b_1, b_2\in B elemek esetén b_1b_2\in B.

Egy S félcsoport B részfélcsoportját az S egy bal (jobb) oldali ideáljának nevezzük, ha tetszőleges s\in S és b\in B elemekre sb\in B (bs\in B) teljesül. Ha B az S bal oldali és egyben jobb oldali ideálja is, akkor B-ről azt mondjuk, hogy az S egy ideálja. Minden S félcsoportnak S egy bal oldali ideálja (jobb oldali ideálja, ideálja). Ha S-nek nincs önmagától különböző (azaz valódi) bal oldali ideálja (jobb oldali ideálja, ideálja), akkor az S félcsoportot bal egyszerű (jobb egyszerű, egyszerű) félcsoportnak nevezzük.

Kitüntetett elemek félcsoportban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Azt mondjuk, hogy egy S félcsoport e eleme a félcsoport bal (jobb) oldali egységeleme, ha tetszőleges a\in S elemre ea=a (ae=a) teljesül. Egy félcsoport valamely elemét a félcsoport egységelemének nevezzük, ha az a félcsoport bal oldali és egyben jobb oldali egységeleme is. Minden félcsoportnak legfeljebb egy egységeleme van. Egy egységelemes félcsoportot monoidnak nevezünk.

Akkor mondjuk, hogy egy e egységelemes S félcsoport b eleme egy a\in S elem bal (jobb) oldali inverze, ha ba=e (ab=e). A b elemet az a elem inverzének nevezzük, ha b az a-nak bal oldali és egyben jobb oldali inverze is. Egy monoid minden elemének legfeljebb egy inverze van.

Egy olyan monoidot, amelyben minden elemnek van inverze csoportnak nevezünk.

Egy S félcsoport 0 eleméről azt mondjuk, hogy a félcsoport bal (jobb) oldali nulleleme, ha tetszőleges a\in S elemre 0a=0 (a0=0) teljesül. Egy félcsoport valamely elemét a félcsoport nullelemének nevezzük, ha az a félcsoport bal oldali és egyben jobb oldali nullelem is.

Egy félcsoport e elemét idempotens elemnek nevezzük, ha e^2=e. Egy félcsoport egységeleme, illetve nulleleme idempotens elemek. Kötegen olyan félcsoportot értünk, melynek minden eleme idempotens elem. Egy kommutatív köteget félhálónak nevezünk.

Egy S félcsoport a eleméről azt mondjuk, hogy a félcsoport reguláris eleme, ha van S-nek olyan x eleme, melyre axa=a teljesül. Világos, hogy egy félcsoport minden idempotens eleme reguláris elem. Egy olyan félcsoportot, melyben minden elem reguláris elem reguláris félcsoportnak nevezünk.

Egy S félcsoport b eleméről azt mondjuk, hogy egy a\in S elem Neumann-féle inverze, ha aba=a és bab=b. Világos, hogy ha b Neumann-féle inverze a-nak, akkor a Neumann-féle inverze b-nek (azaz a és b egymás Neumann-féle inverzei). Könnyen ellenőrizhető, hogy ha a egy S félcsoport reguláris eleme úgy, hogy axa=a, akkor a és xax egymás Neumann-féle inverzei. Ha egy reguláris félcsoportban minden elemnek pontosan egy Neumann-féle inverze van, akkor a félcsoportot inverz félcsoportnak nevezzük.

Példák félcsoportokra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • A természetes számok halmaza az összeadás művelettel.
  • A természetes számok halmaza a szorzás művelettel.
  • Tetszőleges L nem üres halmaz az a*b:=a (a, b\in L) művelettel. Ebben a félcsoportban minden elem jobb oldali egységelem, és minden elem bal oldali nullelem (az ilyen félcsoportokat balzéró félcsoportoknak nevezzük). L minden eleme idempotens elem, tehát L egy köteg.
  • Tetszőleges R nem üres halmaz az a*b:=b (a, b\in R) művelettel. Ebben a félcsoportban minden elem bal oldali egységelem, és minden elem jobb oldali nullelem (az ilyen félcsoportokat jobbzéró félcsoportoknak nevezzük). R minden eleme idempotens elem, tehát R egy köteg.
  • Tetszőleges X és Y nem üres halmazok esetén az X\times Y Descartes szorzat, ahol a művelet a következőképpen van értelmezve (x_1, y_1)(x_2, y_2)=(x_1, y_2). Ez a félcsoport egy speciális köteg; az ilyen félcsoportot derékszögű kötegnek nevezzük.
  • Tetszőleges nem üres X halmaz összes önmagába való egyértelmű leképezéseinek (azaz transzformációinak) T_X halmaza, ahol a művelet a leképezések szokásos kompozíciója. Ezt a félcsoportot az X halmaz feletti teljes transzformációfélcsoportnak nevezzük.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Minden félcsoport izomorf egy teljes transzformációfélcsoport valamely részfélcsoportjával.
  • Ha egy félcsoportnak van jobb oldali és bal oldali egységeleme, akkor ez a félcsoport egyetlen jobb oldali egységeleme, egyetlen bal oldali egységeleme, s így egyetlen egységeleme.
  • Egy S félcsoport akkor és csak akkor csoport, ha a művelet invertálható, azaz tetszőleges a, b\in S elemekhez megadhatók olan x, y\in S elemek, melyekre ax=b és ya=b teljesülnek.
  • Egy S félcsoport akkor és csak akkor csoport, ha van egy e bal oldali egységeleme és S minden a elemének van e-re vonatkozó bal oldali inverze, azaz létezik olyan b\in S elem, melyre ba=e teljesül.
  • Érvényes az előző tétel duálisa, azaz egy S félcsoport akkor és csak akkor csoport, ha van egy e jobb oldali egységeleme és S minden a elemének van e-re vonatkozó jobb oldali inverze, azaz létezik olyan b\in S elem, melyre ab=e teljesül.
  • Ha egy félcsoportnak van jobb oldali és bal oldali nulleleme, akkor ez a félcsoport egyetlen jobb oldali nulleme, egyetlen bal oldali nulleleme, s így egyetlen nulleleme.
  • Ha a egy S félcsoport reguláris eleme úgy, hogy axa=a teljesül valmely x\in S elemre, akkor az ax és xa elemek a félcsoport idempotens elemei.
  • Egy reguláris félcsoport akkor és csak akkor inverz félcsoport, ha idempotens elemei felcserélhetők egymással, azaz ef=fe teljesül a félcsoport tetszőleges e és f idempotens elemeire.
  • Egy köteg akkor és csak akkor derékszögű köteg, ha tetszőleges a és b elemeire aba=a teljesül.
  • Egy félcsoport akkor és csak akkor derékszögű köteg, ha izomorf egy balzéró félcsoportnak és egy jobbzéró félcsoportnak a direkt szorzatával.
  • Egy S félcsoport akkor és csak akkor bal egyszerű (jobb egyszerű, egyszerű), ha tetszőlege a\in S elem esetén Sa=S (aS=S, SaS=S) teljesül.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • A.H. Clifford and G.B. Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., I (1961), II (1967)
  • A. Nagy, Special Classes of Semigroups, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 2001
  • Rédei László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
  • Szendrei Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]