Sík (geometria)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A sík a geometriában, azon belül tipikusan a háromdimenziós térgeometriában fontos fogalom.

Definíciója[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Euklidész az Elemekben (az egyeneshez hasonlóan) előbb a felületet definiálja: Felület az, aminek csak hosszúsága és szélessége van, és csak ezután határozza meg a síkot: Síkfelület az, amelyik a rajta levő egyenesekhez viszonyítva egyenlően fekszik. Ma már a síkot is alapfogalomnak tekintjük a geometriában, tehát nem definiáljuk.

Jellemzése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hogy pontosan mit jelent a sík, azt mindenki magának határozza meg (a mindennapi tapasztalataival összhangban). Geometriai szempontból a sík legfontosabb tulajdonságai:

  • kétdimenziós objektum[1], azaz két irányban végtelen, a harmadik irányban 0 a kiterjedése.
  • három nem kollineáris[2] pont egyértelműen meghatározza, azaz ha két síknak létezik három nem kollineáris közös pontja, akkor az összes pontjuk közös.
  • Ha két síknak létezik egy közös pontja, akkor létezik olyan egyenes, ami mindkét síkra illeszkedik.

Sík megadása az analitikus geometriában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy sík egyenlete
Olyan egyenlet, melyet a sík minden pontja teljesít, és ha egy pont teljesíti, akkor rajta van a síkon.
  • Ha adott a sík egy pontja (x_0;y_0;z_0) és egy normálvektora[3]: Ax+By+Cz+D=0, ahol A, B és C rendre a sík normálvektorának első, második és harmadik koordinátáit jelölik[4], a D konstansra pedig -D=Ax_0+By_0+Cz_0 teljesül.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Az n dimenziós geometriában a hasonlóan fontos objektumok az n-1 dimenziós hipersíkok. Ezekre lényegében minden az itt leírt tulajdonságokkal analóg módon levezethető. Ld: két dimenzióban a hipersík az egyenes → egyenlete Ax+By+C=0 alakú!
  2. Nem egy egyenesre illeszkedő.
  3. Olyan vektor, ami merőleges a síkra
  4. Gyakran felteszik, hogy a normálvektor egység hosszú, azaz A^2+B^2+C^2=1. Ez elsősorban kényelmi szempont, mert ekkor sok számítás leegyszerűsödik.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]