Skaláris szorzat

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A skaláris szorzat, más néven belső szorzat a lineáris algebrában egy vektortér két vektorához hozzárendelt skalár. Jelölése: a·b, ab, (a,b) vagy . Műveletnek csak annyiban nem nevezhetjük, hogy elemekhez más típusú elemeket rendel.

Általában két értelmezés használatos, az egyik az euklideszi térben levő vektorokra, a másik általánosabb, bármely vektortérre vonatkozik.

Két geometriai vektor skaláris szorzatát megkapjuk, ha összeszorozzuk abszolútértéküket (hosszukat) és az általuk közbezárt szög koszinuszát.

Háromdimenziós vektorok esetén, ha a vektorok derékszögű koordinátáival számolunk, a következőképp kapjuk meg:

Ez akárhány dimenzióra általánosítható.

Két vektor skaláris szorzatának előjelét meghatározza a közrezárt szögük. Ha ez hegyesszög, akkor a szorzat pozitív, ha tompaszög, akkor negatív. Ha két vektor merőleges egymásra, akkor skaláris szorzatuk 0. Az állítás megfordítható, ha a skalárszorzat nulla, akkor merőleges a két vektor (a zérusvektort minden vektorra merőlegesnek tekintjük).

Definíció[forrásszöveg szerkesztése]

Két tetszőleges a = [a1, a2, ... , an] és b = [b1, b2, ... , bn] vektor skaláris szorzata alatt a következőt értjük:

ahol Σ az összegzést és n a vektortér dimenzióját jelöli.

2 dimenzióban, az [a,b] és [c,d] vektorok skaláris szorzata ac + bd. Hasonlóan 3 dimenzióban: az [a,b,c] és [d,e,f] skaláris szorzata ad + be + cf. Például két konkrét vektorral:

A skaláris szorzás eredménye megkapható transzponálással és mátrixszorzással:

ahol mindkét vektort oszlopvektorként értelmezzük és aT jelöli a transzponáltját, más szóval sorvektorát.

Tulajdonságai[forrásszöveg szerkesztése]

A skalárszorzatra érvényesek a következő tulajdonságok, amelyek az általános értelemben vett skalárszorzatra is teljesülnek, pontosabban definiálják azt.

  • kommutatív:
  • bilineáris:
  • pozitív definit: , és akkor és csak akkor ha

Geometriai vektorok esetén , azaz önmagával való skalárszorzat a vektor hosszának, másképpen normájának négyzetét adja meg.

Általánosítás[forrásszöveg szerkesztése]

Általában bármely vektortér felett értelmezhetünk skalárszorzatot (belső szorzatot). Általános értelemben egy adott vektortér felett bármely kétváltozós leképezést belső szorzatnak nevezünk, ha a fenti tulajdonságokat teljesíti. Egy vektortér felett akár több különböző belső szorzat is definiálható. Ilyenkor inkább szokásos a jelölés.

Példák[forrásszöveg szerkesztése]

  • Az intervallumon folytonos, -be képező függvények terén értelmezett belső szorzat:

Komplex értékű függvények esetén az integrandus -ra módosul.

  • Bármely lineáris térben értelmezhető egy adott A bázishoz tartozó skalárszorzat a következőképp. Ha két vektor x és y az A bázisban felírható:

akkor az ezen bázis által meghatározott skalárszorzat:

Geometriai vonatkozások[forrásszöveg szerkesztése]

AB = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) az A vetülete B-re.

Az euklidészi geometriában szoros összefüggés áll fenn a skalárszorzat és a hosszak, valamint a szögek között. Egy a vektorra aa a hosszának (abszolút értékének) négyzete, és ha b egy másik vektor, akkor

ahol |a| és |b| jelöli az a és b vektor hosszát, θ pedig az általuk bezárt szög.

Mivel |a|•cos(θ) a vektornak b-re való vetülete, a skalárszorzatot geometriailag úgy lehet értelmezni, mint a-nak b irányába eső komponensének és b-nek a szorzatát.

Mivel cos 90° nullával egyenlő, két egymásra merőleges vektor szorzata mindig nulla. Ha a és b vektor hossza egységnyi (vagyis egységvektorok), skalárszorzatuk egyszerűen közbezárt szögük koszinuszát adja.

Így a két vektor közötti szög:

A fenti tulajdonságokat időnként a skalárszorzat definíciójaként is használják, különösen 2 és 3 dimenziós vektorok esetében. Több dimenziós esetben a képletet a szög értelmezéseként lehet használni.

Geometriai vonatkozás bizonyítása[forrásszöveg szerkesztése]

Vegyük Rn tetszőleges elemét

A Pitagorasz-tétel egymást követő alkalmazásával |v|-re (a hosszra) a következőt kapjuk

De ez ugyanaz, mint a

ebből arra a következtetésre jutunk, hogy egy v vektor önmagával vett skaláris szorzata a vektor hosszának a négyzetét adja.

Lemma:

Most vegyünk két vektort az origóban: a-t és b-t, melyek θ szöget zárnak közre. Definiáljunk egy harmadik, c vektort

ezzel alkottunk egy háromszöget a, b és c oldalakkal. A koszinusztételt felírva:

A Lemma alapján a hosszak négyzetének helyébe skaláris szorzást helyettesítve kapjuk, hogy

                  (1)

De mivel cab, azt is tudjuk, hogy

,

ami a disztributív tulajdonság miatt

                    (2)

A két cc egyenletet - (1) és (2) - egyenlővé téve

Kivonunk mindkét oldalról "aa + bb"-t és osztunk "−2"-vel. Marad

Q.E.D.

Fordítás[forrásszöveg szerkesztése]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Dot product című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

További információk[forrásszöveg szerkesztése]

Kapcsolódó szócikkek[forrásszöveg szerkesztése]