Skaláris szorzat

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A skaláris szorzat, más néven belső szorzat a lineáris algebrában egy vektortér két vektorához hozzárendelt skalár. Jelölése: a·b, ab, (a,b) vagy \langle {\mathbf a},{\mathbf b}\rangle . Műveletnek csak annyiban nem nevezhetjük, hogy elemekhez más típusú elemeket rendel.

Általában két értelmezés használatos, az egyik az euklideszi térben levő vektorokra, a másik általánosabb, bármely vektortérre vonatkozik.

Két geometriai vektor skaláris szorzatát megkapjuk, ha összeszorozzuk abszolútértéküket (hosszukat) és az általuk közbezárt szög koszinuszát.

 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \;

Háromdimenziós vektorok esetén, ha a vektorok derékszögű koordinátáival számolunk, a következőképp kapjuk meg:

 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} =  a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \;

Ez akárhány dimenzióra általánosítható.

Két vektor skaláris szorzatának előjelét meghatározza a közrezárt szögük. Ha ez hegyesszög, akkor a szorzat pozitív, ha tompaszög, akkor negatív. Ha két vektor merőleges egymásra, akkor skaláris szorzatuk 0. Az állítás megfordítható, ha a skalárszorzat nulla, akkor merőleges a két vektor (a zérusvektort minden vektorra merőlegesnek tekintjük).

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Két tetszőleges a = [a1, a2, ... , an] és b = [b1, b2, ... , bn] vektor skaláris szorzata alatt a következőt értjük:

\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n

ahol Σ az összegzést és n a vektortér dimenzióját jelöli.

2 dimenzióban, az [a,b] és [c,d] vektorok skaláris szorzata ac + bd. Hasonlóan 3 dimenzióban: az [a,b,c] és [d,e,f] skaláris szorzata ad + be + cf. Például két konkrét vektorral:


[1, 3, -5] \cdot [4, -2, -1]
= 1 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) + (-5) \cdot (-1)
= 4 - 6 + 5
= 3.

A skaláris szorzás eredménye megkapható transzponálással és mátrixszorzással:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^\mathrm{T}\,\mathbf{b},

ahol mindkét vektort oszlopvektorként értelmezzük és aT jelöli a transzponáltját, más szóval sorvektorát.

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A skalárszorzatra érvényesek a következő tulajdonságok, amelyek az általános értelemben vett skalárszorzatra is teljesülnek, pontosabban definiálják azt.

  • kommutatív:  \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} \;
  • bilineáris: 
    \mathbf{a} \cdot (\lambda\mathbf{b} +  \mathbf{c})
= \lambda(\mathbf{a} \cdot   \mathbf{b}) +(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \;
  • pozitív definit:  \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} \geq 0 , és  \mathbf{a} \cdot \mathbf{a}= 0 akkor és csak akkor ha  \mathbf{a}= \mathbf{0}

Geometriai vektorok esetén  \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2 , azaz önmagával való skalárszorzat a vektor hosszának, másképpen normájának négyzetét adja meg.

Általánosítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Általában bármely vektortér felett értelmezhetünk skalárszorzatot (belső szorzatot). Általános értelemben egy adott vektortér felett bármely kétváltozós leképezést belső szorzatnak nevezünk, ha a fenti tulajdonságokat teljesíti. Egy vektortér felett akár több különböző belső szorzat is definiálható. Ilyenkor inkább szokásos a <a,b> jelölés.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Az \left[a,b\right] intervallumon folytonos, \mathbb{R}-be képező függvények terén értelmezett belső szorzat:

\langle f,g\rangle=\int\limits_a^b f(t) g(t) dt.

Komplex értékű függvények esetén az integrandus f(t)\overline{g(t)}-ra módosul.

  • Bármely lineáris térben értelmezhető egy adott A bázishoz tartozó skalárszorzat a következőképp. Ha két vektor x és y az A bázisban felírható:

\mathbf{x}=x_1 \mathbf{a}_1 + x_2 \mathbf{a}_2+ \dots + x_N \mathbf{a}_N

\mathbf{y}=y_1 \mathbf{a}_1 + y_2 \mathbf{a}_2+ \dots + y_N \mathbf{a}_N

akkor az ezen bázis által meghatározott skalárszorzat:

\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle_A = x_1 y_1 + x_2 y_2+ \dots +x_N y_N

Geometriai vonatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

AB = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) az A vetülete B-re.

Az euklidészi geometriában szoros összefüggés áll fenn a skalárszorzat és a hosszak, valamint a szögek között. Egy a vektorra aa a hosszának (abszolút értékének) négyzete, és ha b egy másik vektor, akkor

 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \,

ahol |a| és |b| jelöli az a és b vektor hosszát, θ pedig az általuk bezárt szög.

Mivel |a|•cos(θ) a vektornak b-re való vetülete, a skalárszorzatot geometriailag úgy lehet értelmezni, mint a-nak b irányába eső komponensének és bnek a szorzatát.

Mivel cos 90° nullával egyenlő, két egymásra merőleges vektor szorzata mindig nulla. Ha a és b vektor hossza egységnyi (vagyis egységvektorok), skalárszorzatuk egyszerűen közbezárt szögük koszinuszát adja.

Így a két vektor közötti szög:

\theta =  \arccos \left( \frac {\bold{a}\cdot\bold{b}} {|\bold{a}||\bold{b}|}\right).

A fenti tulajdonságokat időnként a skalárszorzat definíciójaként is használják, különösen 2 és 3 dimenziós vektorok esetében. Több dimenziós esetben a képletet a szög értelmezéseként lehet használni.

Geometriai vonatkozás bizonyítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Vegyük Rn tetszőleges elemét

 \mathbf{v} = v_1 \mathbf{\hat{e}}_1 + v_2 \mathbf{\hat{e}}_2 + ... + v_n \mathbf{\hat{e}}_n. \,

A Pitagorasz-tétel egymást követő alkalmazásával |v|-re (a hosszra) a következőt kapjuk

 |\mathbf{v}|^2 = v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2. \,

De ez ugyanaz, mint a

 \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2, \,

ebből arra a következtetésre jutunk, hogy egy v vektor önmagával vett skaláris szorzata a vektor hosszának a négyzetét adja.

Lemma:
 \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{v}|^2. \,

Most vegyünk két vektort az origóban: a-t és b-t, melyek θ szöget zárnak közre. Definiáljunk egy harmadik, c vektort

 \mathbf{c} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \mathbf{a} - \mathbf{b}. \,

ezzel alkottunk egy háromszöget a, b és c oldalakkal. A koszinusztételt felírva:

 |\mathbf{c}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2 |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos \theta \,

A Lemma alapján a hosszak négyzetének helyébe skaláris szorzást helyettesítve kapjuk, hogy


  \mathbf{c} \cdot \mathbf{c}
= \mathbf{a} \cdot \mathbf{a}
+ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b}
- 2 |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta. \,
                  (1)

De mivel cab, azt is tudjuk, hogy


  \mathbf{c} \cdot \mathbf{c}
= (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \,,

ami a disztributív tulajdonság miatt


  \mathbf{c} \cdot \mathbf{c}
= \mathbf{a} \cdot \mathbf{a}
+ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b}
-2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}). \,
                    (2)

A két cc egyenletet - (1) és (2) - egyenlővé téve


  \mathbf{a} \cdot \mathbf{a}
+ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b}
-2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})
= \mathbf{a} \cdot \mathbf{a}
+ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b}
- 2 |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta. \,

Kivonunk mindkét oldalról "aa + bb"-t és osztunk "−2"-vel. Marad

 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta. \,

Q.E.D.

Fordítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Dot product című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]