Skaláris szorzat

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A skaláris szorzat, más néven belső szorzat a lineáris algebrában egy vektortér két vektorához hozzárendelt skalár. Jelölése: , , vagy . Műveletnek csak annyiban nem nevezhetjük, hogy elemekhez más típusú elemeket rendel.

Általában két értelmezés használatos, az egyik az euklideszi térben levő vektorokra, a másik általánosabb, bármely vektortérre vonatkozik.

Két geometriai vektor skaláris szorzatát megkapjuk, ha összeszorozzuk abszolútértéküket (hosszukat) és az általuk közbezárt szög koszinuszát.

Háromdimenziós vektorok esetén, ha a vektorok derékszögű koordinátáival számolunk, a következőképp kapjuk meg:

Ez akárhány dimenzióra általánosítható.

Két vektor skaláris szorzatának előjelét meghatározza a közrezárt szögük. Ha ez hegyesszög, akkor a szorzat pozitív, ha tompaszög, akkor negatív. Ha két vektor merőleges egymásra, akkor skaláris szorzatuk 0. Az állítás megfordítható, ha a skalárszorzat nulla, akkor merőleges a két vektor (a zérusvektort minden vektorra merőlegesnek tekintjük).

Definíció[szerkesztés]

Két tetszőleges és vektor skaláris szorzata alatt a következőt értjük:

ahol az összegzést és a vektortér dimenzióját jelöli.

2 dimenzióban az és vektorok skaláris szorzata . Hasonlóan 3 dimenzióban: és skaláris szorzata . Például két konkrét vektorral:

A skaláris szorzás eredménye megkapható transzponálással és mátrixszorzással:

ahol mindkét vektort oszlopvektorként értelmezzük és jelöli transzponáltját, más szóval sorvektorát.

Tulajdonságai[szerkesztés]

A skalárszorzatra érvényesek a következő tulajdonságok, amelyek az általános értelemben vett skalárszorzatra is teljesülnek, pontosabban definiálják azt.

  • kommutatív:
  • bilineáris:
  • pozitív definit: , és akkor és csak akkor ha

Geometriai vektorok esetén , azaz önmagával való skalárszorzat a vektor hosszának, másképpen normájának négyzetét adja meg.

Általánosítás[szerkesztés]

Általában bármely vektortér felett értelmezhetünk skalárszorzatot[forrás?] (belső szorzatot). Általános értelemben egy adott vektortér felett bármely kétváltozós leképezést belső szorzatnak nevezünk, ha a fenti tulajdonságokat teljesíti. Egy vektortér felett akár több különböző belső szorzat is definiálható. Ilyenkor inkább szokásos a jelölés.

Példák[szerkesztés]

  • Az intervallumon folytonos, -be képező függvények terén értelmezett belső szorzat:

Komplex értékű függvények esetén az integrandus -ra módosul.

  • Bármely lineáris térben értelmezhető egy adott bázishoz tartozó skalárszorzat a következőképp. Ha és vektor az bázisban felírható:

akkor az ezen bázis által meghatározott skalárszorzat:

Geometriai vonatkozások[szerkesztés]

.
az vetülete -re.

Az euklideszi geometriában szoros összefüggés áll fenn a skalárszorzat és a hosszak, valamint a szögek között. Egy vektorra a hosszának (abszolút értékének) négyzete, és ha egy másik vektor, akkor

ahol és jelöli az és vektor hosszát, pedig az általuk bezárt szög.

Mivel az vektornak -re való vetülete, a skalárszorzatot geometriailag úgy lehet értelmezni, mint -nak irányába eső komponensének és -nek a szorzatát.

Mivel nullával egyenlő, két egymásra merőleges vektor szorzata mindig nulla. Ha és vektor hossza egységnyi (vagyis egységvektorok), skalárszorzatuk egyszerűen közbezárt szögük koszinuszát adja.

Így a két vektor közötti szög:

A fenti tulajdonságokat időnként a skalárszorzat definíciójaként is használják, különösen 2 és 3 dimenziós vektorok esetében. Több dimenziós esetben a képletet a szög értelmezéseként lehet használni.

Geometriai vonatkozás bizonyítása[szerkesztés]

Vegyük tetszőleges elemét

A Pitagorasz-tétel egymást követő alkalmazásával -re (a hosszra) a következőt kapjuk

De ez ugyanaz, mint a

ebből arra a következtetésre jutunk, hogy egy vektor önmagával vett skaláris szorzata a vektor hosszának a négyzetét adja.

Lemma: .

Most vegyünk két vektort az origóban: -t és -t, melyek szöget zárnak közre. Definiáljunk egy harmadik, vektort:

ezzel alkottunk egy háromszöget , és oldalakkal. A koszinusztételt felírva:

A lemma alapján a hosszak négyzetének helyébe skaláris szorzást helyettesítve kapjuk, hogy

                  (1)

De mivel , azt is tudjuk, hogy

,

ami a disztributív tulajdonság miatt

                    (2)

A két egyenletet – (1) és (2) – egyenlővé téve

Kivonunk mindkét oldalról -t és osztunk -vel. Marad

Q.E.D.

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Dot product című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

További információk[szerkesztés]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]