Vegyes szorzat

A vegyes szorzat három darab háromdimenziós vektor között értelmezett matematikai művelet, melynek eredménye skalár (szám).

Az a, b és c vektorok vegyes szorzatának jele abc. Értéke definíció szerint abc = (a × b)·c, ahol „×” a vektoriális szorzatot, „·” pedig a skaláris szorzatot jelöli. Ennek a számnak az abszolút értéke megegyezik a három vektor által kifeszített paralelepipedon térfogatával. Ha a három tényező ebben a sorrendben jobbrendszert alkot, akkor az előjel pozitív; ha balrendszert, akkor negatív.

Definíció

Legyenek ${\vec {a}}$, ${\vec {b}}$ és ${\vec {c}}$ háromdimenziós vektorok $\mathbb {R} ^{3}$-ben! Ekkor vegyes szorzatuk:

$({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}$.

Jelölése

Gyakran nem vezetnek be külön jelölést, hanem a definíciót használják: $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}$. Más jelölések: $[{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}]$, $\langle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\rangle$ és $|{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}|$.

Tulajdonságai

• abc = bca = cab = –cba = –bac = –acb
• (λa)bc = a(λb)c = ab(λc) = λ(abc), bármely λ skalárra.
• Ha az a, b, c vektorok lineárisan összefüggők, akkor a vegyes szorzat 0.
• A vegyes szorzat megegyezik annak a 3×3-as négyzetes mátrixnak a determinánsával, melynek sor- vagy oszlopvektorai sorrendben az adott három vektorral egyeznek meg, azaz

$\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c} =\det {\begin{pmatrix}\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}.$

• Disztributív a vektorösszeadásra nézve

$\mathbf {a} \mathbf {b} (\mathbf {c} +\mathbf {d} )=\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c} +\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {d}$.

• Mivel ${\vec {a}}\times {\vec {a}}={\vec {0}}$, azért:

  $({\vec {a}}\times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}={\vec {0}}\cdot {\vec {b}}={\vec {0}}$.

  $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {a}}=({\vec {a}}\times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}={\vec {0}}\cdot {\vec {b}}={\vec {0}}$.

  $({\vec {b}}\times {\vec {a}})\cdot {\vec {a}}=({\vec {a}}\times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}={\vec {0}}\cdot {\vec {b}}={\vec {0}}$.

• A skaláris szorzat definíciója alapján:

  $({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}=|({\vec {a}}\times {\vec {b}})||{\vec {c}}|\cos \sphericalangle ({\vec {a}}\times {\vec {b}},{\vec {c}})$.

ahol $\sphericalangle ({\vec {a}}\times {\vec {b}},{\vec {c}})$ a ${\vec {c}}$ vektornak és az ${\vec {a}}$ és ${\vec {b}}$ vektor síkjára merőleges, azokkal jobbrendszert alkotó vektornak a szöge.

Geometriai jelentése

A paralelepipedon térfogata (V) az alapterület (A) és a magasság (h) szorzata. A vektorok által kifeszített tetraéder térfogata a paralelepipedon térfogatának hatoda.

$V=A\cdot h$

Az a×b vektoriális szorzat nagysága éppen az a és b vektorok által kifeszített paralelogramma területe:

$A=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|$.

A paralelepipedon magassága a c vektor vetülete az a×b vektoriális szorzat irányára. Ha α szöget zárnak be egymással, akkor a skaláris szorzat definíciója szerint

$h=\left|\mathbf {c} \right|\cos \alpha ={\hat {\mathbf {e} }}_{\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)}\cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c}$

Ebből következik, hogy

$V=A\cdot h=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|({\hat {\mathbf {e} }}_{\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)}\cdot \mathbf {c} )=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c}$

Ha α = 90°, akkor ez a szorzat nulla. Ekkor a vektorok lineárisan összefüggnek, egy síkban fekszenek, más szóval komplanárisak.

Az előjeles térfogat negatív, ha α > 90°. Ekkor a vektoriális szorzat és a vetített magasság iránya ellentétes, mert a vektorok balsodrású rendszert képeznek.

Algebrai tulajdonságok levezetése

Kifejezése Levi-Civita-szimbólumokkal:

Először a skalárszorzatot ábrázoljuk összegként:

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}=\sum _{i=1}^{3}({\vec {a}}\times {\vec {b}})_{i}\cdot c_{i}.$

majd a vektoriális szorzatot:

$\sum _{i=1}^{3}({\vec {a}}\times {\vec {b}})_{i}\cdot c_{i}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}c_{i}.$

A totálisan antiszimmetrikus $\varepsilon _{ijk}$ epszilontenzor egyenlő $\varepsilon _{kij}$-vel, illetve megegyezik $\varepsilon _{jki}$-vel. Így a vegyes szorzat:

$\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}c_{i}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{kij}a_{j}b_{k}c_{i}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{jki}a_{j}b_{k}c_{i}.$

A szummajelek felcserélésével és zárójelek ügyes beszúrásával:

$\sum _{i=1}^{3}\left(\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\right)c_{i}=\sum _{k=1}^{3}\left(\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{kij}c_{i}a_{j}\right)b_{k}=\sum _{j=1}^{3}\left(\sum _{k=1}^{3}\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{jki}b_{k}c_{i}\right)a_{j}.$

A Levi-Civita-szimbólumokról áttérve a vektoriális szorzatra:

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}=({\vec {c}}\times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}=({\vec {b}}\times {\vec {c}})\cdot {\vec {a}}.$

Ismételt vektoriális szorzás

Ha egy vektoriális szorzatot megszorzunk még egy vektorral, akkor hármas vektoriális szorzatot kapunk. A Graßmann-azonosság, más néven Graßmann kifejtési tétele szerint:

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})=({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})\,{\vec {b}}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\,{\vec {c}}$

illetve

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}=({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})\,{\vec {b}}\ -({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})\,{\vec {a}},$

ahol a szorzópontok a skaláris szorzatot jelölik. A fizikában gyakran az

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {b}}\,({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})-{\vec {c}}\,({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\,,$

írásmódot használják, és gyakran BAC-CAB-formulának nevezik. Indexes írásmóddal:

$\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{klm}=\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl}$.

ahol $\varepsilon _{ijk}$ a Levi-Civita-szimbólum, és $\delta _{ij}$ a Kronecker-delta.

Ismételt vegyes szorzás

Két vektorhármas, ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ és ${\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}$ ismételt vegyes szorzata

${\begin{aligned}\,[({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}][({\vec {u}}\times {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}]=\;&{\begin{vmatrix}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\vec {u}}&{\vec {v}}&{\vec {w}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}({\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}})^{\top }\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\vec {u}}&{\vec {v}}&{\vec {w}}\end{vmatrix}}\\=\;&{\begin{vmatrix}{\begin{pmatrix}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{pmatrix}}^{\top }{\begin{pmatrix}{\vec {u}}&{\vec {v}}&{\vec {w}}\end{pmatrix}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\vec {a}}\cdot {\vec {u}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {v}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {w}}\\{\vec {b}}\cdot {\vec {u}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {v}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {w}}\\{\vec {c}}\cdot {\vec {u}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {v}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {w}}\end{vmatrix}}\end{aligned}}$

mivel a transzponálás nem változtatja meg a determinánst, másrészt a determinánsok szorzástétele miatt mátrixok szorzásakor a szorzatmátrix determinánsa a determinánsok szorzata. Ha a két vektorhármas megegyezik:

$[({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}]^{2}={\begin{vmatrix}{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\\{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\\{\vec {c}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {c}}\end{vmatrix}}\geq 0$

és így a Gram-determináns pozitív definit. Ahogy az egyszeres vegyes szorzatnál, úgy ennél is ez a determináns kritérium a tényezők lineáris függetlenségére. A determináns megadja a paralelepipedon térfogatának négyzetét. Ha egy lineáris transzformáció egy paralelepipedont egy másikra képez, akkor a Gram-determináns megadja, hogy hányszorosára változott a térfogatuk. A Gram-determinánsos kifejezés előnye, hogy magasabb dimenziókra is általánosítható.

Az integrálszámítás térfogateleme

A térfogati integrál $\mathrm {d} V$ térfogateleme függ az alkalmazott koordináta-rendszertől. Descartes-féle koordinátákban:

$\mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z$.

Egy másik koordináta-rendszerben, ahol a koordináták ${x',y',z'}$, a helyi bázisvektorok vegyes szorzataként számítható. Az $\textstyle {\vec {b}}_{1},{\vec {b}}_{2}$ és $\textstyle {\vec {b}}_{3}$ bázisvektorok az adott pontban a koordinátavonalak érintővektorai, melyek a következő koordinátatranszformációból adódnak:

${\vec {r}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x(x',y',z')\\y(x',y',z')\\z(x',y',z')\end{pmatrix}}$

az ${x',y',z'}$ koordináták szerinti parciális deriváltjaként:

${\vec {b}}_{1}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x'}},\quad {\vec {b}}_{2}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial y'}},\quad {\vec {b}}_{3}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial z'}}$.

Egy bázisvektor koordinátái alkotják a Jacobi-mátrix egyik oszlopát. Így e három vektor vegyes szorzatát a funkcionáldetermináns adja meg.

A transzformációs tétel alapján a térfogatelem:

$\mathrm {d} V'=\left|\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (x',y',z')}}\right|\,\mathrm {d} x'\,\mathrm {d} y'\,\mathrm {d} z'$.

Példa: Gömbkoordináták

Áttérés a gömbkoordinátákra:

${\vec {r}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\sin \theta \cos \varphi \\r\sin \theta \sin \varphi \\r\cos \theta \end{pmatrix}}$

így a helyi bázisvektorok a megfelelő pontokban:

${\vec {b}}_{1}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial r}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi \\\cos \theta \end{pmatrix}},\quad {\vec {b}}_{2}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \theta }}={\begin{pmatrix}r\cos \theta \cos \varphi \\r\cos \theta \sin \varphi \\-r\sin \theta \end{pmatrix}},\quad {\vec {b}}_{3}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}={\begin{pmatrix}-r\sin \theta \sin \varphi \\r\sin \theta \cos \varphi \\0\end{pmatrix}}$

Tehát a funkcionáldetermináns:

$\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}=\det {\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{pmatrix}}=r^{2}\sin \theta .$

amiből adódik a térfogatelem: $\mathrm {d} V$:

$\mathrm {d} V=\left|\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .$

Források

• Wolfgang Gawronski: Grundlagen der Linearen Algebra. Aula-Verlag, Wiesbaden 1996, ISBN 3-89104-566-2
• K. Endl / W. Luh. Analysis. Akademische Verlagsgesellschaft (1972) 
• K. Endl / W. Luh. Analysis. Akademische Verlagsgesellschaft (1973) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Spatprodukt című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.