Paralelogramma

A paralelogramma olyan négyszög, amelynek két-két szemközti oldala párhuzamos. A középpontos szimmetria miatt két-két szemközti oldalának a hossza egyenlő, szemközti szögei váltószögek, egyenlők. Szomszédos szögei társszögek, tehát kiegészítő szögek. Átlói felezik egymást, metszéspontjuk a szimmetriaközéppont. Az átlók hosszának négyzetösszege megegyezik az oldalak hosszának négyzetösszegével.

Területét egyik oldalának és az erre az oldalra merőleges magasságának szorzata, illetve két szomszédos oldalának és az ezek által bezárt szög szinuszának szorzata (két szomszédos oldalvektor vektoriális szorzatának hossza) adja:

$T=am=ab\sin \delta =|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |$

$K=2a+2b$

A paralelogramma speciális trapéz, melynek két párhuzamos oldalpárja van.

A paralelogrammák speciális esetei:

Az olyan paralelogrammát, amelynek minden oldala egyenlő, rombusznak nevezzük.
Ha egy paralelogramma szögei derékszögek, téglalapnak nevezzük.
Ha a paralelogrammának a szögei és az oldalai is egyenlőek, akkor négyzet.

Bármilyen paralelogrammával többféleképpen is lefedhető a sík.

A paralelepipedon egy hatoldalú test, amelynek minden oldala paralelogramma. A paralelogramma a paralelepipedon síkbeli analógja.

Nyelvújításkori elnevezése egyenközény volt, de ez nem gyökerezett meg.

Tulajdonságai

Egy négyszög paralelogramma, ha:

Szemben fekvő oldalai egyenlő hosszúak, és az egymással szemben fekvő oldalak egyenesei nem metszik egymást.
Két szemben fekvő oldala egyforma hosszú és párhuzamos.
Az egymással szemben fekvő szögek egyenlőek.
A szomszédos szögek összege 180°.
Az átlók felezik egymást.
Paralelogrammaazonosság: Az oldalak négyzetének összege egyenlő az átlók négyzetének összegével.
Pontra szimmetrikus

Minden paralelogrammára teljesül, hogy:

Mindkét átlója egybevágó háromszögekre osztja
Szimmetria-középpontja megegyezik az átlók metszéspontjával
Thébault-Yaglom-tétel: az oldalaira emelt négyzetek középpontjai négyzetet alkotnak.

Ha egy paralelogrammának van szimmetriatengelye, akkor téglalap vagy rombusz.

Képletek

A paralelogramma matematikai képletei
Terület	$A=a\cdot m_{a}=b\cdot m_{b}=\left\|\left\|{\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AD}}\right\|\right\|$ $A=a\cdot b\cdot \sin(\alpha )=a\cdot b\cdot \sin(\beta )={\frac {e\cdot f\cdot \sin(\theta )}{2}}$ Koordinátatranszformációval téglalappá alakítható, ennek determinánsa: $A=\det {\begin{pmatrix}a_{x}&&b_{x}\\a_{y}&&b_{y}\end{pmatrix}}=a_{x}\cdot b_{y}-b_{x}\cdot a_{y}$
Kerület	$U=2\cdot a+2\cdot b=2\cdot (a+b)$
Belső szögek	$\alpha =\gamma ,\quad \beta =\delta ,\quad \alpha +\beta =180^{\circ }$
Magasság	$m_{a}=b\cdot \sin(\alpha )$
Magasság	$m_{b}=a\cdot \sin(\beta )$
Az átlók hossza (lásd koszinusztétel)	${\begin{array}{ccl}e&={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\beta )}}\\&={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\alpha )}}\end{array}}$
Az átlók hossza (lásd koszinusztétel)	${\begin{array}{ccl}f&={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\alpha )}}\\&={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\beta )}}\end{array}}$
Paralelogrammaazonosság	$e^{2}+f^{2}=2\cdot (a^{2}+b^{2})$

A területképletek bizonyítása

A nagy téglalapból hat kis felületet kell elvenni, hogy megkapjuk a fekete paralelogrammát

A fekete paralelogramma területét megkaphatjuk, ha a nagy téglalapból levonjuk a hat különálló színes élű felület területét. A szimmetria és a szorzás kommutativitása miatt elég a hat helyett a három alsó színes felület területét kétszer levonni.

{\begin{array}{cccl}A&=&&({\color {YellowOrange}a_{x}}+{\color {ForestGreen}b_{x}})\cdot ({\color {red}a_{y}}+{\color {blue}b_{y}})\ -\ 2\cdot ({\frac {{\color {YellowOrange}a_{x}}\cdot {\color {red}a_{y}}}{2}}+{\color {ForestGreen}b_{x}}\cdot {\color {red}a_{y}}+{\frac {{\color {ForestGreen}b_{x}}\cdot {\color {blue}b_{y}}}{2}})\\&=&&{\color {YellowOrange}a_{x}}\cdot {\color {red}a_{y}}+{\color {YellowOrange}a_{x}}\cdot {\color {blue}b_{y}}+{\color {ForestGreen}b_{x}}\cdot {\color {red}a_{y}}+{\color {ForestGreen}b_{x}}\cdot {\color {blue}b_{y}}\\&&-&{\color {YellowOrange}a_{x}}\cdot {\color {red}a_{y}}\quad \quad \quad -2\cdot {\color {ForestGreen}b_{x}}\cdot {\color {red}a_{y}}-{\color {ForestGreen}b_{x}}\cdot {\color {blue}b_{y}}\\&=&&\quad \quad \quad \quad {\color {YellowOrange}a_{x}}\cdot {\color {blue}b_{y}}-{\color {ForestGreen}b_{x}}\cdot {\color {red}a_{y}}\end{array}}

A képlet színek nélkül:

{\begin{array}{cccl}A&=&&({a_{x}}+{b_{x}})\cdot ({a_{y}}+{b_{y}})\ -\ 2\cdot ({\frac {{a_{x}}\cdot {a_{y}}}{2}}+{b_{x}}\cdot {a_{y}}+{\frac {{b_{x}}\cdot {b_{y}}}{2}})\\&=&&{a_{x}}\cdot {a_{y}}+{a_{x}}\cdot {b_{y}}+{b_{x}}\cdot {a_{y}}+{b_{x}}\cdot {b_{y}}\\&&-&{a_{x}}\cdot {a_{y}}\quad \quad \quad -2\cdot {b_{x}}\cdot {a_{y}}-{b_{x}}\cdot {b_{y}}\\&=&&\quad \quad \quad \quad {a_{x}}\cdot {b_{y}}-{b_{x}}\cdot {a_{y}}\end{array}}

Paralelogrammarács

A paralelogrammákból rács képezhető a síkban. Ha az oldalak egyenlő hosszúak, vagy a szögek derékszögek, akkor a szimmetria nagyobb. Ezek reprezentálják a négy kétdimenziós Bravais-rácsot.

Geometriai alakzat	Négyzet	Téglalap	Rombusz	Parallelogramma
Bravais-rács	négyzetes Bravais-rács	derékszögű Bravais-rács	centrált-derékszögű Bravais-rács	ferdeszögű Bravais-rács
Kristályrendszer	tetragonális kristályrendszer	orthorhombikus kristályrendszer	orthorhombikus kristályrendszer	monoklin kristályrendszer
Kép

A paralelogrammarács formális leírása:

\left\{(t_{1}\cdot {\vec {u}},t_{2}\cdot {\vec {v}})\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{2}\ \land \ t_{1}\in \mathbb {Z} \ \land \ t_{2}\in \mathbb {Z} \right\}

ami végtelen számú pont elrendezése a síkban. Itt a ${\vec {u}}$ , ${\vec {v}}$ vektorok a szomszáédos pontok irányvektorai. Affin lekép4ezéssel a paralelogrammarács négyzetrácsból is kapható.^[1]

A paralelogrammarács pontra szimmetrikus, azaz kétfogású forgásszimmetriája van, emellett eltolásszimmetrikus is.

Paralelogramma szerkesztése

Adva legyenek a paralelogramma $a$ és $b$ oldalai, illetve a $h_{a}$ magassága. Ekkor a paralelogramma körzővel és vonalzóval szerkeszthető, ahogy az ábra mutatja.

Varignon-tétel

A Varignon-tétel szerint, ha egy négyszög szomszédos oldalainak középpontjait összekötjük, akkor paralelogrammát kapunk.

Bizonyítás: Legyen ABCD a négyszög csúcsainak betűzése, körüljárási sorrendben.

Ekkor definíció szerint ${\overline {AE}}={\overline {EB}},{\overline {BF}}={\overline {FC}},{\overline {CG}}={\overline {GD}},{\overline {DH}}={\overline {HA}}$ .

Ekkor az ABC háromszög hasonló az EBF háromszöghöz. Ha kiválasztjuk a B pontot egy középpontos nyújtás középpontjának, akkor ${\tfrac {1}{2}}$ aránnyal A-t E-re, C-t F-re képezzük le. A középpontos nyújtás tulajdonságai miatt a képszakaszok párhuzamosak az eredetiekkel. Emiatt $AC\parallel EF$ . Hasonlóan belátható, hogy $AC\parallel GH$ , $BD\parallel FG$ , és $BD\parallel HE$ . Mivel az euklideszi síkon a párhuzamosság ekvivalenciareláció, azért tranzitív is. Így tehát $EF\parallel GH$ és $FG\parallel HE$ .

Az EFGH négyszög szemben fekvő oldalai párhuzamosak, ami megfelel a paralelogramma egyik ekvivalens definíciójának.

A párhuzamos szelők tételével bizonyítható, hogy $EF=GH$ és $FG=HE$ , azaz a szemben fekvő oldalak egyenlő hosszúak. Ez a paralelogramma egy másik ekvivalens definíciója.

A párhuzamos szelők tételének egy másik következménye, hogy az EFGH paralelogramma kerülete akkora, mint az ABCD négyszög átlóinak összege, területe pedig fele akkora, mint az ABCD négyszögé.^[2]

Paralelogrammák négyzetekkel

Adva legyen egy $ABCD$ paralelogramma, melynek oldalaira négyzeteket emelünk. Ekkor a négyzetek átlóinak metszéspontjai, $E$ , $F$ , $G$ és $H$ egy újabb négyzet csúcspontjai.

Bizonyítás: A négy sárga $AEH$ , $EFB$ , $GFC$ és $HDG$ háromszög két-két oldala megegyezik, és az általuk közrezárt $A$ , $B$ , $C$ és $D$ csúcsnál levő szögeik is egyenlőek. A háromszögek egybevágóságáról szóló tétel miatt egybevágók, tehát az $EFGH$ négyszög minden oldala egyenlő, vagyis rombusz. Mivel a négyzetek átlói merőlegesek egymásra, azért $\angle BEA$ derékszög. Mivel a $\angle HEA$ és $\angle FEB$ szögek ugyanekkorák, így $\angle FEH$ is derékszög. Tehát $EFGH$ nemcsak rombusz, hanem négyzet is.^[3]

Aranymetszés a paralelogrammákban

Legyen egy paralelogrammában az oldalak aránya éppen az aranymetszés, a belső hegyesszög pedig 60 fok. Választhatjuk azt, melynek a rövidebb oldala 1.

Ekkor egyenlő oldalú háromszögek két sorozata helyezhető el úgy, hogy a kisebb oldala éppen aranymetszsési arányban áll a nagyobbhoz képest. Mivel a paralelogramma középpontosan szimmetrikus átlóinak metszéspontjára, a két sorozat egybevágó, és spirál alakzatban kitöltik a teljes paralelogrammát. A belső paralelogrammák területe nullához tart. Ha m az eredeti paralelogrammában a hosszabb oldalhoz tartozó magasság, akkor az egy-egy spirál által betöltött terület:

A={\frac {1}{2}}\cdot \Phi \cdot m={\frac {1}{2}}\cdot \Phi \cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}={\frac {1}{4}}\Phi {\sqrt {3}}

.^[4]

Általánosításai

Magasabb dimenziós általánosítása a parallelotóp, melyet a $\{\alpha _{1}\cdot p_{1}+\alpha _{2}\cdot p_{2}+\dotsb +\alpha _{n}\cdot p_{n}\mid 0\leq \alpha _{i}\leq 1\}$ halmaz, illetve párhuzamos eltoltjai definiálnak, ahol $n$ a halmaz dimenziója. További követelmáény, hogy a $p_{i}$ vektorok lineárisan függetlenek legyenek. A parallelotópok középpontosan szimmetrikusak.

Három dimenzióban a megfelelő parallelotóp a parallelepipedon. Oldallapjai hat, egymással páronként párhuzamos síkban fekvő paralelogramma. Éleinek száma tizenkettő, melyek egyenlő hosszúak, és közülük négy-négy egymással párhuzamos. Csúcsainak száma nyolc, melyekben az élek legfeljebb három különböző szögben futnak össze.

Alkalmazások a technikában

A mechanikában gyakran lehet paralelogrammákkal találkozni. Négy csuklóval mozgatható, a paralelogramma tulajdonságot megőrző szerkezet állítható elő, a paralelogrammavezérlés. Példák:

Pantográf

Jegyzetek

↑ Wolfram MathWorld: Cubic Lattice
↑ Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg: Varignon-Parallelogramm
↑ Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 129/172
↑ Hans Walser: Spiralen, Schraubenlinien und spiralartige Figuren - Mathematische Spielereien in zwei und drei Dimensionen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2022, ISBN 978-3-662-65131-5, Seite 77

Források

F. Wolff: Lehrbuch der Geometrie. Vierte verbesserte Auflage, Druck und Verlag von G. Reimer, Berlin 1845 (Online-Kopie).
P. Kall: Lineare Algebra für Ökonomen. Springer Fachmedien, Wiesbaden 1984, ISBN 978-3-519-02356-2.
Wilhelm Killing: Lehrbuch Der Analytischen Geometrie. Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft, Bremen 2011, ISBN 978-3-86403-540-1.

A Wikimédia Commons tartalmaz Parallelogramm témájú médiaállományokat.

Nézd meg a paralelogramma címszót a Wikiszótárban!

Nézd meg Rhomboid paralelogramma címszót a Wikiszótárban!

Weisstein, Eric W.: Parallelogram (angol nyelven). Wolfram MathWorld
'Flächen- und Umfangsberechnung von allgemeinen und speziellen Parallelogrammen.'. Abgerufen am 18. November 2016.
'Parallelogramm und Raute.' (PDF; 225 kB). Abgerufen am 18. November 2016.
'Einführung in das Thema Parallelogramm.' (PDF; 920 kB). Abgerufen am 15. Mai 2025.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Parallelogramm című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

[1] Wolfram MathWorld: Cubic Lattice

[2] Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg: Varignon-Parallelogramm

[Zeuge-3] Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 129/172

[Walser-4] Hans Walser: Spiralen, Schraubenlinien und spiralartige Figuren - Mathematische Spielereien in zwei und drei Dimensionen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2022, ISBN 978-3-662-65131-5, Seite 77

[1]

[2]

[3]

[4]