Rombusz

Rombusz

A geometriában a rombusz olyan négyszög, melynek minden oldala egyenlő hosszú. Egy alternatív definíció szerint olyan paralelogramma, melynek átlói merőlegesek egymásra.

A rombusz szemközti oldalai párhuzamosak és szemközti szögei egyenlőek, ezért a paralelogramma speciális esete, szomszédos oldalai egyenlő hosszúak, ezért a deltoid speciális esete is – így érintőnégyszög. A rombusz átlói egymásra merőlegesek és felezik egymást. A szemközti szögeket felezik az átlók.

Szimmetriatulajdonságok

A rombusz tengelyesen szimmetrikus alakzat, szimmetriatengelyei az átlói. Ezenkívül a középpontja körüli 180°-os elforgatás (azaz a középpont körüli középpontos tükrözés) is saját magába képezi, ezért szimmetriacsoportja négyelemű:

• tükrözés az egyik átlóra,
• tükrözés a másik átlóra,
• forgatás (180°-os a középpont körül),
• helybenhagyás (identitás)

Ezek a leképezések nem mást alkotnak mint a $D_{2}$ diédercsoportot, ami más néven a Klein-féle csoport. Kivéve, ha a rombusz négyzet, mert akkor a szimmetriacsoport a 8 elemű diédercsoport (bekerülnek a forgatások is). A rombusz tehát ugyanazokkal a szimmetriatulajdonságokkal rendelkezik, mint a téglalap. Szimmetriacsoportja tehát azonos a téglalapéval: a D₂ Klein-csoport és egymás duálisai, egyikük csúcsai a másik oldalainak felel meg. A síkbeli rombusz 5 szabadsági fokkal rendelkezik: egy az alak (azaz: az oldalak szöge), egy a nagyság, egy az állásszög és kettő a hely.

Tulajdonságok

• A szemben fekvő oldalak párhuzamosak.
• A szemben fekvő szögek nagysága megegyezik.
• A belső szögeket az átlók felezik.
• Kör írható belé, ezért érintőnégyszög. A beírt kör középpontja az átlók metszéspontja.

A rombusz jellemezhető úgy is, mint:

• Paralelogramma, melyben a szomszédos oldalak egyenlő hosszúak
• Paralelogramma merőleges átlókkal
• Paralelogramma, melyben legalább egy belső szöget felez egy átló
• Deltoid páronként párhuzamos oldalakkal
• Négyszög egymást felező, egymásra merőleges átlókkal
• Négyszög 2 szimmetriatengellyel, melyek a szemközti csúcsokat kötik össze
• Négyszög, melyben az átlók a belső szögeket felezik

Rombusz megadásához két független adatot kell megadni, például az oldalhosszat és egy belső szöget.

Képletek

A rombuszra vonatkozó képletek
Terület (az átlókkal)	$T\,=\,{\frac {e\cdot f}{2}}={\frac {{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}{2}}$
Terület (oldalakkal és szögekkel)	$T\,=\,a^{2}\cdot \sin \alpha =a^{2}\cdot \sin \beta$
Terület (oldallal és magassággal)	$T\,={\frac {m_{a}^{2}}{\sin(\alpha )}}={\frac {m_{a}^{2}}{\sin(\beta )}}$
Kerület	$K\,=\,4a$
Átló (egyik)	$e\,=\,2\cdot a\cdot \cos {\frac {\alpha }{2}}=2\cdot a\cdot \sin {\frac {\beta }{2}}$
Átló (másik)	$f\,=\,2\cdot a\cdot \sin {\frac {\alpha }{2}}=2\cdot a\cdot \cos {\frac {\beta }{2}}$
Beírt kör sugara	$\rho \,=\,{\frac {1}{2}}\cdot a\cdot \sin \alpha$
Oldalhossz	$a\,={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {e^{2}+f^{2}}}$
Magasság (oldallal)	$m_{a}=a\cdot \sin(\alpha )=a\cdot \sin(\beta )$
Magasság (átlókkal)	$m_{a}={\frac {e\cdot f}{\sqrt {e^{2}+f^{2}}}}$
A-nál lévő szög	$\alpha \,$
B-nél lévő szög	$\beta \,$
Átlók	$e={\overline {AC}};\quad f={\overline {BD}}$

Optimalizáció

A rombuszok körében is felvethetők optimalizációs problémák. Keresünk egy rombuszt, ahol:

• adott magassággal vagy adott beírt kör sugárral a legkisebb kerületű
• adott magassággal vagy adott beírt kör sugárral a legnagyobb területű
• adott kerülettel a legnagyobb magasságú vagy a beírt kör a legnagyobb területű
• adott kerülettel a legnagyobb területű
• adott területtel a legnagyobb magasságú vagy a beírt kör a legnagyobb területű
• adott területtel a legkisebb kerületű

Ekkor a megoldás mindig a négyzet.

A hat optimalizáció közül kettő megegyezik egy másikkal, csak más megadott méretekkel. A magasságot és a beírt kör területét tartalmazó feladatok megoldása ugyanaz, mivel a beírt kör területe, $\pi \cdot r_{i}^{2}={\tfrac {1}{4}}\cdot \pi \cdot m_{a}^{2}$ szigorúan monoton növő, folytonos függvénye $m_{a}$-nak.

Ha például adott $m_{a}$ magasság esetén a legkisebb területű rombuszt keressük, akkor a terület egyenlőtlenségekkel becsülhető.

Ha egy rombusz átlói $e$ és $f$, akkor magassága ${\tfrac {e\cdot f}{\sqrt {e^{2}+f^{2}}}}$, és területe ${\tfrac {e\cdot f}{2}}$. Az ${\tfrac {e\cdot f}{\sqrt {e^{2}+f^{2}}}}$ oldalhosszú négyzetnek ugyanez a magassága, területe pedig ${\tfrac {e^{2}\cdot f^{2}}{e^{2}+f^{2}}}$. A számtani és a mértani közép egyenlőtlenségéből következően ${\sqrt {e\cdot f}}\leq {\tfrac {e+f}{2}}$, ezért ${\tfrac {e^{2}\cdot f^{2}}{e^{2}+f^{2}}}\leq {\tfrac {e\cdot f}{2}}$ minden pozitív $e$ és $f$ átlóhosszra, és egyenlőség csak akkor áll fenn, ha $e=f$. Innen következik, hogy adott magasság esetén a négyzet a legkisebb területű rombusz.

Több rombusz kombinációja

Csillaggá csak azok a rombuszok záródnak, melyek központi szöge $360^{\circ }/n$ valamely n pozitív egészre. Ekkor uniójuk egy $n$ csúcsú csillag. Három dimenzióban ez már nem teljesül, más szögű rombuszokból is lehet piramisszerű alakzatokat építeni.

Rombusz parkettázások

Definíciója alapján a rombusz alkalmas síkkitöltő parkettázásra. A rombuszparkettázás a négyzetráccsal együtt a 17 lehetséges periodikus parkettázási csoport egyikét képezik. Egy ilyen csempézés látható Bajorország zászlaján.

Aperiodikus parkettázás lehetséges kétféle rombusz, egyik szöge 36° és 144°, a másiké 72° és 108°.

• 
  Rombuszrács parkettázás Bajorország zászlaján
• 
  Alternáló parkettázás rombuszokkal
• 
  Egy arkhimédészi parkettázás duális parkettája
• 
  Penrose-parkettázás
• 
  Penrose-parkettázás

Poliéderek rombuszokkal

Bizonyos poliédereket rombuszok határolnak, például a romboédert. A rombododekaéder és a rombusztriakontaéder is Catalan-test, melyeket egybevágó rombuszok határolnak. Mindezeket a poliédereket csak rombuszok határolnak. Ezek mind forgásszimmetrikusak, azaz bizonyos tengelyek körül bizonyos szöggel elforgatva önmagukba mennek át.

• 
  Romboéder
• 
  Rombododekaéder
• 
  Rombusztriakontaéder

Eredete

A rombusz szó eredete a görög „forgó tárgy” szóra vezethető vissza.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Raute című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.