Érintőnégyszög

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
Érintőnégyszög ábrázolása. Az oldalakra állított merőlegesek négy deltoidra osztják az érintőnégyszöget.

Az érintőnégyszög olyan konvex négyszög, amelynek oldalai egyazon kör érintői (más szóval van beírt köre). Az érintősokszög speciális esete.

Érintőnégyszög például a négyzet, a rombusz és a konvex deltoid. Ha egy érintőnégyszög egyben húrnégyszög is, akkor bicentrikus négyszögnek nevezzük.

Az érintőnégyszög-tétel (ld. lentebb) a definíciónál egyszerű kritériumot ad arra nézve, hogy egy négyszög mely esetben érintőnégyszög. Nevezetesen, egy négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha szemközti oldalainak összege egyenlő.

Az érintőnégyszög területe , ahol a, b, c és d az oldalak hossza, és r a beírt kör sugara. A bicentrikus négyszög területe: .

Szögfelezők[szerkesztés]

Egy érintőnégyszögben a szögfelezők a beírt kör középpontjában metszik egymást, és fordítva, ha egy négyszög szögfelezői egy pontban metszik egymást, akkor az érintőnégyszög.

Érintőnégyszög-tétel[szerkesztés]

Bármely érintőnégyszögben a két-két szemközti oldal hosszának összege egyenlő: , ahol a félkerület.

Következmény[szerkesztés]

A négyszöget a kör középpontjából háromszögekre bontva adódik, hogy . Ebből és a Bretschneider-formulából

,

ahol és az átlók hossza.

A tétel megfordítása[szerkesztés]

Ha egy konvex négyszögben két-két szemközti oldal hosszának összege egyenlő, akkor az érintőnégyszög.[1]

A tétel bizonyítása[szerkesztés]

A körhöz húzott érintő pontból húzott érintőszakaszok egyenlőek (érintő és szelőszakaszok tétele), vagyis és .

A tétel megfordításának bizonyítása[szerkesztés]

Indirekt bizonyítjuk:

Tegyük fel, hogy fennáll, de a négyszög nem érintőnégyszög. Legyen a leghosszabb oldal, ekkor és összetartó egyenesek. Ha van két egyenlő hosszúságú oldal ( és ), akkor nem helyezkedhetnek el egymással szemben a feltétel miatt, miszerint hosszabb a másik két oldalnál. Az oldal és a illetve oldal felé történő meghosszabbítása által meghatározott háromszög egyértelműen meghatároz egy kört. Tegyük fel, hogy nem érinti -t.

Ekkor két eset van:

1) metszi -t

vagy

2) -nek és -nak nincsen közös pontja

Mozgassuk el egyenesét párhuzamosan úgy, hogy érintse -t. Ekkor érintőnégyszög mindkét esetben.

1)-nél , de ekkor nem lenne igaz a feltevés, vagyis ellentmondáshoz jutottunk.

2)-nél ugyanígy ellentmondás, mivel .

Átlók beírt körei[szerkesztés]

Egy konvex négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha az átlói által meghatározott négy háromszög beírt köreinek sugaraira teljesül .[2]

Források[szerkesztés]

Commons:Category:Tangential quadrilaterals
A Wikimédia Commons tartalmaz Érintőnégyszög témájú médiaállományokat.
  1. Archivált másolat. [2010. március 6-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2010. június 3.)
  2. Chao, Wu Wei; Simeonov, Plamen (2000). „When quadrilaterals have inscribed circles (solution to problem 10698)”. American Mathematical Monthly 107 (7), 657–658. o.