Húrnégyszög

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Húrnégyszögek köréjük írt köreikkel

A húrnégyszög olyan négyszög, amelyhez van olyan kör, amely áthalad a négyszög négy csúcsán. Más megfogalmazásban, olyan négyszög, melynek oldalai egy kör húrjai. Speciálisan, húrnégyszögek az egyenlő szárú trapézok, amiket ezért húrtrapézoknak neveznek. Szintén speciálisak az olyan húrnégyszögek, melyeknek átlói merőlegesek egymásra.

Az a négyszög, amibe kör írható, érintőnégyszög.

Képletek[szerkesztés]

A húrnégyszög adatai
Terület
Terület
Oldalhosszak
Félkerület
Az átlók hossza
A körülírt kör sugara

Az első területképlet Brahmagupta tételeként (wd) ismert, melynek speciális esete, mikor d=0. Ezt a speciális esetet Hérón-képletként emlegetik, ami a háromszögek területének kiszámításának egy módszere. Ilyenkor a négyszög egyik oldala 0, így háromszöget kapunk. Néha az általános esetet is Hérón-képletnek nevezik.

A húrnégyszögek tétele[szerkesztés]

Bármely húrnégyszög két szemközti szögének összege .

A tétel megfordítása[szerkesztés]

Ha egy négyszög két szemközti szögének összege , akkor az húrnégyszög.

Tétel bizonyítása[szerkesztés]

A kör egy ívéhez tartozó kerületi és középponti szögek közötti összefüggés miatt a húrnégyszög szögéhez tartozó középponti szög . Az szöggel szemközti szöghöz tartozó középponti szög . A két középponti szög kiegészíti egymást (), így .

A tétel megfordításának bizonyítása[szerkesztés]

Az háromszög köré írt kört rajzolunk, megmutatjuk, hogy erre illeszkedik. A kör húrja az pontból szög alatt látszik, pontból pedig szög alatt. A síkon azok a pontok, melyekből a húr szög alatt látszik, az háromszög köré írt körnek az íve, illetve ennek a -re vonatkozó tükörképe. A feltétel miatt négyszög konvex, így csak a körvonalon lévő köríven lehet, azaz négyszög húrnégyszög.

Ptolemaiosz tétele[szerkesztés]

A húrnégyszög átlóinak szorzata a szemközti oldalpárok szorzatának összegével egyenlő.

Bizonyítás: Azt kell megmutatnunk, hogy . Vegyünk fel az egyik átlón (pl. BD-n) egy olyan P pontot, melyre

.

Ez minden esetben megtehető, hiszen a szög AD szárától felvesszük a -et. A félegyenesünk metszi BD-t, ez a pont P.

Ha , akkor is teljesül. Az azonos íven nyugvó kerületi szögek tételéből . Mindebből következik, hogy az APB és ADC háromszögek hasonlók, azaz ahonnan .

De az azonos íven nyugvó kerületi szögek tételéből, így a BAC és az APD háromszögek szintén hasonlóak, hiszen szögeik egyenlők, így írhatjuk

ahonnan .

Adjuk most össze az (1) és (2) egyenlőségeket; azt kapjuk hogy

amit akartunk bizonyítani.

Tétel a húrnégyszög átlóinak szeleteiről[szerkesztés]

Az ABCD húrnégyszög egyik átlójának két szeletének szorzata megegyezik a húrnégyszög másik átlójának két szeletének szorzatával.

,

ahol P a két átló metszéspontja.

Források[szerkesztés]

  • Gerőcs László. Azok a csodálatos húrnégyszögek. Műszaki Könyvkiadó. ISBN 963-16-2520-6 (1999)