Húrnégyszög

A húrnégyszög olyan négyszög, amelyhez van olyan kör, amely áthalad a négyszög négy csúcsán. Más megfogalmazásban, olyan négyszög, melynek oldalai egy kör húrjai. Speciálisan, húrnégyszögek az egyenlő szárú trapézok, amiket ezért húrtrapézoknak neveznek. Szintén speciálisak az olyan húrnégyszögek, melyeknek átlói merőlegesek egymásra.

Az a négyszög, amibe kör írható, érintőnégyszög.

Képletek

A húrnégyszög adatai
Terület	$T\,=\,{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$
Terület	$T\,=\,{\frac {e\cdot (ab+cd)}{4R}}={\frac {f\cdot (ad+bc)}{4R}}$
Oldalhosszak	$a,\,b,\,c,\,d$
Félkerület	$s\,=\,{\frac {a+b+c+d}{2}}$
Az átlók hossza	$e={\overline {AC}}={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}\,,\,f={\overline {BD}}={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}}$
A körülírt kör sugara	$R={\frac {1}{4T}}{\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}},$

Az első területképlet Brahmagupta tételeként (wd) ismert, melynek speciális esete, mikor d=0. Ezt a speciális esetet Hérón-képletként emlegetik, ami a háromszögek területének kiszámításának egy módszere. Ilyenkor a négyszög egyik oldala 0, így háromszöget kapunk. Néha az általános esetet is Hérón-képletnek nevezik. Egy további általánosítás Bretschneider képlete, ami a képletet korrigálja általános négyszögek számára:

{\begin{aligned}T&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4e^{2}f^{2}-(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)}}.\end{aligned}}

ahol a korrekció húrnégyszög esetén nulla.

A húrnégyszögek tétele

Bármely húrnégyszög két szemközti szögének összege $180^{\circ }$ .

A tétel megfordítása

Ha egy négyszög két szemközti szögének összege $180^{\circ }$ , akkor az húrnégyszög.

Tétel bizonyítása

A kör egy ívéhez tartozó kerületi és középponti szögek közötti összefüggés miatt a húrnégyszög $\alpha$ szögéhez tartozó középponti szög $2\alpha$ . Az $\alpha$ szöggel szemközti $\gamma$ szöghöz tartozó középponti szög $2\gamma$ . A két középponti szög kiegészíti egymást ( $2\alpha +2\gamma =360^{\circ }$ ), így $\alpha +\gamma =180^{\circ }$ .

A tétel megfordításának bizonyítása

Az $ABD$ háromszög köré írt kört rajzolunk, megmutatjuk, hogy $C$ erre illeszkedik. A kör $BD$ húrja az $A$ pontból $\alpha$ szög alatt látszik, $C$ pontból pedig $180^{\circ }-\alpha$ szög alatt. A síkon azok a pontok, melyekből a $BD$ húr $180^{\circ }-\alpha$ szög alatt látszik, az $ABD$ háromszög köré írt körnek az íve, illetve ennek a $BD$ -re vonatkozó tükörképe. A feltétel miatt $ABCD$ négyszög konvex, így $C$ csak a körvonalon lévő köríven lehet, azaz $ABCD$ négyszög húrnégyszög.

Ptolemaiosz tétele

A húrnégyszög átlóinak szorzata a szemközti oldalpárok szorzatának összegével egyenlő.

Bizonyítás: Azt kell megmutatnunk, hogy $AB\cdot CD+BC\cdot AD=AC\cdot BD$ . Vegyünk fel az egyik átlón (pl. BD-n) egy olyan P pontot, melyre

$DAP\angle =BAC\angle$ .

Ez minden esetben megtehető, hiszen a $BAD\angle$ szög AD szárától felvesszük a $BAC\angle$ -et. A félegyenesünk metszi BD-t, ez a pont P.

Ha $DAP\angle =BAC\angle$ , akkor $BAP\angle =DAC\angle$ is teljesül. Az azonos íven nyugvó kerületi szögek tételéből $ABP\angle =ACD\angle$ . Mindebből következik, hogy az APB és ADC háromszögek hasonlók, azaz ${\frac {AB}{BP}}={\frac {AC}{DC}}$ ahonnan $AB\cdot DC=AC\cdot BP$ . $\left(1\right)$

De $ACB\angle =ADB\angle$ az azonos íven nyugvó kerületi szögek tételéből, így a BAC és az APD háromszögek szintén hasonlóak, hiszen szögeik egyenlők, így írhatjuk ${\frac {BC}{AC}}={\frac {PD}{AD}}$

ahonnan $BC\cdot AD=PD\cdot AC$ . $\left(2\right)$

Adjuk most össze az (1) és (2) egyenlőségeket; azt kapjuk hogy $AB\cdot CD+BC\cdot AD=AC\cdot (BP+PD)=AC\cdot BD$

amit akartunk bizonyítani.

Tétel a húrnégyszög átlóinak szeleteiről

Az ABCD húrnégyszög egyik átlójának két szeletének szorzata megegyezik a húrnégyszög másik átlójának két szeletének szorzatával.

${\overline {AP}}\cdot {\overline {CP}}={\overline {BP}}\cdot {\overline {DP}}$ ,

ahol P a két átló metszéspontja.

Merőleges vonalak

Ha $ABCD$ húrnégyszög, és $E$ , $F$ , $G$ és $H$ a húrnégyszög egyes oldalaihoz tartozó körívek felezőpontjai, Ekkor az ${\overline {EG}}$ és ${\overline {FH}}$ összekötő egyenesei merőlegesek egymásra.

A bizonyítás a középponti és kerületi szögek tételén alapul. A $H$ és $E$ pontok közötti $b_{1}$ körív, illetve az $F$ és $G$ közötti $b_{2}$ ív is 180 fokot fog közre, mivel az ívek mindegyike magában foglalja a négyszög ${\overline {AB}}$ , ${\overline {BC}}$ , ${\overline {CD}}$ és ${\overline {DA}}$ oldalainak felét.

A középponti és kerületi szögek tétele szerint az $\alpha$ és $\beta$ kerületi szögek feleakkorák, mint a hozzájuk tartozó középponti szög, azaz az $b_{1}$ és $b_{2}$ ívekhez tartozó középponti szög.

Emiatt $\alpha +\beta =90^{\circ }$ , így mivel a $GHK$ belső összegeinek összege 180 fok, azért az ${\overline {EG}}$ és ${\overline {FH}}$ szakaszok merőlegesek egymásra.^[1]

Beírt rombusz

Adva legyen egy $ABCD$ húrnégyszög, és messe a két-két egymással szembeni oldalpár meghosszabbítása egymást a $P$ illetve a $Q$ pontban.

Ekkor az $ABCD$ négyszög oldalainak meghosszabbításával kapott, $P$ , illetve $Q$ csúcsú szögek szögfelezői kimetszik a négyszög oldalaiból az $EFGH$ pontokat. Ezek a pontok rombuszt alkotnak.

Bizonyítás: A húrnégyszög tulajdonságaiból következik, hogy az $\angle QBF$ és $\angle HDG$ szögek nagysága megegyezik. A $BQF$ és a $HQD$ háromszögek hasonlóak, mivel a fenti szögek ugyanakkorák, mint a $\angle CQB$ szög. Ebből következik, hogy a $\angle BFQ$ és $\angle FHD$ szögek mérete megegyezik. Mivel $\angle BFQ$ és $\angle CFH$ csúcsszögek, azért ezek is ugyanakkorák. Így $BQF$ és $HQD$ hasonlósága miatt a $\angle PFH$ és $\angle FHP$ szögek mérete megegyezik. Ezek szerint $HFP$ egyenlő szárú háromszög, ennélfogva a $w_{1}$ szögfelező $HF$ felezőmerőlegese. Mivel $E$ és $G$ ezen a felezőmerőlegesen fekszenek, azért ugyanolyan távol vannak $F$ -től és $H$ -tól.

Hasonlóan kikövetkeztethető, hogy $F$ és $H$ ugyanolyan távol van $E$ -től és $G$ -től. Ezzel bizonyítást nyert, hogy $EFGH$ rombusz.^[2]^[3]

Keletkezés szögfelezőkből

Egy tetszőleges négyszög belső szögeinek felezői húrnégyszöget zárnak közre.

Bizonyítás: A csúcsszögek és a szögösszegek tulajdonságai miatt

\epsilon =180^{\circ }-{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {\delta }{2}}

és

\zeta =180^{\circ }-{\frac {\beta }{2}}-{\frac {\gamma }{2}}

.

ekkor az

\epsilon +\zeta =360^{\circ }-{\frac {1}{2}}\left(\alpha +\beta +\gamma +\delta \right)=180^{\circ }

összegből következik a húrnégyszögek szemben fekvő szögeire vonatkozó tulajdonság, innen pedig a megfigyelés.

Megjegyzés: Hasonló összefüggés látható be a külső szögfelezőkre is.^[4]

Thébault-tétel húrnégyszögekre

A Thébault-tétel tetszőleges húrnégyszögre teljesül.^[5] Kössük össze a szemközti oldalpárokat úgy, hogy az egyik oldal középpontjából merőlegest bocsátunk a szemben fekvő oldalra. Az így kapott szakaszok egy ponton mennek keresztül, melyet $E$ -vel jelölünk. Ez éppen a körülírt kör $U$ középpontjának $S$ súlypontra vett tükörképe.^[6]

Ha az átlók merőlegesek egymásra, akkor Brahmagupta tétele szerint metszéspontjuk $E$ . Innen következik, hogy egy oldal középpontjának $E$ -től mért távolsága megegyezik az oldal felével. Ha az oldalak hossza $a,b,c,d$ , és a szemközti oldalpárok $a$ és $c$ , illetve $b$ és $d$ , valamint a köré írt kör sugara $r$ , akkor

a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}=4r^{2}

.

További képletek

A Pitagorasz-tétel szerint az ABM, BCM, CDM és DAM háromszögek területe:

T(ABM)={\frac {1}{2}}\cdot a\cdot {\sqrt {R^{2}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}}}={\frac {a}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-a^{2}}}

és hasonlóan,

T(BCM)={\frac {b}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-b^{2}}}

T(CDM)={\frac {c}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-c^{2}}}

T(DAM)={\frac {d}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-d^{2}}}

Az ABCD húrnégyszög területe ezen háromszögek területének összege, így

{\begin{aligned}T&=T(ABM)+T(BCM)+T(CDM)+T(DAM)\\&={\frac {a}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-a^{2}}}+{\frac {b}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-b^{2}}}+{\frac {c}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-c^{2}}}+{\frac {d}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-d^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}\cdot \left(a\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-a^{2}}}+b\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-b^{2}}}+c\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-c^{2}}}+d\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-d^{2}}}\right)\end{aligned}}

Bevezetjük az $a$ , $b$ , $c$ , $d$ oldalakkal szembeni középponti szögeket, mint $\alpha _{m}$ , $\beta _{m}$ , $\gamma _{m}$ , $\delta _{m}$ . Ekkor a szinusz és a koszinusz definíciója alapján

\sin \left({\frac {\alpha _{m}}{2}}\right)={\frac {a}{2\cdot R}}

és

\cos \left({\frac {\alpha _{m}}{2}}\right)={\frac {\sqrt {4\cdot R^{2}-a^{2}}}{2\cdot R}}

, tehát

\sin \left({\frac {\alpha _{m}}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\alpha _{m}}{2}}\right)={\frac {a}{2\cdot R}}\cdot {\frac {\sqrt {4\cdot R^{2}-a^{2}}}{2\cdot R}}={\frac {a\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-a^{2}}}}{4\cdot R^{2}}}

.

A kétszeres szögekre vonatkozó képletek alapján

a\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-a^{2}}}=4\cdot R^{2}\cdot \sin \left({\frac {\alpha _{m}}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\alpha _{m}}{2}}\right)=2\cdot R^{2}\cdot \sin(\alpha _{m})

és hasonlóan

b\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-b^{2}}}=2\cdot R^{2}\cdot \sin(\beta _{m})

c\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-c^{2}}}=2\cdot R^{2}\cdot \sin(\gamma _{m})

d\cdot {\sqrt {4\cdot R^{2}-d^{2}}}=2\cdot R^{2}\cdot \sin(\delta _{m})

A területre vonatkozó képlettel^[7]

{\begin{aligned}T&={\frac {1}{4}}\cdot \left(2\cdot R^{2}\cdot \sin(\alpha _{m})+2\cdot R^{2}\cdot \sin(\beta _{m})+2\cdot R^{2}\cdot \sin(\gamma _{m})+2\cdot R^{2}\cdot \sin(\delta _{m})\right)\\&={\frac {R^{2}}{2}}\cdot \left(\sin(\alpha _{m})+\sin(\beta _{m})+\sin(\gamma _{m})+\sin(\delta _{m})\right)\end{aligned}}

Egyenlőségek

Egy húrnégyszög belső szögeire teljesülnek a következők:

\sin(\alpha )={\frac {2\cdot {\sqrt {(s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)\cdot (s-d)}}}{a\cdot d+b\cdot c}}

\cos(\alpha )={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2\cdot (a\cdot d+b\cdot c)}}

{\rm {tg}}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\sqrt {\frac {(s-a)\cdot (s-d)}{(s-b)\cdot (s-c)}}}

Az átlók metszésszögére:

{\rm {tg}}\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\sqrt {\frac {(s-b)\cdot (s-d)}{(s-a)\cdot (s-c)}}}

Az $a$ és $c$ oldalak meghosszabbításának metszésszögei:

\cos \left({\frac {\varphi }{2}}\right)={\sqrt {\frac {(s-b)\cdot (s-d)\cdot (b+d)^{2}}{(a\cdot b+c\cdot d)\cdot (a\cdot d+b\cdot c)}}}

ahol a képletekben $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)$ a húrnégyszög félkerülete.

Merőleges átlójú húrnégyszögek

A merőleges átlójú húrnégyszögekre vonatkozó további tulajdonságok:

Rajzoljunk olyan köröket, melyek átmérője megegyezik az átlók szeleteivel! Ekkor ezeknek a köröknek a területének összege egyenlő a négyszög köré írt kör területével.
Ha a négyszög oldalaira, mint átmérőkre rajzolunk köröket, akkor ezek területének összege a négyszög köré írt kör területének kétszerese.
Ha az átlók metszéspontjából merőlegest bocsátunk az egyik oldalra, akkor az felezi a szemben fekvő oldalt.
Az oldalfelező pontokból a szemben fekvő oldalra bocsátott merőlegesek egy pontban, az átlók metszéspontjában metszik egymást.
Az átlók metszéspontjából az oldalakra bocsátott merőlegesek talppontjai bicentrikus négyszöget határoznak meg.
A négyszög köré írt kört a csúcsaiban érintő érintők egy újabb húrnégyszöget határoznak meg.

Jegyzetek

↑ Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, Seiten 120 und 121.
↑ Ross Honsberger: Gitter - Reste - Würfel Friedrich Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1984, ISBN 978-3-528-08476-9, Seiten 218 und 219
↑ George Zerr: Problem 90, American Mathematical Monthly, 1898, S. 143
↑ Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten - Perlen der klassischen Geometrie, 2. Auflage, Springer Spektrum 2016, ISBN 978-3-662-63329-8, S. 23/220
↑ Dietmar Herrmann. Die antike Mathematik. Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen. Berlin, Heidelberg: Springer Spektrum, 421 f. o. (2014)
↑ Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Cambridge University Press, S. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
↑ Harald Schröer, Universitätsbibliothek Heidelberg: Die 4. Seite und der Flächeninhalt des Sehnenvierecks

Források

Gerőcs László. Azok a csodálatos húrnégyszögek. Műszaki Könyvkiadó (1999). ISBN 963-16-2520-6
Wolfgang Zeuge. Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie.. Berlin: Springer Spektrum, 99–114. o. (2018)
Ross Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Mathematical Association of America, 35–43. o. (1995)
C. J. Bradley. Cyclic Quadrilaterals, 417-431. o. (2004-11)
Sehnenviereck auf www.mathematische-basteleien.de
Hans Walser: Sehnenviereck (PDF; 0,8 MB)
Das Sehnen- & Tangentenviereck (PDF; 1,7 MB)

Nézd meg a húrnégyszög címszót a Wikiszótárban!

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Sehnenviereck című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

[1] Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, Seiten 120 und 121.

[2] Ross Honsberger: Gitter - Reste - Würfel Friedrich Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1984, ISBN 978-3-528-08476-9, Seiten 218 und 219

[3] George Zerr: Problem 90, American Mathematical Monthly, 1898, S. 143

[4] Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten - Perlen der klassischen Geometrie, 2. Auflage, Springer Spektrum 2016, ISBN 978-3-662-63329-8, S. 23/220

[Herrmann-5] Dietmar Herrmann. Die antike Mathematik. Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen. Berlin, Heidelberg: Springer Spektrum, 421 f. o. (2014)

[6] Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Cambridge University Press, S. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0

[7] Harald Schröer, Universitätsbibliothek Heidelberg: Die 4. Seite und der Flächeninhalt des Sehnenvierecks

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]