Hérón-képlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Triangle with notations.svg

A geometriában a Hérón-képlet a háromszög területét adja meg a háromszög oldalainak függvényében:

ahol a, b és c a háromszög oldalai, s a háromszög kerületének a fele, és T a háromszög területe.

A képletet az alexandriai Hérón vezette be.

Bizonyítás[szerkesztés]

Elemi[szerkesztés]

Teljesen elemi (a Pitagorasz-tételre és nevezetes azonosságokra épülő) bizonyítása történhet az általános magasságtétel segítségével.

Trigonometriai[szerkesztés]

A trigonometriai jellegű bizonyításhoz induljunk ki a koszinusztételből:

illetve abból a képletből, amely a háromszög területét két oldal és a közrezárt szög segítségével fejezi ki:

Ha a fenti képletbe behelyettesítjük a értékét, vagyis

akkor pont a Hérón-képletet kapjuk.

Geometriai[szerkesztés]

Hasonló háromszögek

Elég annyit belátni, hogy

mert ebből már következik, hogy

Az ábráról leolvasható, hogy

és

valamint az és derékszögű háromszögek hasonlók.

Könnyen igazolható, hogy és , tehát A tétel általánosítása gömbháromszögekre vonatkozóan a l'Huillier-tétel.

Más Hérón-képletek[szerkesztés]

A következőket szintén szokták Hérón-képletnek nevezni:

A húrnégyszög területe

,

ahol .

Az általános konvex négyszög területe

,

ahol s, mint előbb, , és α és γ a négyszög két szemben fekvő szöge.

Az egyenlő oldalú tetraéder térfogata:

ahol a, b, c a tetraéder egy lapjának oldalhosszai, és .

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]