Hérón-képlet

A geometriában a Hérón-képlet a háromszög területét adja meg a háromszög oldalainak függvényében:

$T={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

$s={\frac {a+b+c}{2}}\,$

ahol a, b és c a háromszög oldalai, s a háromszög kerületének a fele, és T a háromszög területe.

A képletet az alexandriai Hérón vezette be.

Bizonyítás

Elemi

Teljesen elemi (a Pitagorasz-tételre és nevezetes azonosságokra épülő) bizonyítása történhet az általános magasságtétel segítségével.

Trigonometriai

A trigonometriai jellegű bizonyításhoz induljunk ki a koszinusztételből:

$\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

illetve abból a képletből, amely a háromszög területét két oldal és a közrezárt szög segítségével fejezi ki:

$T\,$	$={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \,$
	$={\frac {1}{2}}ab{\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}\,$
	$={\frac {1}{2}}ab{\sqrt {(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )}}\,$
	$={\frac {1}{2}}ab{\sqrt {\left(1-{\frac {c^{2}-a^{2}-b^{2}}{2ab}}\right)\left(1+{\frac {c^{2}-a^{2}-b^{2}}{2ab}}\right)}}$
	$={\frac {1}{4}}{\sqrt {\left((a+b)^{2}-c^{2}\right)\left(c^{2}-(a-b)^{2}\right)}}$
	$={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a-b+c)}}\,$

Ha a fenti képletbe behelyettesítjük a értékét, vagyis

$a=2s-b-c\,$

akkor pont a Hérón-képletet kapjuk.

Geometriai

Elég annyit belátni, hogy

• $t=rs=r_{a}(s-a)$
• $rr_{a}=(s-b)(s-c)$

mert ebből már következik, hogy

$t^{2}=rsr_{a}(s-a)=s(s-a)(s-b)(s-c).$

Az ábráról leolvasható, hogy

$t=t_{AOB}+t_{BOC}+t_{COA}={\frac {ar+br+cr}{2}}=rs,$

és

$t=t_{AO_{a}B}+t_{AO_{a}C}-t_{BO_{a}C}={\frac {br_{a}+cr_{a}-ar_{a}}{2}}=r_{a}(s-a),$

valamint az $FOB$ és $EBO_{a}$ derékszögű háromszögek hasonlók.

Könnyen igazolható, hogy $FB=y=s-b$ és $BE=z=s-c$, tehát ${\frac {r}{s-b}}={\frac {OF}{FB}}={\frac {BE}{O_{a}E}}={\frac {s-c}{r_{a}}}.$ A tétel általánosítása gömbháromszögekre vonatkozóan a l'Huillier-tétel.

Más Hérón-képletek

A következőket szintén szokták Hérón-képletnek nevezni:

A húrnégyszög területe

$T={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$,

ahol $s={\frac {a+b+c+d}{2}}\,$.

Az általános konvex négyszög területe

$T={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\varphi }}$,

ahol s, mint előbb, $\varphi ={\frac {\alpha +\gamma }{2}}\,$, és α és γ a négyszög két szemben fekvő szöge.

Az egyenlő oldalú tetraéder térfogata:

$V={\frac {1}{3}}{\sqrt {s^{2}(s^{2}-a^{2})(s^{2}-b^{2})(s^{2}-c^{2})}}$

ahol a, b, c a tetraéder egy lapjának oldalhosszai, és $s^{2}={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}\,$.

Kapcsolódó szócikkek

• Brahmagupta indiai matematikus

Források

• A Matematika Tanítása 2001. 5. szám
• (angolul) Eric W. Weisstein, "Heron's Formula." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html