Bretschneider-formula

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A Bretschneider-formula egy geometriai összefüggés, mely a négyszögek területe és oldalaik hossza, és két szemközti szögük közötti összefüggést adja meg.

Bretschneider-formula[szerkesztés]

Bretschneider.png

Tétel[szerkesztés]

ahol a, b, c, és d a négyszög oldalai, s a félkerület, pedig két szemközti szög összegének fele.

Bizonyítás[szerkesztés]

Az ABCD négyszög területe a BD átló által meghatározott két háromszög területének összegével írható fel:


A koszinusz tételt alkalmazva:


Adjuk össze az előbbi és a területegyenletet:

Az egyenlet átalakítható:

Bevezetve a félkerületet és a szöget:



Speciális esetek[szerkesztés]

Húrnégyszögek (Brahmagupta-tétel)[szerkesztés]

Brahmagupta hurnegyszog.png

A Bretschneider-formula egyik leggyakoribb felhasználása a húrnégyszögek területének kifejezése oldalaik hosszának, és a húrnégyszög félkerületének segítségével.

Tétel[szerkesztés]

ahol a, b, c, és d a húrnégyszög oldalai, s pedig a félkerület.

Bizonyítás[szerkesztés]

Az ABCD húrnégyszög területe a BD átló által meghatározott két háromszög területének összegével írható fel:
Mivel ABCD húrnégyszög, és és szemközti szögek: , tehát



Alkalmazva a koszinusz tételt az ABD és a BCD háromszög DB oldalára:



Ezt behelyettesítve a terület egyenletbe:




Bevezetve a félkerületet:


Háromszögek (Hérón-képlet)[szerkesztés]

Brahmagupta haromszog.png

Tétel[szerkesztés]

ahol a, b, és c a háromszög oldalai, s pedig a félkerület.

Bizonyítás[szerkesztés]

Az állítás következik a húrnégyszögekre bebizonyított alakból, ha a háromszöget olyan elfajult húrnégyszögnek tekintjük, melynek két csúcsa egybeesik.