Bretschneider-formula

A Bretschneider-formula egy geometriai összefüggés, mely a négyszögek területe és oldalaik hossza, és két szemközti szögük közötti összefüggést adja meg.

Bretschneider-formula

Tétel

$T={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}{\theta }}}$ ahol a, b, c, és d a négyszög oldalai, s a félkerület, $\theta \,$ pedig két szemközti szög összegének fele.

Bizonyítás

Az ABCD négyszög területe a BD átló által meghatározott két háromszög területének összegével írható fel:
$T_{ABCD}=T_{ABD}+T_{BCD}={\frac {1}{2}}cd\sin {\alpha }+{\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }$
$4T_{ABCD}^{2}=(cd)^{2}\sin ^{2}{\alpha }+ab^{2}\sin ^{2}{\gamma }+2abcd\sin {\alpha }\sin {\gamma }$
A koszinusz tételt alkalmazva:
$c^{2}+d^{2}-2cd\cos {\alpha }=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\gamma }\,$
${\frac {1}{4}}(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}=(cd)^{2}\cos ^{2}{\alpha }-2abcd\cos {\alpha }\cos {\gamma }+(ab)^{2}\cos ^{2}{\gamma }\,$
Adjuk össze az előbbi és a területegyenletet:
$4T_{ABCD}^{2}+{\frac {1}{4}}(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}=(cd)^{2}+(ab)^{2}-2abcd\cos({\alpha +\gamma })$
Az egyenlet átalakítható:
$16T_{ABCD}^{2}=(c+d+a-b)(b+c+d-a)(a+b+c-d)(a+b+d-c)-16abcd\cos ^{2}({\frac {\alpha +\gamma }{2}})$
Bevezetve a félkerületet és a $\theta \,$ szöget:
$s={\frac {a+b+c+d}{2}}$
$\theta ={\frac {\alpha +\gamma }{2}}\,$
$T^{2}=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}{\theta }\,$
$T={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}{\theta }}}$ ■

Speciális esetek

Húrnégyszögek (Brahmagupta-tétel)

A Bretschneider-formula egyik leggyakoribb felhasználása a húrnégyszögek területének kifejezése oldalaik hosszának, és a húrnégyszög félkerületének segítségével.

Tétel

$T_{ABCD}={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$ ahol a, b, c, és d a húrnégyszög oldalai, s pedig a félkerület.

Bizonyítás

Az ABCD húrnégyszög területe a BD átló által meghatározott két háromszög területének összegével írható fel: $T_{ABCD}=T_{ABD}+T_{BCD}={\frac {1}{2}}cd\sin {\alpha }+{\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }$
Mivel ABCD húrnégyszög, és $\alpha$ és $\gamma$ szemközti szögek: $\gamma {}=180^{\circ }-\alpha {}$, tehát $\sin {\alpha }=\sin {\gamma }\,$
$T_{ABCD}^{2}={\frac {1}{4}}(cd+ab)^{2}\sin ^{2}{\alpha }$
$4T_{ABCD}^{2}=(cd+ab)^{2}(1-\cos ^{2}{\alpha })$
$4T_{ABCD}^{2}=(cd+ab)^{2}-(cd+ab)^{2}\cos ^{2}{\alpha }$
Alkalmazva a koszinusz tételt az ABD és a BCD háromszög DB oldalára:
$c^{2}+d^{2}-2cd\cos {\alpha }=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\gamma }\,$
$c^{2}+d^{2}-2cd\cos {\alpha }=a^{2}+b^{2}+2ab\cos {\alpha }\,$
$c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}=2(ab+cd)\cos {\alpha }\,$
Ezt behelyettesítve a terület egyenletbe:
$4T_{ABCD}^{2}=(cd+ab)^{2}-{\frac {1}{4}}(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}$
$16T_{ABCD}^{2}=4(cd+ab)^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}$
$16T_{ABCD}^{2}={\Big (}{2(cd+ab)+c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}}{\Big )}{\Big (}{2(cd+ab)-c^{2}-d^{2}+a^{2}+b^{2}}{\Big )}$
$16T_{ABCD}^{2}={\Big (}{(c+d)^{2}-(a-b)^{2}}{\Big )}{\Big (}(a+b)^{2}-(c-d)^{2}{\Big )}=(c+d+b-a)(c+d-b+a)(b+a+c-d)(b+a-c+d)$
Bevezetve a félkerületet:
$s={\frac {a+b+c+d}{2}}$
$16T_{ABCD}^{2}=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)$
$T_{ABCD}={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$ ■

Háromszögek (Hérón-képlet)

Tétel

$T={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)s}}$ ahol a, b, és c a háromszög oldalai, s pedig a félkerület.

Bizonyítás

Az állítás következik a húrnégyszögekre bebizonyított alakból, ha a háromszöget olyan elfajult húrnégyszögnek tekintjük, melynek két csúcsa egybeesik.