Konvex sokszög

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Egy konvex sokszög: a szabályos ötszög

Egy konvex sokszög olyan egyszerű sokszög (saját magát nem metsző sokszög) melynek a határán lévő bármely két pontot összekötő egyenes szakasz a sokszög belsejében marad. Más megfogalmazásban olyan egyszerű sokszög, melynek belső része konvex halmaz.[1] A konvex sokszög minden belső szöge kisebb vagy egyenlő 180°-nál, míg a szigorúan konvex sokszög minden belső szöge kisebb 180°-nál.

Tulajdonságai[szerkesztés]

Az egyszerű sokszögeknél a következő tulajdonságok mind egyenértékűek a konvexitással:

  • Minden belső szög kisebb vagy egyenlő 180 foknál.
  • A sokszög minden belső pontján vagy határán lévő bármely két pont közötti egyenes szakasz minden pontja a sokszög belsejében vagy határán marad.
  • A sokszöget bármely oldalegyenese által definiált két félsík valamelyike teljesen tartalmazza.
  • A sokszög belső pontjai mind a tetszőleges oldal által meghatározott egyenes ugyanazon oldalán fekszenek.
  • Bármely csúcs által meghatározott szögön belül fekszik az összes többi csúcs is.
  • A sokszög megegyezik éleinek konvex burkával.

A konvex sokszögek további jellemzői közé tartoznak:

  • Két konvex sokszög metszete is konvex sokszög.
  • Egy konvex sokszög lineáris időben háromszögekre bontható legyezőszerű felosztással, tehát valamely csúcs összes átlójának behúzásával.
  • Helly-tétel: tekintsünk legalább három konvex sokszögből álló gyűjteményt. Ekkor, ha közülük bármely három metszete nem üres, akkor a teljes gyűjtemény metszete sem üres.
  • Krein–Milman-tétel: egy konvex sokszög megegyezik csúcsainak konvex burkával. Tehát csúcsainak halmaza teljesen meghatározza a sokszöget, kizárólag a csúcsokból teljesen előállítható a teljes konvex sokszög.
  • Hipersík-szeparációs tétel: Bármely két, közös ponttal nem rendelkező konvex sokszög közé elválasztó egyenes húzható. Ha a sokszögek zártak és legalább az egyik kompakt, akkor két párhuzamos egyenes is húzható, közöttük réssel.
  • Beírt háromszög tulajdonság: a konvex sokszög által tartalmazott háromszögek között létezik egy olyan, maximális területű háromszög, melynek csúcsai az eredeti sokszögnek is csúcsai.[2]
  • Köré írt háromszög tulajdonság: minden A területű konvex sokszög köré rajzolható olyan háromszög, melynek területe legfeljebb 2A. Az egyenlőség kizárólag paralelogramma esetén lép föl.[3]
  • Beírt/köré írt téglalap tulajdonság: a sík bármely C konvex alakzatába beírható egy olyan r téglalap, hogy az r homotétikus kópiája, R a C köré van írva, és a pozitív homotétikus arány legfeljebb 2 és .[4]
  • Egy konvex sokszög átlagos szélessége megegyezik kerületének és a pínek a hányadosával. Tehát szélessége éppen annyi, mint a vele megegyező kerületű kör átmérője.[5]

Minden körbe írt, önmagát nem metsző sokszög konvex. Azonban nem minden konvex sokszög körbe írható.

Szigorú konvexitás[szerkesztés]

Az egyszerű sokszögeknél a következő tulajdonságok mind egyenértékűek a szigorú konvexitással:

  • Minden belső szög szigorúan kisebb 180 foknál.
  • Bármely két belső pont közötti egyenes szakasz, vagy bármely két, a sokszög nem ugyanazon az oldalán fekvő határpont közötti egyenes szakasz a sokszög belsejében fekszik (kivéve esetleg a végpontjait).
  • A sokszög bármely oldalára igaz, hogy a sokszög belső pontjai és az oldalon kívül eső határoló pontjai az oldal által meghatározott egyenes ugyanarra az oldalára esik.
  • Minden csúcsnál lévő szög a belsejében tartalmazza az összes többi csúcsot (kivéve az adott csúcsot és két szomszédját).

Minden nem elfajult háromszög szigorúan konvex.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Convex polygon című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Definition and properties of convex polygons with interactive animation.
  2. -, Christos: Is the area of intersection of convex polygons always convex?. Math Stack Exchange
  3. Weisstein, Eric W: Triangle Circumscribing. Wolfram Math World
  4. (1993) „Approximation of convex bodies by rectangles”. Geometriae Dedicata 47, 111. o. DOI:10.1007/BF01263495.  
  5. Jim Belk: What's the average width of a convex polygon?. Math Stack Exchange

További információk[szerkesztés]

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Konvex sokszög témájú médiaállományokat.

Schorn, Peter & Fisher, Frederick (1994), "I.2 Testing the convexity of a polygon", in Heckbert, Paul S., Graphics Gems IV, Morgan Kaufmann (Academic Press), pp. 7–15, ISBN 9780123361554