Négyzet

Nem tévesztendő össze a következővel: négyezet.

A négyzet egyenlő oldalú téglalap, vagyis olyan sokszög, melynek négy egyenlő oldala és négy egyenlő szöge, mégpedig derékszöge van. Szabályos négyszögek vannak a gömbi és a hiperbolikus geometriákban is, de a négyzet megjelölést nem használják síkidomra az euklideszi geometrián kívül.

A négyzet átlói egyenlő hosszúságúak, derékszögben metszik egymást, és ha egy rombusz átlói egyenlő hosszúak, akkor az a rombusz négyzet. A négyzetre ráillik a négyszögek összes speciális tulajdonsága, így a négyzet téglalap, rombusz, deltoid, paralelogramma, húrtrapéz, trapéz, húrnégyszög és érintőnégyszög. Egybevágóság erejéig egy adata meghatározó, például az oldalhossza vagy az átlójának hossza.

Az origó középpontú, 2 oldalhosszúságú négyzet csúcspontjainak koordinátái (±1, ±1) alakban írhatók fel, ugyanennek a négyzetnek a belső pontjait a ‒1 < x < 1 és ‒1 < y < 1 egyenlőtlenségek határozzák meg.

Az euklideszi sík a szabályos sokszögek közül csak a szabályos háromszöggel, a négyzettel és a szabályos hatszöggel parkettázható ki.

Térbeli megfelelője a kocka, és csak ennek a szabályos testnek a lapjai négyzetek. Az általánosabb n-dimenziós testek közül a négyzet kétdimenziós hiperkocka és kétdimenziós keresztpolitóp.

A köznyelvben a négyzetet is néha kockának nevezik, de a geometria szigorúan csak a 3 dimenziós testet nevezi kockának. A matematika más részterületein előfordul, hogy az egységes kezelés érdekében különböző dimenziós kockákról beszélnek.

A négyzet jellemezhető, mint:

Egy olyan téglalap, melynek két szomszédos oldala egyenlő hosszú.
Rombusz, melynek két szomszédos szöge egyenlő.
Derékszögű rombusz
Paralelogramma, melynek két szomszédos oldala egyenlő hosszú és két szomszédos szöge egyenlő nagyságú.
Paralelogramma, melynek két szomszédos oldala egyenlő hosszú és van derékszöge
Négyszög, melynek átlói merőlegesek egymásra és felezik egymást.

Az a oldalú és e átlójú négyzet néhány adata
Oldalhosszúság	$a={\frac {e}{\sqrt {2}}}$
Átló	$e={\sqrt {2}}\cdot a$
Terület	$T=a^{2}={\frac {e^{2}}{2}}$
Kerület	$K=4a=2\cdot {\sqrt {2}}\cdot e$
Beírható kör sugara	$r={\frac {a}{2}}={\frac {{\sqrt {2}}\cdot e}{4}}$
Köré írható kör sugara	$r={\frac {{\sqrt {2}}\cdot a}{2}}={\frac {e}{2}}$

Szerkesztése

A négyzet szerkeszthető körzővel és vonalzóval, de csak körzővel is (csúcspontok kitűzése).

Szerkesztés adott oldalhosszal

Adva van egy a szakasz, A és B végpontokkal.
Húzzunk az A pont körül a körzőnyílással egy c₁ körívet, ami legalább negyedkör hosszú.
Húzzunk a B pont körül a körzőnyílással egy c₂ körívet, ami legalább negyedkör hosszú.
A két kör metszéspontja legyen M.
Húzzunk egy egyenesdarabot a BM pontokon át, legalább kétszer olyan hosszan, mint a BM szakasz.
Húzzunk egy kört M középponttal B-n keresztül, ez lesz a c_t kör. Kapjuk az E pontot.
Húzzunk egy egyenest az AE pontokon keresztül. Ennek c₁-gyel vett metszéspontja a D pont.
Húzzunk D körül a körzőnyílással egy körívet, ez legyen c₃. Ennek metszete c₂-vel C.
Kössük össze az ABCD pontokat egyenes szakaszokkal, megkaptuk a kívánt négyzetet.

Szerkesztés adott átlóval

Adva van a d átló a-val és C-vel, mint végpontokkal.
Szerkesszük meg az átló felezőmerőlegesét. Ennek metszéspontja az átlóval az M pont.
Húzzunk az M körül egy kört A-n keresztül. A felezőmerőleges kimetszi a körből a hiányzó csúcsokat.
Kössük össze az ABCD pontokat egyenes szakaszokkal, megkaptuk a kívánt négyzetet.

Szerkesztés csak körzővel

Adva legyen egy tetszőleges kör M középponttal, és a kerületén egy A pont.^[1]
Az A pontból az egyik irányban elindulva elindulva AM sugárral elmetsszük a kört, kapjuk a B pontot.
Továbbhaladva ugyanezzel a sugárral húzott körívek kimetszik a C és a D pontokat.
Ezután az A pontból AC sugárral húzunk körívet.
D körül ugyanezzel a sugárral húzunk körívet. Az előző körívvel ez kimetszi az E pontot.
D körül húzunk egy ME sugarú körívet, ami az adott kört két pontban is metszi. Ezek a pontok lesznek az F és a G pontok.
Az AGDF négyszög az eredeti körbe írt négyzet.

Egymásba írt négyzetek

Ross Honsberger kanadai matematikus összehasonlította többek között két egymásba írt négyzet adatait, és a következő összefüggéseket fedezte fel:

Ha egy négyzet csúcsait egyenes vonalúan összekötjük a szemben fekvő oldalak középpontjával, akkor egy második négyzet keletkezik, melynek területe a kiindulási négyzet ötöde.^[2]^[3]

Az állítás geometriailag a következő módon szemléltethető:

A lila egybevágó derékszögű háromszögeket kivesszük a négyzetből, és hozzáillesztjük a kék trapézokhoz; így kapunk egy öt egybevágó négyzetből álló keresztet. Így a négyzet és a kereszt területe megegyezik; a piros négyzet területe mindkét alakzat ötödét teszi ki.

Érintkező négyzetek

A következőkben olyan alakzatokkal fogunk foglalkozni, amelyekben két négyzet egy csúcsa érintkezik, és az érintkező csúcsokkal szomszédos csúcsokat az azonos oldalon összekötjük. Így az ábrát két háromszög egészíti ki. Az érintkező négyzetek tulajdonságaiból és egymáshoz viszonyított helyzetükből levezethetők a háromszögek bizonyos tulajdonságai.

1. tulajdonság: A két oldalsó háromszög területe megegyezik.

Algebrai bizonyítás: $\alpha =180^{\circ }-\beta$ miatt teljesül, hogy $\sin \alpha =\sin \beta$ . Az egyenlet mindkét oldalát megszorozva ${\frac {ab}{2}}$ -vel következik, hogy

{\frac {ab}{2}}\sin \alpha ={\frac {ab}{2}}\sin \beta

ami a háromszögek egyik területképlete. Tehát a háromszögek egyenlő területűek.

Geometriai bizonyítás: Fordítsuk el az óramutató járásával megegyező irányban a felső háromszöget 90°-kal az érintkező négyzetek közös csúcsa körül, akkor a zöld és a sárga háromszögek megegyeznek egy oldaluk hosszában és a hozzájuk tartozó magasságban. Emiatt területük is megegyezik. Lásd 1. és 2. ábra.

2. tulajdonság: Az egyik oldalháromszög magassága és a másik oldalháromszög oldalfelezője egy egyenesre esnek, ami átmegy a két négyzet közös csúcspontján.

Geometriai bizonyítás: Fordítsuk el a felső zöld háromszöget 90 fokkal az óramutató járása szerinti irányba a közös középpont körül; és hasonlóan, a kiindulási helyzetből elindulva forgassuk el az óramutató járásával ellentétes irányban is 90 fokkal a két négyzet érintkezési pontja körül. Ekkor a két elforgatott piros szakasz párhuzamos a sárga háromszög alapjával. A két elforgatott példány külső oldalai szintén párhuzamosak, így $x=y$ . Innen következik, hogy a sárga háromszög alapjához leforgatott piros szakaszok szögfelezők a zöld háromszögekben. Így a visszaforgatás után a piros szakaszok egy egyenesbe esnek. Lásd 3. és 4. ábra.

Vecten-alakzat

Készítsük el a következő alakzatot: Emeljünk egy háromszög oldalaira négyzeteket az oldal teljes hosszában. Kössük össze egyenes szakaszokkal a szomszédos négyzetek csúcsait, és emeljünk négyzeteket ezekre a szakaszokra azok teljes hosszában. Így kapjuk a Vecten-alakzatot.

Állítás: A három külső négyzet területének összege háromszorosa a három belső négyzet területének összegének. Azaz $d^{2}+e^{2}+f^{2}=3\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$ .

Bizonyítás: A belső háromszög jelöléseiben az $a$ , $b$ és $c$ , illetve az $\alpha$ , $\beta$ és $\gamma$ betűzéseket a szokásos sorrendben az óramutató járásával ellentétes irányban vesszük fel. A koszinusztétel és szimmetriatulajdonságok miatt

\cos(\alpha )=-\cos(180^{\circ }-\alpha )

teljesülnek a következő kapcsolatok:

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos(\alpha )

és

d^{2}=b^{2}+c^{2}+2bc\cdot \cos(\alpha )

.

Ebből következik, hogy

d^{2}=2b^{2}+2c^{2}-a^{2}

(1)

Analóg kapjuk, hogy

e^{2}=2a^{2}+2c^{2}-b^{2}

(2)

f^{2}=2a^{2}+2b^{2}-c^{2}

(3)

Az (1), (2) és (3) közvetlen következménye:

d^{2}+e^{2}+f^{2}=3\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)

ami éppen a bizonyítandó állítás.^[4]

Négyzetek körben és félkörben

Egy körbe beírunk egy négyzetet, és ennek a körnek a felébe is beírunk egy négyzetet. Ekkor a nagyobb négyzet területe $2{,}5$ -szerese a kisebbnek.

A bizonyítás alakzatait egységnégyzetekből álló parkettázásba ágyazzuk be, amihez a nagyobb négyzetet úgy forgatjuk el, hogy alkalmat adjon a Pitagorasz-tétel alkalmazásához. A kisebb négyzet területe $4$ . A Pitagorasz-tétel szerint a nagyobb négyzet oldalhossza ${\sqrt {3^{2}+1^{2}}}={\sqrt {10}}$ , így területe $10$ , és így $10:4=2{,}5$ —szer nagyobb a területe, mint a kis négyzetnek.^[5]

Négyzetek szinuszgörbén

A Pitagorasz-tételben a befogókon levő négyzetek területének összege invariáns. Ezzel analóg módon bizonyos feltételek teljesülése esetén invariáns négyzetösszegek lépnek fel a szinuszfüggvénnyel kapcsolatban is.^[6]^[7]

Adva legyen egy szinuszgörbe, ami teljes egészében az x tengely fölött fut az $y=sin(x)+c$ egyenlettel, ahol $c>1$ , és a görbén egy $P$ pont, tőle balra egy $Q$ pont, és tőle jobbra pedig egy $R$ pont, ahol $Q$ és $R$ x koordinátái egy fél periódussal, tehát $\pi$ -vel eltérnek.

Ekkor a $PQ$ és a $PR$ fölötti négyzetek összesített területe mindig ${\frac {\pi ^{2}}{2}}+2\approx 6{,}93$ , függetlenül $P$ választásától.

A bizonyítás felhasználja a Pitagorasz-tételt és az addíciós tételeket. A $P$ , $Q$ , $R$ pontok koordinátái:

P\left(x|sin(x)+c\right)

,

Q\left(x-{\frac {\pi }{2}}|sin\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)+c\right)

,

R\left(x+{\frac {\pi }{2}}|sin\left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)+c\right)

Ezzel a két négyzet összesített területe a Pitagorasz-tétel kétszeri alkalmazásával, elemi átalakításokkal és az addíciós tétel felhasználásával:

\left(sin(x)-sin\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)\right)^{2}+\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}+\left(sin(x)-sin\left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)\right)^{2}+\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}={\frac {\pi ^{2}}{2}}+2\approx 6{,}93

Spirálok

Adva legyen négyzetek végtelen sorozata, ahol minden $Q_{n}$ négyzetbe úgy van beírva a következő $Q_{n+1}$ négyzet, hogy $Q_{n+1}$ felezi $Q_{n}$ oldalait. A kiindulási $D_{1}$ négyzet oldalhosszát 1-nek választjuk. Ekkor:

Vonalspirál:

Ha

a_{n}

a

Q_{n}

négyzet fél oldalhossza, akkor

\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }

mértani sor az

a_{n}=\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{n+1}

képzési szabállyal, és határértéke

^[8]

a={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4{\sqrt {2}}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{n+1}=1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}

.

Területspirál

Ha

A_{n}

nyolcada a

Q_{n}

négyzet területének, akkor

\left(A_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }

mértani sorozat, melynek képzési szabálya

A_{n}=\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{n+2}

, és határértéke^[8]

A={\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{64}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{n+2}={\frac {1}{4}}

.

A $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ és $\left(A_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ sorozatok geometriailag spirálként ábrázolhatók.^[8]

Parkettázások négyzetekkel

Egyes platóni, illetve arkhimédészi parkettázások négyzetet tartalmaznak. Ezek periodikusak, forgásszimmetrikusak és eltolásszimmetrikusak, és kizárólag szabályos sokszögeket alkotnak.

Négyzetrács
3-3-3-4-4
3-3-4-3-4
3-4-6-4
4-8-8
4-6-12

A számok a képek alatt azt mutatják, hogy hány csúcsa van a benne szereplő sokszögeknek, melyek egy pont körül találkoznak. A belső szögek összege mindig 360°.

Négyzetlapot tartalmazó poliéderek

A kocka az egyetlen platóni test, ami négyzetlapokból áll. De vannak más arkhimédészi testek is, melyeknek vannak négyzetlapjai.

Átalánosításai

Az euklideszi geometriában a négyzet a hiperkocka és a keresztpolitóp kétdimenziós speciális esete.

A négyzet fogalmát a szintetikus geometria általánosítja az affin síkra, ahol az elemi geometriában megismert ekvivalens kijelentések a négyzet definícióját alkotják. Például a preeuklideszi síkon egy külön axióma foglalkozik ezeknek az alakzatoknak a létezésével.

A magyar szaknyelvben a nemeuklideszi geometriák nem használják a négyzet elnevezést, helyette szabályos négyszögről beszélnek; mivel itt a négyzetnek nem lehetnek derékszögei.

A négyzet általánosításai
Geometria	gömbi geometria	gömbi geometria	euklidészi geometria	hiperbolikus geometria
Belső szög	180°	120°	90°	72°
Schläfli-szimbólum	{4, 2}	{4, 3}	{4, 4}	{4, 5}
A szabályos négyszögek száma a parkettázásban	2	6	végtelen	végtelen

Latin négyzet

Egy latin négyzet egy n x n-es négyzetes mátrix, ahol az n elem minden sorban és oszlopban egyszer szerepel. Az n szám a latin négyzet rendje.

Példák:

${\begin{bmatrix}1&2&3\\3&1&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\end{bmatrix}}$

Bűvös négyzet

Egy bűvös négyzet egy egy n x n-es négyzetes mátrix, ahol a számok úgy vannak elrendezve, hogy összegük minden sorban, oszlopban és átlóban megegyezik. Ez az összeg a bűvös négyzet bűvös összege.

A négyzet kvadratúrája

A négyzet kvadratúrája a négyzet felosztása egész oldalú négyzetekre. A következő feltételekkel a feladat izgalmassá válik:

A négyzetek oldalhosszának páronként különbözőnek kell lenniük. Ekkor a felosztás perfekt.
Ha a kis négyzetek egy része téglalapot alkot, akkor a kvadratúra összetett, különben egyszerű.

Körnégyszögesítés

A körnégyszögesítés a geometria klasszikus feladatainak egyike. A feladat lényege, hogy véges sok lépésben szerkesszen egy négyzetet, melynek területe megegyezik a megadott körével. A feladat ekvivalens a kör kiegyenesítésével, azaz egy olyan hosszú szakasz szerkesztése, melynek hossza megegyezik egy adott körvonal hosszával. Mindkét feladat megoldhatatlan, ez utóbbi ugyanis ellentmond a $\pi$ szerkeszthetetlenségének. Ha a szerkesztés eszközeit körzőre és vonalzóra redukáljuk, akkor már a $\pi$ transzcendenciája is megoldhatatlanná teszi a feladatokat. Ezt a német Ferdinand von Lindemann bizonyította 1882-ben.

Négyzethajtogatás és pitagoraszi hármasok

Ha egy négyzetet az ábra szerint hajtogatunk, akkor három páronként egymáshoz hasonló derékszögű háromszög keletkezik, melynek oldalhosszaira teljesül, hogy:

rövidebb befogó : hosszabb befogó : átfogó = 3:4:5

Haga tétele szerint tehát ezzel a hajtogatással geometriailag előáll a legkisebb pitagoraszi számhármas.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Quadrat című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Jegyzetek

1 2 Fritz Schmidt: 200 Jahre französische Revolution. Didaktik der Mathematik. Bayerischer Schulbuch-Verlag München, 1990 (Hozzáférés: 2025. október 10.)
↑ Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 157
↑ Ross Honsberger: Mathematical Morsels Mathematical Association of America, Washington 1978, S. 204–205
↑ Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 94/95
↑ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 257, 258, 304
↑ Hans Walser: Spiel mit Quadraten In: MU, Der Mathematikunterricht, Jahrgang 67, Heft 3–2021, S. 17–27, ISSN 0025-5807
↑ Invariante Flächensumme auf der Sinuskurve PDF-Skript zum Vortrag von Hans Walser, Buchautor und Lehrbeauftragter für Mathematik an mehreren Schweizer Hochschulen, auf dem 24. Forum für Begabungsförderung in Mathematik 2023, Wolfratshausen, abgerufen am 13. August 2023
1 2 3 Hans Walser: Spiralen, Schraubenlinien und spiralartige Figuren - Mathematische Spielereien in zwei und drei Dimensionen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2022, ISBN 978-3-662-65131-5, Seiten 69–70

[Schmidt-1] 1 2 Fritz Schmidt: 200 Jahre französische Revolution. Didaktik der Mathematik. Bayerischer Schulbuch-Verlag München, 1990 (Hozzáférés: 2025. október 10.)

[2] Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 157

[3] Ross Honsberger: Mathematical Morsels Mathematical Association of America, Washington 1978, S. 204–205

[4] Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 94/95

[5] Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 257, 258, 304

[6] Hans Walser: Spiel mit Quadraten In: MU, Der Mathematikunterricht, Jahrgang 67, Heft 3–2021, S. 17–27, ISSN 0025-5807

[7] Invariante Flächensumme auf der Sinuskurve PDF-Skript zum Vortrag von Hans Walser, Buchautor und Lehrbeauftragter für Mathematik an mehreren Schweizer Hochschulen, auf dem 24. Forum für Begabungsförderung in Mathematik 2023, Wolfratshausen, abgerufen am 13. August 2023

[Walser-8] 1 2 3 Hans Walser: Spiralen, Schraubenlinien und spiralartige Figuren - Mathematische Spielereien in zwei und drei Dimensionen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2022, ISBN 978-3-662-65131-5, Seiten 69–70

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]