Trapéz

Animáció, két trapézból parallelogramma áll össze

A geometriában trapéznak nevezik az olyan négyszöget, amelynek van két egymással párhuzamos oldala.

A trapéz elnevezése más nyelvekben is ugyanez (hasonló), de megesik, hogy a trapéz elnevezés alatt – szűkített értelemben – csak olyan négyszöget értenek, amelynek pontosan egy pár párhuzamos oldala van. Ilyen meghatározás előfordulhat magyar szakirodalomban is.

Ha a másik két szemközti oldal szintén párhuzamos egymással, akkor a trapéz egyben paralelogramma is. Ha nem, akkor a másik két szemközti oldalt találkozásukig meghosszabbítva egy háromszöget kapunk, amely tartalmazza a trapézt.

A párhuzamos oldalakat alapoknak, a másik két oldalt száraknak nevezzük. A trapéz magassága alatt a két párhuzamos oldalegyenes távolságát értjük. A szárak felezőpontját összekötő szakasz a trapéz középvonala, hossza egyenlő az alapok számtani közepével.

A szakirodalom (feladatgyűjtemények stb.) külön megemlít kétfajta trapézt. Az egyik az egyenlő szárú trapéz, a másik a derékszögű trapéz.

Az egyenlő szárú trapéz a fenti definíció értelmében olyan trapéz amelynek szárai egyenlő hosszúak. Az ilyen trapéznak az alapon fekvő szögei egyenlőek, vagy egymás kiegészítőszögei. Ha az alapon fekvő szögek egyenlőek, az ilyen trapézt szimmetrikus trapéznak, illetve húrtrapéznak nevezik, mert az alapok közös felező merőlegese egyúttal szimmetriatengely is, és mert van körülírt köre.

A paralelogrammára ritkán használják az „egyenlő szárú trapéz” elnevezést. Ez általában akkor van, amikor egy szövegben az „egyenlő szárú trapéz” jelenthet húrtrapézt és paralelogrammát is. A paralelogramma (mint trapéz) szárai egyenlőek, az alapon fekvő szögek azonban eltérő nagyságúak (hacsak nem téglalap is egyben), így nem igazak rá a fenti megállapítások (tengelyes szimmetria, húrnégyszögség.)

A derékszögű trapéz, mint a neve is mondja, olyan trapéz, amelynek van derékszöge. Mivel van egy pár párhuzamos oldala, így a trapéznak páros számú derékszöge van.

Tulajdonságai

Az A, B, C, D csúcsú trapéz,
az a, b, c, doldalakkal
és az α, β, γ, δ szögekkel.
Szaggatott vonalakkal:
a h magasság, továbbá
az e és f átlók, metszéspontjuk S; továbbá az m középvonal, ami az AD és BC oldalak középpontját kötik össze

Egy négyszög akkor és csak akkor trapéz, ha van benne két szomszédos csúcs, amelynek szögei kiegészítő szögek, azaz összegük 180°. Egy másik szükséges és elégséges feltétel, hogy az átlók ugyanolyan arányban osztják fel egymást. Az átlók a trapézt négy háromszögre osztják fel, melyek közül kettő hasonló, a másik kettő pedig egyenlő területű:

Legyen $ABCD$ trapéz, és az átlók metszéspontja $S$. Ekkor a $DCS$ és $ABS$ hasonlók, mivel szögeik egyformák: egy szög csúcsszög, és két szög váltószög. E két háromszög hasonlósága miatt az átlók egyenlő arányban metszik egymást, azaz ${\tfrac {DS}{BS}}={\tfrac {CS}{AS}}$. Az $ADS$ és $BCS$ háromszögek területe megegyezik, mivel az $ABC$ és $ABD$ háromszögek területe megegyezik, mivel alapjuk és magasságuk megegyez9ik. Ezekből a háromszögekből még le kell vonni a mindkettő által tartalmazott $ABS$ háromszöget.

Területe

A trapéz területe a következőképpen számolható: vesszük két párhuzamos oldalának számtani közepét és megszorozzuk a magassággal.

Tehát, ha a és c a két párhuzamos oldal, és m a köztük lévő távolság (magasság), a területképlet a következő:

$T={\frac {a+c}{2}}m$

Egy másik területképlet akkor alkalmazható, ha csak a trapéz oldalainak hosszát ismerjük. Ekkor ha az oldalak rendre a, b, c és d, valamint a és c párhuzamosak (ahol a a hosszabbik párhuzamos oldal), akkor:

$T={\frac {a+c}{4(a-c)}}{\sqrt {(a+b-c+d)(a-b-c+d)(a+b-c-d)(-a+b+c+d)}}$

Bizonyítás

Használjuk a lenti ábra jelöléseit:

Ha a D pontból párhuzamost húzunk a b oldallal, akkor az így keletkezett DE szakasz megegyezik b-vel. Az így kapott háromszög három oldala a-c, b és d. Fejezzük ki $\alpha$-t a koszinusztétellel:

$\cos \alpha ={\frac {(a-c)^{2}+d^{2}-b^{2}}{2d(a-c)}}$

Ebből fejezzük ki $\sin \alpha$-t:

$\cos ^{2}\alpha ={\Bigg (}{\frac {(a-c)^{2}+d^{2}-b^{2}}{2d(a-c)}}{\Bigg )}^{2}$

$\sin ^{2}\alpha =1-\cos ^{2}\alpha =1-{\Bigg (}{\frac {(a-c)^{2}+d^{2}-b^{2}}{2d(a-c)}}{\Bigg )}^{2}={\frac {4d^{2}(a-c)^{2}-{\Big (}(a-c)^{2}+d^{2}-b^{2}{\Big )}^{2}}{4d^{2}(a-c)^{2}}}$

$\sin \alpha ={\frac {\sqrt {4d^{2}(a-c)^{2}-{\Big (}(a-c)^{2}+d^{2}-b^{2}{\Big )}^{2}}}{2d(a-c)}}$

Az ADE háromszögben fejezzük ki m-et d és $\sin \alpha$ segítségével:

$m=d\cdot \sin \alpha ={\frac {\sqrt {4d^{2}(a-c)^{2}-{\Big (}(a-c)^{2}+d^{2}-b^{2}{\Big )}^{2}}}{2(a-c)}}$

A szorzattá alakításokat annak segítségével végezzük el, hogy két négyzetszám különbsége felírható a két szám összegének és különbségének szorzataként:

${\frac {\sqrt {4d^{2}(a-c)^{2}-{\Big (}(a-c)^{2}+d^{2}-b^{2}{\Big )}^{2}}}{2(a-c)}}=$

$={\frac {\sqrt {{\Big (}2d(a-c)-(a-c)^{2}-d^{2}+b^{2}{\Big )}{\Big (}2d(a-c)+(a-c)^{2}+d^{2}-b^{2}{\Big )}}}{2(a-c)}}=$

(Teljes négyzetté alakítás)

$={\frac {\sqrt {{\Big (}b^{2}-(a-c-d)^{2}{\Big )}{\Big (}(a-c+d)^{2}-b^{2}{\Big )}}}{2(a-c)}}=$

$={\frac {\sqrt {(b-a+c+d)(b+a-c-d)(a-c+d-b)(a-c+d+b)}}{2(a-c)}}$

$m={\frac {\sqrt {(a+b-c+d)(a-b-c+d)(a+b-c-d)(-a+b+c+d)}}{2(a-c)}}$

Ezt az m-et behelyettesítjük a $T={\frac {a+c}{2}}m$ képletbe:

$T={\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {(a+b-c+d)(a-b-c+d)(a+b-c-d)(-a+b+c+d)}}{2(a-c)}}$

$T={\frac {a+c}{4(a-c)}}{\sqrt {(a+b-c+d)(a-b-c+d)(a+b-c-d)(-a+b+c+d)}}$

Ha a trapézunk húrtrapéz, akkor területét Brahmagupta képletével is kiszámolhatjuk hiszen ekkor húrnégyszög is egyben.

Képletek

Matematikai képletek a trapézhoz
Terület	$T={\frac {(a+c)\cdot m}{2}}=k\cdot m$	A trapéz méretei
Magasság	$m={\frac {2}{|a-c|}}\cdot {\sqrt {s\cdot (s-|a-c|)\cdot (s-b)\cdot (s-d)}}$ (ha $a\neq c$), ahol $s={\frac {|a-c|+b+d}{2}}$
	$m={\frac {2\cdot A}{a+c}}$
	$m=b\cdot \sin(\beta )=b\cdot \sin(\gamma )=d\cdot \sin(\delta )=d\cdot \sin(\alpha )$
Kerület	$K=a+b+c+d$
Átlók	$e={\sqrt {\frac {a\cdot d^{2}+a^{2}\cdot c-a\cdot c^{2}-c\cdot b^{2}}{a-c}}}$ (ha $a\neq c$)
	$f={\sqrt {\frac {a\cdot b^{2}+a^{2}\cdot c-a\cdot c^{2}-c\cdot d^{2}}{a-c}}}$ (ha $a\neq c$)
Belső szögek	$\alpha +\delta =\beta +\gamma =180^{\circ }$
Súlypont $S_{T}$	${\begin{aligned}x_{S_{T}}&={\frac {a^{2}-b^{2}+\xi (a+2b)}{3(a+b)}}\\y_{S_{T}}&={\frac {m}{3}}\cdot {\frac {a+2b}{a+b}}\end{aligned}}$

Animáció a parallelogrammává való kiegészítésről

A magasság kiszámítása levezethető a háromszögekre vonatkozó Hérón-képletből. Az átlóhosszak a koszinusztételen alapulnak.

A táblázatban szereplő területképlet bizonyítható azzal, ha két egybevágó trapézt illesztünk össze egy paralelogrammává. Ekkor a trapéz területe fele a paralelogrammának, melynek magassága megegyezik a trapéz magasságával, alapja pedig a trapéz alapjainak összegével.

Speciális esetek

Egyenlő szárú trapéz

Húrtrapéz körülírt körével

Az egyenlő szárú trapéznak több definíciója van:

• A trapéz egyenlő szárú, ha az alapoktól különböző oldalai egyenlő hosszúak.
• A trapéz egyenlő szárú, ha egyik alapján levő belső szögei egyenlőek.
• A trapéz egyenlő szárú, ha egyik oldalára merőleges tükörtengelye van.

Az első definíció nem zárja ki azokat a paralelogrammákat, melyek nem téglalapok. Néha a paralelogrammákat kizárják, még ha ez nem is explicit. A másik két definíció ekvivalens, és húrtrapézt definiál. Ha a trapéz tükörtengelyre szimmetrikus, akkor az azonos alapon fekvő belső szögek megegyeznek.

A húrtrapéz jellemzése:

• Átlói egyenlő hosszúak.
• Húrnégyszög, azaz van körülírt köre.
• A körülírt kör középpontja a trapéz oldalfelező merőlegeseinek metszéspontja.
• A körülírt kör középpontján átmenő magasság a trapézt két tükörszimmetrikus részre bontja.

Ha egy trapéz a derékszögű, középpontosan szimmetrikus és tengelyesen szimmetrikus tulajdonságai közül kettőt teljesít, akkor teljesíti a harmadikat is, és téglalap.

Derékszögű trapéz

Derékszögű trapéz

Egy trapéz derékszögű, ha legalább egy derékszöge van. Mivel a trapéz két oldala párhuzamos, azért egy ilyen trapézban legalább két derékszög van, melyek egymás mellett fekszenek. A téglalap speciális derékszögű trapéz, melyben a derékszögek száma négy.

Négyzetes közép trapézban

1-es ábra

2-es ábra

Egy, az alapokkal párhuzamos $p$ szakasz hossza, amely a trapézt két egyenlő területű részre osztja, megegyezik a két alap négyzetes közepével.

A párhuzamos szelők tételéből

$A_{a}:A_{p}:A_{b}=a^{2}:p^{2}:b^{2}$.

Mivel

$A_{a}-A_{p}=A_{p}-A_{b}$

kapjuk, hogy

$A_{p}={\frac {A_{a}+A_{b}}{2}}$

és ezzel

$p^{2}={\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}$,

tehát

$p={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}}$.

Emiatt $p$ az $a$ és $b$ oldalak négyzetes közepe.

Az elnevezés története a geometriában

Proklosz, Hérón és Poszeidónosz a trapéz elnevezést a mai értelemben használták, míg a szabáytalan négyszöget trapezoidnak (τραπεζοειδῆ) nevezték. A brit angol nyelvbe a trapéz trapeziumként került bele, a trapezoid szó nem változott. Az amerikai angol azonban megcserélte a két szó jelentését. Euklidész a trapéz szót használta szabálytalan négyszög jelentésben, mivel addigra már a trapéz nem számított különlegesnek. Tőle vette át Boethius és a többi középkori matematikus. Csak a 18. században merült fel újra a megkülönböztetés szükségessége.

A trapéz jelentései a geometrián kívül

Ezek az elnevezések a geometriai kifejezésből erednek:

• Az akrobatikában formájáról trapéznak nevezik a két kötélen függő vízszintes rúdból álló lengő nyújtót.
• Az anatómiában a trapézcsont a kéz egy csontja.

Külső hivatkozások

• "Trapezoid" on MathWorld

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Trapez (Geometrie) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.