Számtani közép

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Számtani vagy aritmetikai középértéken darab szám átlagát, azaz a számok összegének -ed részét értjük. A számtani közepet általában betűvel jelöljük:

A kiindulási értékeket összeadjuk, majd az összeget elosztjuk az összeadott számok darabszámával. A hétköznapi életben ezt simán "átlag"nak mondjuk. A matematikában a számtani közép elnevezés a mértani és a harmonikus középtől való megkülönböztetést szolgálja. Ezt a hármat pitagoraszi közepeknek nevezik.

Számos területen használják, statisztikában, történelemben, szociológiában és pénzügyekben, és bizonyos mértékben minden területen lehet vele találkozni. Például az egy főre jutó jövedelmet számtani középpel számítják.

Habár közép felé húz, nem robusztus statisztika, mivel erősen hatnak rá a kilógó adatok. Ferde eloszlás esetén a számtani közép nem esik egybe a mediánnal és a módusszal, tehát nem ez a leggyakoribb érték, és nem is a középső érték. Ilyen eloszlású például a jövedelem, ahol is a kevés magas jövedelem felhúzza a számtani közepet, így ekkor a közép megtévesztő lehet. Ekkor hasznosabb a másik két statisztika.

Egy homályos használat szerint, ha x és y számok, akkor bármely számtani sorozat, aminek tagjai a kettő közé esnek, nevezhető x és y számtani közepének.[1]

Értelmezése[szerkesztés]

Az a és a b számok számtani közepe m akkor és csak akkor, ha m-a=b-m.

Legyenek ugyanolyan eloszlású, egymástól független valószínűségi változók μ várható értékkel és σ szórással, akkor az középérték szintén μ körül ingadozik, és szórása kisebb, . Ha tehát egy valószínűségi változó várható értéke és szórása is véges, akkor a Csebisev-egyenlőtlenség miatt a mintaközép a minta elemszámának növelésével sztochasztikusan konvergál a valószínűségi változó várható értékéhez. Tehát a számtani közép alkalmas a várható érték becslésére, viszont érzékeny a nem tipikus adatokra (lásd: medián).

A számtani középre vonatkozó alaptétel[szerkesztés]

Tétel: Ha valós számok, és , vagyis az és számok számtani közepe, akkor . Szemléletesen ez azt jelenti, hogy az és a számoktól egyenlő távolságra (vagyis „középen”) helyezkedik el a számegyenesen. Valóban, hiszen ha , akkor és .

Adott valós számok számtani középértéke nem lehet kisebb, mint a számok legkisebbike, és nem lehet nagyobb, mint a számok legnagyobbika:


Algebrai tulajdonságok[szerkesztés]

Ha a tetszőleges számsorozatot tetszőlegesen hosszan bővítjük e számok számtani közepével, akkor az így kibővített sorozat tagjainak számtani középértéke megegyezik az eredeti számtani középpel:

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség:

Mivel középre húz, alkalmas a centrális tendencia mérésére. Ezek közé tartozik, hogy:

  • Ha az számok számtani közepe , akkor . Ezt azzal szemléltetik, hogy a számtani középtől balra és jobbra levő számok ellensúlyozzák egymást. A számtani közepet egyértelműen meghatározza ez a tulajdonsága, tehát nincs más ilyen tulajdonságú szám.
  • Ha az számokat egyetlen paraméterrel kell jellemezni, akkor erre a számtani közép a legalkalmasabb, mivel minimalizálja a négyzetes eltéréseket a paramétertől. Ezt a minta négyzetes hibájának, vagy torzított tapasztalati szórásnégyzetnek nevezik.[2] A számtani közép (ilyen kontextusban tapasztalati várható érték) torzítatlanul közelíti a minta várható értékét.

Szembeállítás a mediánnal[szerkesztés]

A számtani közép szembeállítható a mediánnal. A medián definíció szerint a minta középső eleme, tehát az elemek fele kisebb, fele nagyobb nála. Páros elemszám esetén a medián a két középső elem számtani közepe. A számtani közép és a medián akkor esik egybe, ha a rendezett sorozat számtani. Például, ha a rendezett sorozat akkor a számtani közép és a medián is 2,5. Ha például , akkor a számtani közép 6,2, de a medián 4. A számtani közép lehet sokkal nagyobb, vagy kisebb is, mint a sorozat legtöbb eleme.

A medián és a számtani közép együttes használata elterjedt. Statisztikai elemzések szerint az 1980-as évektől az Amerikai Egyesült Államokban a jövedelem számtani közepe gyorsabban nőtt, mint a mediánja.[3]

Számtani sorozatok[szerkesztés]

Számtani sorozatban – az elsőt kivéve – bármelyik tag a két szomszédjának számtani közepe. Általában tag az és tagok számtani közepe, ha pozitív egészek. Ennek megfordítása is igaz (ha egy sorozatban bármely két tag a szomszédos tagok számtani közepe, akkor az egy számtani sorozat), mégpedig egyszerű következménye a számtani középre vonatkozó alaptételnek.

Súlyozott számtani közép[szerkesztés]

A számtani középnek súlyozott változata is értelmezhető. Alkalmazzák például a keverési feladatokban, a valószínűségszámításban és a statisztikában.

A súlyozott számtani közép számítása:

.

ahol az xi számok rendre a wi súlyokkal szerepelnek.

A keverési feladatokban xi jelöli a koncentrációt vagy a hőmérsékletet, és wi a térfogatot, vagy a tömeget.

A statisztikai alkalmazásokban az xi adatpontokhoz tartozó wi súlyok azt mutatják, hogy az adott adatpont hányszor jelenik meg a mintában.

Több minta összetevésekor az egyes minták középértékeit a megfelelő minták elemszámával súlyozzák.

A valószínűségszámításban, ha az valószínűségi vektorváltozók közös várható értéke , de szórásuk rendre , akkor a súlyozott középérték körül ingadozik, és szórásnégyzete

.

Ha most

,

akkor

.

A Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség alapján

.

A választás minimalizálja a középérték szórását. A súlyok választása mutatja, hogy melyik adatnak mekkora fontosságot tulajdonítunk.

Alkalmazás[szerkesztés]

A számtani közepet additív – magyarul összeadható – mennyiségek átlagolására használjuk (például magasságok átlaga, testsúlyok átlaga stb.)

Függvény középértéke[szerkesztés]

A Riemann-integrálható függvények középértéke a számtani közép általánosításaként fogható fel.

Az Riemann-integrálható függvény középértéke

Ha most egyenlő osztásközöket veszünk, ahol osztópontok, és a két szomszédos osztópont közötti távolság , akkor az

számtani közép tart az középértékhez.

Ha f folytonos, akkor az integrálszámítás középértéktétele szerint létezik , amire , a függvény legalább egy helyen felveszi középértékét.

A középértéknek is van súlyozott változata, ahol is a súlyfüggvény pozitív minden -re. Ekkor a súlyozott középérték

.

Az mértéktérben, ahol , a Lebesgue-integrálható függvények középértéke

.

Valószínűségi tér esetén, ahol , a középérték az

alakra hozható, ami éppen az f(x) várható értéke.

Folytonos valószínűségi eloszlások[szerkesztés]

Két, különböző ferdeségű lognormális eloszlás középértékeinek középértékeinek (várható érték, medián és módusz) összehasonlítása

Valószínűségi eloszlások esetén annak a valószínűsége, hogy az érték a számegyenes melyik szakaszára esik, különbözhet attól, hogy az érték egy másik, de ugyanolyan hosszú szakaszra esik. Egyenlőség minden szakaszpárra csak geometriai eloszlás esetén áll fenn. A többi esetet eloszlásfüggvénnyel vagy sűrűségfüggvénnyel írják le. A súlyozott átlag megfelelője itt a valószínűségeloszlás várható értéke. A valószínűségeloszlás folytonos, ha eloszlásfüggvénye folytonos. A sűrűségfüggvény létezéséhez az eloszlásfüggvénynek differenciálhatónak kell lennie. Az egyik leggyakrabban használt eloszlásfüggvény a normális eloszlás, ami szimmetrikus a várható értékére, így mediánja és módusza is a várható értéke. Nem szimmetrikus eloszlások esetén ezek különböznek. Egy gyakran használt nem szimmetrikus (ferde) a lognormális eloszlás, amit az ábra is mutat.

Szögek[szerkesztés]

Szögek és más hasonló mennyiségek, egy modulus szerinti mennyiségek átlagolására alkalmatlan a számtani közép. Az egyik nehézség az, hogy a két mennyiségnek két távolsága van, amelyek közül a kisebbet szokták távolságon érteni, de a számtani közép lehet, hogy a nagyobb távolságot felezi. Például, ha a két mennyiség 1 és 359 fok, akkor a hagyományos számtani közép 180 fokot ad, pedig a 0 vagy 360 foknak geometriai jelentése is lenne. Egy másik probléma az, hogy a modulo mennyiségek értelmezhetők többféleképpen is. Például 1 és 359 fok helyett lehetne 1 és -1 fok, de lehetne 361 és 719 fok is, ami több különböző eredményt ad. Éppen ezért ezekre a mennyiségekre át kell definiálni a számtani közepet, hogy a moduláris távolságot felezze. Az így definiált mennyiség a moduláris számtani közép, vagy moduláris átlag.

Kapcsolat más közepekkel[szerkesztés]

Legyen f egy I intervallumon értelmezett szigorúan növő folytonos függvény. Legyenek továbbá adva a súlyok. Ekkor az számok -vel súlyozott kvázi-aritmetikus közepe

.

Nyilván

Így a különböző f függvényekkel különböző közepek definiálhatók. visszaadja a számtani közepet, a mértani közepet, és a k-adik hatványközepet.

Mindezek a közepek függvényekre is általánosíthatók. Ehhez azt kell még kikötni, hogy az f függvény értelmezési tartománya tartalmazza az u függvény képhalmazát. Ekkor az u függvény középértéke:

Lásd még[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben az Arithmetic mean című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

  1. Foerster, Paul A.. Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, Teacher's Edition, Classics, Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 573. o (2006). ISBN 0-13-165711-9 
  2. Medhi, Jyotiprasad. Statistical Methods: An Introductory Text. New Age International, 53–58. o (1992). ISBN 9788122404197 
  3. Paul Krugman, "The Rich, the Right, and the Facts: Deconstructing the Income Distribution Debate", 'The American Prospect'