Mértani közép

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A mértani közép a matematikában a középértékek egyike. Két nemnegatív szám mértani (geometriai) középarányosa egyenlő a két szám szorzatának négyzetgyökével. Hasonlóan, több nemnegatív szám mértani közepe a számok szorzatának annyiadik gyöke, ahány számot vettünk. Jele általában G vagy M.

Általános definíció[szerkesztés]

Az nem negatív számok G mértani közepe:


Adott nemnegatív valós számok mértani középértéke nem lehet kisebb, mint a számok legkisebbike, és nem lehet nagyobb, mint a számok legnagyobbika:


Súlyozott mértani közép[szerkesztés]

Ha nemnegatív számok, pedig olyan nemnegatív számok amikre

teljesül, akkor a számok (súlyokkal súlyozott) súlyozott mértani közepe az

szám.

A közönséges definíció ennek speciális esete, amikor

Geometriai interpretáció[szerkesztés]

Az és számok mértani közepe az a szám, ami annak a négyzetnek az oldalhosszúsága, aminek területe egyenlő az és oldalú téglalap területével.

Ez meg is szerkeszthető a Pitagorasz-tétel és a magasságtétel alapján:

Egy egyenes szakaszra felmérjük az és hosszú szakaszokat. Felezzük meg az szakaszhosszt, és húzzunk egy félkörívet a felezőpont körül sugárral (Thalész-kör). Állítsunk merőlegest abban a pontban, ami az a és a b szakasz határpontja. A körív és a merőleges által kimetszett szakasz hossza a keresett mértani közép.

Három szám, , és mértani közepe az a szám, ami annak a kockának az oldalhosszúsága, aminek térfogata egyenlő az , és oldalú téglatest térfogatával. Hasonlók igazak több számra és magasabb dimenziós hiperkockákra.

Tulajdonságai[szerkesztés]

Komplex számokra nem szokás kiterjeszteni, mivel a komplex gyökvonás nem egyértelmű.

A mértani közép nem kisebb, mint a legkisebb adott szám, és nem nagyobb a legnagyobbnál.

Ha az egyik szám nulla, akkor a mértani közép is nulla.

Amennyiben a sorozat összes tagja pozitív, mértani sorozatban – az elsőt kivéve – bármelyik tag a két szomszédjának mértani közepe. Általában tag az és tagok mértani közepe, ha pozitív egészek.

A mértani és a számtani közép egyenlőtlensége:

Ezzel ekvivalens állítás:

Fennáll még az összefüggés:

Alkalmazása[szerkesztés]

Lásd még[szerkesztés]

Források[szerkesztés]