Hiperkocka

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Négydimenziós hiperkocka háromdimenziós vetülete.

A hiperkocka a kocka általánosítása több dimenzióra: olyan konvex alakzat, amelynek bármely két éle egyforma hosszú, és vagy párhuzamos, vagy merőleges egymásra. Az egydimenziós hiperkocka a szakasz, a kétdimenziós a négyzet, a háromdimenziós a kocka.

Egy n-dimenziós hiperkocka előáll 2n darab (n-1)-dimenziós hiperkocka összeillesztésével; más megközelítésben az n-dimenziós hiperkocka az a terület, amelyet az (n-1)-dimenziós hiperkocka a hipersíkjára merőleges, az élhosszával azonos hosszú eltolás során súrol. A koordinátageometriában az origó középpontú, a tengelyekkel párhuzamos élű, 2d élhosszúságú hiperkocka azokat a pontokat tartalmazza, amelyek koordinátáinak a maximumnormája d és ‒d közé esik.

Konstrukció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az a oldalhosszú kockák így konstruálhatók:

  • Ha egy pontot egyenes mentén eltolunk a távolságra, akkor szakaszt kapunk, ami egydimenziós kocka.
  • Ha egy a hosszú szakaszt egy rá merőleges irányban eltolunk, akkor négyzetet kapunk, ami kétdimenziós kocka.
  • Ha egy a oldalhosszú négyzetet eltolunk egy olyan irányban, ami merőleges a síkjára, akkor egy háromdimenziós kockát kapunk.
  • Általában, ha egy n-dimenziós kockát egy rá merőleges irányban a távolságra eltolunk, akkor egy (n+1)-dimenziós kockát kapunk.

Kombinatorikus szerkezet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az n-dimenziós hiperkocka minden csúcsának n szomszédja van; a hiperkockának összesen 2^n csúcsa, n \cdot 2^{n-1} éle és általában {n \choose k} \cdot 2^{n-k} k-dimenziós oldala van. A négydimenziós hiperkockának például 16 csúcsa, 32 éle, 24 lapja és 8 teste van. (A képlet egy egyszerű kombinatorikai gondolatmenettel levezethető: az n-dimenziós hiperkocka 2^n csúcsának mindegyike n \choose k darab k-dimenziós oldalhoz tartozik, mivel a csúcs n szomszédjából k-t kiválasztva jelölhetünk ki egy ilyen oldalt. Minden oldalhoz 2^k csúcs tartozik, így az oldalak száma \frac{2^n \cdot {n \choose k}}{2^k}.)

A különböző dimenziós oldalak száma az eltolásos konstrukcióval is belátható.

  • Az eltolás minden k-ra megduplázza a k-dimenziós oldalak számát.
  • Minden k-dimenziós oldal kiegészül (k+1)-dimenziósra.

Példa: a háromdimenziós kocka eltolással keletkezik a négyzetből.

  • a négyzet oldalainak száma megduplázódik
  • a négyzet csúcsai élekké egészülnek ki

Így a kockának 2·4+4 éle van.

  Az oldalak száma
0-dim. 1-dim. 2-dim. 3-dim. 4-dim. 5-dim. \ldots (n-1)-dim.
Szakasz 2
Négyzet 4 4
3-dim. kocka 8 12 6
4-dim. kocka 16 32 24 8
5-dim. kocka 32 80 80 40 10
6-dim. kocka 64 192 240 160 60 12
\vdots
n-dim. kocka 2^n n 2^{n-1} n(n-1) 2^{n-3} \ldots \ldots \ldots \ldots 2n

Kockák nullától öt dimenzióig párhuzamos vetületekben

Megjelenése a kultúrában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Képzőművészetben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Tony Robbin kockaélek forgatásával és tükrözésével olyan szituációkat ábrázolt rajzban és szobrokon, amik csak egy magasabb dimenzióban lehetségesek.
  • Manfred Mohr kompozícióiban olyan vonalakat jelenített meg, amelyek egy háromnál több szabadságfokú térbeli logikát követnek.
  • Frank Richter grafikáiban és szobraiban több, mint három térdimenziós konstellációk matematikai szabályait adta vissza.
  • Salvador Dalí egy képén (Corpus Hypercubus, 1954) egy hiperkocka előtt ábrázolja a megfeszített Jézust.

Irodalomban és filmen[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Andrzej Sekula Kocka 2: Hiperkocka filmjében a szereplők egy hiperkockában mozognak a tér és az idő dimenzióiban.
  • Robert A. Heinlein az And He Built a Crooked House című novellájában egy olyan házról ír, ami egy hiperkockából áll.

Galéria[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Hiperkocka témájú médiaállományokat.