Norma (matematika)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A norma olyan vektortéren vagy függvénytéren értelmezett d leképezés, ami a nullvektor kivételével a tér minden vektorához egy pozitív számot rendel. Érvényesek rá a következő, az abszolút értékhez hasonló tulajdonságok:

  • d(x)>=0
  • d(x)=0 akkor és csak akkor, ha x=0
  • d(x+y)≤d(x)+d(y)
  • d(λx)=|λ|d(x)

d(x)-et az x normájának nevezik.

A normát valós vagy komplex vektor- vagy függvénytéren vezetik be. A normával ellátott tereket normált tereknek hívják. A fogalom bevezetésének motivációja a „hosszúság” fogalmának kezelése absztrakt terekben.

Véges dimenziós vektorterek[szerkesztés]

Az n dimenziós valós (és komplex) vektortereken többnyire a p-normákat (Hölder-normák) használják:

Különösen gyakran fordulnak elő az 1-es, a 2-es és a végtelen-normák.

  • Az 1-norma: .

A belőle származó távolságmérték olyan utak mentén méri a távolságokat, amelyek nem mehetnek ferdén, azaz minden szakaszuk párhuzamos a koordinátatengelyekkel. Például -ben a szakaszok csak vízszintesek és függőlegesek lehetnek.

  • A 2-norma:

Skalárszorzatból származik. Ez azt jelenti, hogy van egy skalárszorzat, amivel teljesül, hogy: . Valamint teljesül rá a Pitagorasz-tétel, a paralelogrammaszabály, és komplex terekben a polarizációs egyenlőség.

A többi normához nincs ilyen skalárszorzat: a paralelogrammaszabállyal egyetlen jelölt adódik. A skalárszorzat tulajdonságait ellenőrizve kiderül, hogy nem teljesíti ezeket a tulajdonságokat.

  • Értelmeznek -normát is, ahol

Határértékként is megkapható a p-normákból, ahol p tart a végtelenbe.

Képek az egységgömbökről két dimenzióban:

p = 1
Az 1-norma egységgömbje
p = 2
A 2-norma egységgömbje
p = ∞
A végtelen-norma egységgömbje

Véges dimenzióban minden norma ekvivalens, azaz ugyanazok a sorozatok konvergensek minden normában.

Mátrixnormák[szerkesztés]

A vektornormák mátrixnormákat indukálnak:

Itt a sup helyett maximum is írható. A linearitás folytán elég az 1 normájú vektorokat tekinteni, és mivel ez kompakt halmaz, a folytonos függvény felveszi a maximumát.

Az indukált mátrixnormákra teljesül:

és :

Többnyire itt is az 1-es, a 2-es és a végtelen normát használják.

  • Az 1-es norma által indukált mátrixnorma az oszlopösszegnorma, vagy röviden oszlopnorma:

  • -A végtelen norma a sorösszegnormát, más néven a sornormát indukálja:

  • A 2-es norma indukálta mátrixnorma:

, azaz a mátrix legnagyobb szinguláris értéke. A képletben a mátrix konjugált transzponáltja, és az szorzatmátrix abszolút értékben legnagyobb sajátértéke.

-es A mátrixra:

Végtelen dimenziós vektorterek, függvényterek[szerkesztés]

-terek[szerkesztés]

Az -terek azokból a sorozatokból állnak, amelyekben a tagok abszolút értékes p-edik hatványának összege konvergens.

és :

A véges dimenziós esethez hasonlóan értelmezik a p-normákat:

p véges

és : p végtelen

Lp-normák[szerkesztés]

Az Lp-terek azokat a függvényeket tartalmazzák, amiknek a p-edik hatványa integrálható. Ha ezekre a függvényekre vesszük az analóg leképezést:

,

akkor egy úgynevezett félnormát kapunk, mert ez az integrál nemcsak az azonosan nulla függvényre nulla, hanem azokra is, amik majdnem mindenhol nullát vesznek fel. Tekintsük ekvivalensnek azokat a függvényeket, amik majdnem mindenütt egyenlők. Ezeken az ekvivalenciaosztályokon ez az integrál norma.

Többnyire itt is az 1-es, a 2-es és a határértékként kapható végtelen normát használják, bár előfordulnak fizikai példák más p-kre, mint a hősugárzási egyenlet megoldása az L5-térben.

A 2-es norma skalárszorzatból származik. Ez azt jelenti, hogy van egy skalárszorzat, amivel teljesül, hogy: . Valamint teljesül rá a Pitagorasz-tétel, a paralelogrammaszabály, és komplex terekben a polarizációs egyenlőség.

A többi normához nincs ilyen skalárszorzat: a paralelogrammaszabállyal egyetlen jelölt adódik. A skalárszorzat tulajdonságait ellenőrizve kiderül, hogy nem teljesíti ezeket a tulajdonságokat.

Operátornormák[szerkesztés]

Az operátornormákat a mátrixnormákkal analóg módon definiálják:

.

Legyen egy másik lineáris operátor. Ekkor teljesül:

.

Véges dimenzióban automatikusan véges lesz a norma. Ez a függvényterekben már nem igaz, a norma végtelen is lehet, például a differenciáloperátorok esetében. Szigorúan véve nem lesz norma a fenti értelemben.

Be lehet bizonyítani, hogy egy operátor normája véges akkor és csak akkor, ha folytonos.

Források[szerkesztés]

  • Stoyan Gisbert - Takó Galina: Numerikus módszerek 1.
  • Riesz-Szőkefalvi: Funkcionálanalízis