Kváziaritmetikai közép

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Legyen R intervallum, , valós számok,  : R intervallumon értelmezett szigorúan monoton és folytonos függvény. Ekkor az és számok -re vonatkozó kváziaritmetikai közepe a következő, -fel jelölt szám:

Hasonlóan, ha adottak az számok, akkor ezek -re vonatkozó függvényközepe

Az f függvényt szokás a közép generátorfüggvényének is nevezni.

Megjegyzés: a kváziaritmetikai közép értelmezhető más objektumokra is, mint a valós számok; például vektorokra. Ekkor azt kell föltenni, hogy értelmezési tartománya Rn egy összefüggő részhalmaza.

Nevezik Kolmogorov-középnek is, az orosz Andrej Kolmogorov után.

Tulajdonságok[szerkesztés]

Jóldefiniáltság[szerkesztés]

Először azt kell belátnunk, hogy a definícióban szereplő formulák jóldefiniáltak. Ilyen feltételek mellett két értéke között minden értéket felvesz és szigorúan monoton. Ekkor

és

az () és () illetve az legkisebb f() és legnagyobb f() közé esik, így beleesnek a képhalmazba, azaz f −1 értelmezve van rajtuk.

Összefüggés az absztrakt átlagokkal[szerkesztés]

Az absztrakt „átlag” fogalmának többféle ismert axiomatikus felépítése létezik. A fent definiált kvázi-aritmetikai közepek teljesítik az „átlag” leggyakrabban megkövetelt tulajdonságait, úgymint:

A következő tulajdonságokat, az ún. középérték-axiómákat:

  • Cauchy középérték-axiómája:[1]:

Hiszen ha -mel jelöljük az -k közül a legkisebbet és -mel a legnagyobbat, akkor teljesül . Ha szig. mon. nő, akkor ebből f(m) ≦ f() ≦ f(M) következik és mivel a számtani közép a legkisebb és legnagyobb érték közé esik, ezért ebből és az inverz ugyanilyen irányú szigorú monotonitásából következik az az egyenlőtlenség, amit be kellett látnunk. Ha f szigorú monoton csökken, akkor -ből f(M) ≦ f() ≦ f(m) következik, majd ebből szintén az inverz csökkenő tulajdonságából az állítás.

  • Szimmetria-axióma: , ha a elemrendszernek egy permutációja; vagyis a változók értékeinek cserélgetése a középértéket nem változtatja

Ez a tétel a számtani közép ugyanilyen tulajdonságából következik.

Egyéb tulajdonságok[szerkesztés]

Ha -mel jelöljük az -k közül a legkisebbet, akkor

  • akkor és csak akkor teljesül, ha x1 = x2 = … = xn.

Ugyanis, ha a számok egyenlők, akkor a közép egyenlő bármelyikükkel (hiszen ekkor ). Megfordítva, ha a közép a legkisebbik számmal egyenlő, akkor ez az f általi függvényértékekre is igaz; így az jelöléssel , ahol valamely i-re yi = f(m). f szigorú monotonitása miatt f(m) vagy az f() számok közül a legkisebb, vagy a legnagyobb. Eszerint egy számtani közép (az yi-k átlaga) vagy a legkisebb, vagy a legnagyobb értékkel egyenlő, amiből a számtani közép hasonló tulajdonsága miatt, mint amit itt bizonyítani szeretnénk, következik, hogy a számok egyenlők. Ha az f()-k egyenlők, akkor az -k is egyenlők, hiszen f a rá vonatkozó feltételekből következően injektív.

Ez m helyett az M maximummal is igaz.

Megjegyzés: a bizonyításhoz felhasználtuk, hogy a számtani közép rendelkezik a bizonyítandó tulajdonsággal. Ennek az iméntitől független bizonyítását ld. a számtani közép c. cikkben.
  • Particionálhatóság: A kváziaritmetikai közép számítható blokkonként: ::
  • A kváziaritmetikai közép nem változik, ha néhány elemet a kváziaritmetikai közepükkel helyettesítünk a multiplicitás megtartásával. Ha
, akkor
  • Invariáns az f függvény skálázására és eltolására:
.
  • Mivel f monoton, azért is monoton.
  • Kétváltozós esetben teljesülnek a következők:
és

.

Ezek közül akár egy is egyértelműen jellemzi a kváziaritmetikai közepeket. Lásd Aczél–Dhombres, 17. fejezet.
  • Két változó esetén a kváziartitmetikai közép teljesíti a kiegyenlítési tulajdonságot: . Érdekes kérdés, hogy ez a tulajdonság a monotonitással, folytonossággal, fixpont tulajdonsággal és a szimmetriával együtt bizonyítja, hogy kváziaritmetikai középről van szó. Erre Georg Aumann az 1930-as években adott választ: általános esetben eldönthetetlen,[2] de lehetséges, ha analitikus függvényről van szó.[3]
  • Reguláris esetben a Centrális határeloszlás-tétel is belátható a kváziaritmetikai közepekre. Ez azt jelenti, hogy approximálja a normális eloszlást.[4]

A Kolmogorov–Nagumo-tétel[szerkesztés]

A. N. Kolmogorov és Mitio Nagumo 1930-ban, valószínűségeloszlások „átlagértékeit” vizsgálva jutottak a következő axiomatikus definícióra (Kolmogorov–Nagumo–de Finetti-axiómarendszer):

Legyen zárt intervallum; olyan függvény, amely

  1. Rögzített i-re folytonos;
  2. Rögzített i-re: minden változójában szigorúan monoton;
  3. Rögzített i esetén változóiban szimmetrikus (azok permutációira invariáns)
  4. Rögzített i-re reflexív, azaz ha minden változója ugyanazon A értéket veszi fel, a függvény értéke is A;
  5. teljesíti a dekompozíciós tulajdonságot, avagy a Bemporad-féle asszociativitást[5]: M(x1, x2, … , xn) = M(x, x, … , x, xk+1, xk+2, … , xn); ahol x = M(x1, x2, … , xn), és 1<k<n-1 és 1<n.

E definíció érdekessége az, hogy amint a két kutató egymástól függetlenül bizonyította; a fenti axiómákat egyetlen függvénycsalád elégíti ki: pontosan a kváziaritmetikai közepek családja. Tehát a fenti axiómarendszer a tetszőleges sok változón értelmezett kváziaritmetikai közepek axiomatikus definíciója. Hasonló eredményekre jutott Kolmogorov nyomán Bruno de Finetti is 1931-ben.[6]

De Finetti mutatott példát olyan, statisztikában használt középféleségekre is, melyek nem aritmetikai közepek – az (antiharmonikus közép a szigorú monotonitást, a medián a Bemporad-asszociativitást nem teljesíti.[7]

Megjegyzés: a Kolmogorov-Nagumo-de Finetti axiómarendszer nem egyértelmű/karakterisztikus jellemzése tetszőleges i-változós kváziaritmetikai középnek (i rögzítettségét feltételezve), csak ezek tetszőleges sok változóra egyszerre történő kiterjesztésének. Ha M definícióját úgy módosítjuk, hogy i rögzített legyen, akkor a fenti axiómarendszer nem feltétlenül az i-változós kváziaritmetikai közepet határozza meg.[8]

Homogenitás[szerkesztés]

A közepektől többnyire elvárják, hogy homogének legyenek, de a legtöbb függvény esetén a kváziaritmetikai közép nem az. Kivétel csak a hatványközepek és a mértani közép homogén. Lásd Hardy–Littlewood–Pólya, 68. oldal.

A homogén tulajdonság elérhető, ha normalizáljuk az adatokat, amiknek a közepét számítjuk:

Ahol homogén közép. Ez a módszer azonban elronthatja a közép monotonitását vagy particionáló tulajdonságát.

Példák[szerkesztés]

(A lenti példák közül valamennyi megfelel a kváziaritmetikai közép definíciójában foglalt feltételeknek; értelmezési tartományuk nem-elfajuló – noha nem feltétlenül korlátos – intervallum, melyen szigorúan monotonok és folytonosak (ezáltal, injektívek).

generátor-
függvény (f)
értelmezés intervalluma közép képlete
(M(x1x, …,x1x))
közép elnevezése
x R = (-∞ +∞)
számtani közép
x2 R+0 = [0; +∞)
négyzetes közép
x−1 R+ = (0; +∞)
harmonikus közép
xα
(α∈R\{0})
R+0 = [0; +∞)
α paraméterű/kitevőjű hatványközép
(Hölder-közép)
logv(x)
(v∈R+\{1})[9]
R+ = (0; +∞)
mértani közép
eαx (α∈R\{0}) R = (-∞; +∞)
exponenciális közép

Általánosítások[szerkesztés]

A kváziaritmetikai közép egy lehetséges általánosítása a súlyozott kváziaritmetikai közép. Legyen f az R egy nem-elfajuló intervallumán értelmezett s azon szigorúan monoton és folytonos függvény, s legyen n∈N+, ekkor az n-változós súlyozott kváziaritmetikai közép definíciója:

,

ahol w = (w1, w2, … , wn) ∈ (0,1)n és .

Kolmogorov, Nagumo és de Finetti axiómarendszere nem nyújtja egyértelmű jellemzését ennek a bővebb, súlyozott függvénycsaládnak. A negyvenes évek végén Horváth János és Aczél János magyar kutatók vetették fel, hogy a Kolmogorov-Nagumo-de Finetti axiómarendszer némi módosításával a súlyozott kváziaritmetikai közepek is karakterizálhatóak egy függvényegyenlet-rendszerrel. A kilencvenes évek végén ezt a jellemzési problémát sikerült megoldaniuk.[8]

Hivatkozások[szerkesztés]

Lásd még[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Cauchy: Cours d’analyse de l’Ecole Royale Polytechnique, I. kötet; Analyse algébrique, (Debure, Paris, 1821).
  2. Aumann, Georg (1937). „Vollkommene Funktionalmittel und gewisse Kegelschnitteigenschaften”. Journal für die reine und angewandte Mathematik 176, 49–55. o. DOI:10.1515/crll.1937.176.49.  
  3. Aumann, Georg (1934). „Grundlegung der Theorie der analytischen Analytische Mittelwerte”. Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, 45–81. o.  
  4. de Carvalho, Miguel (2016). „Mean, what do you Mean?”. The American Statistician 70, 764‒776. o. DOI:10.1080/00031305.2016.1148632.  
  5. Az asszociativitás ezen értelmezését Giulio Bemporad vezette be 1926-ban (Sul principio della media aritmetica), Atti Accad. Naz. Lincei (6) 3; 1926; 87–91.; 87. old.)
  6. Stanisława és Walenty Ostasiewicz: Means and their applications
  7. Bruno de Finetti: Sul concetto di media, Giorn. Ist. Ital. Attuari (3); 2 (1931) 369-396. old.
  8. ^ a b A súlyozott kvázi-aritmetikai középértékek jellemzése – kurzusleírás a Debreceni Egyetem Informatika Kara honlapján
  9. A generált közép a logaritmus alapszámától függetlenül a mértani közép lesz.

Egyéb források[szerkesztés]

  • Réffy Júlia: Közepek és egyenlőtlenségek. Polygon (matematikai, szakdidaktikai közlemények), „Műhelysarok” rovat; XIV. köt. 1. sz. 2005./máj.; 61.-70.
  • Daróczy Zoltán, Maksa Gyula, Páles Zsolt: Functional equations involving means and their Gauss composition
  • Gheorge Thoader: Complementary means and double sequences
  • Jean-Luc Marichal: On an axiomatization of the quasi-arithmetic mean values without the symmetry axiom
  • Aczél, J.; Dhombres, J. G. (1989) Functional equations in several variables. With applications to mathematics, information theory and to the natural and social sciences. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 31. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1989.
  • Andrey Kolmogorov (1930) “On the Notion of Mean”, in “Mathematics and Mechanics” (Kluwer 1991) — pp. 144–146.
  • Andrey Kolmogorov (1930) Sur la notion de la moyenne. Atti Accad. Naz. Lincei 12, pp. 388–391.
  • John Bibby (1974) “Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences,” Glasgow Mathematical Journal, vol. 15, pp. 63–65.
  • Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1952) Inequalities. 2nd ed. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1952.

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Quasi-arithmetic mean című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

További információk[szerkesztés]