Kváziaritmetikai közép

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Legyen R intervallum, , valós számok,  : R intervallumon értelmezett szigorúan monoton és folytonos függvény. Ekkor az és számok -re vonatkozó kváziaritmetikai közepe a következő, -fel jelölt szám:

Hasonlóan, ha adottak az számok, akkor ezek -re vonatkozó függvényközepe

Az f függvényt szokás a közép generátorfüggvényének is nevezni.

Megjegyzés: a kváziaritmetikai közép értelmezhető más objektumokra is, mint a valós számok; például vektorokra. Ekkor azt kell föltenni, hogy értelmezési tartománya Rn egy összefüggő részhalmaza.

Tulajdonságok[szerkesztés]

Jóldefiniáltság[szerkesztés]

Először azt kell belátnunk, hogy a definícióban szereplő formulák jóldefiniáltak. Ilyen feltételek mellett két értéke között minden értéket felvesz és szigorúan monoton. Ekkor

és

az () és () illetve az legkisebb f() és legnagyobb f() közé esik, így beleesnek a képhalmazba, azaz f −1 értelmezve van rajtuk.

Összefüggés az absztrakt átlagokkal[szerkesztés]

Az absztrakt „átlag” fogalmának többféle ismert axiomatikus felépítése létezik. A fent definiált kvázi-aritmetikai közepek teljesítik az „átlag” leggyakrabban megkövetelt tulajdonságait, úgymint:

A következő tulajdonságokat, az ún. középérték-axiómákat:

  • Cauchy középérték-axiómája:[1]:

Hiszen ha -mel jelöljük az -k közül a legkisebbet és -mel a legnagyobbat, akkor teljesül . Ha szig. mon. nő, akkor ebből f(m) ≦ f() ≦ f(M) következik és mivel a számtani közép a legkisebb és legnagyobb érték közé esik, ezért ebből és az inverz ugyanilyen irányú szigorú monotonitásából következik az az egyenlőtlenség, amit be kellett látnunk. Ha f szigorú monoton csökken, akkor -ből f(M) ≦ f() ≦ f(m) következik, majd ebből szintén az inverz csökkenő tulajdonságából az állítás.

  • Szimmetria-axióma: , ha a elemrendszernek egy permutációja; vagyis a változók értékeinek cserélgetése a középértéket nem változtatja

Ez a tétel a számtani közép ugyanilyen tulajdonságából következik.

Egyéb tulajdonságok[szerkesztés]

Ha -mel jelöljük az -k közül a legkisebbet, akkor

  • akkor és csak akkor teljesül, ha x1 = x2 = … = xn.

Ugyanis, ha a számok egyenlők, akkor a közép egyenlő bármelyikükkel (hiszen ekkor ). Megfordítva, ha a közép a legkisebbik számmal egyenlő, akkor ez az f általi függvényértékekre is igaz; így az jelöléssel , ahol valamely i-re yi = f(m). f szigorú monotonitása miatt f(m) vagy az f() számok közül a legkisebb, vagy a legnagyobb. Eszerint egy számtani közép (az yi-k átlaga) vagy a legkisebb, vagy a legnagyobb értékkel egyenlő, amiből a számtani közép hasonló tulajdonsága miatt, mint amit itt bizonyítani szeretnénk, következik, hogy a számok egyenlők. Ha az f()-k egyenlők, akkor az -k is egyenlők, hiszen f a rá vonatkozó feltételekből következően injektív.

Ez m helyett az M maximummal is igaz.

Megjegyzés: a bizonyításhoz felhasználtuk, hogy a számtani közép rendelkezik a bizonyítandó tulajdonsággal. Ennek az iméntitől független bizonyítását ld. a számtani közép c. cikkben.

A Kolmogorov–Nagumo-tétel[szerkesztés]

A. N. Kolmogorov és Mitio Nagumo 1930-ban, valószínűségeloszlások „átlagértékeit” vizsgálva jutottak a következő axiomatikus definícióra (Kolmogorov–Nagumo–de Finetti-axiómarendszer):

Legyen zárt intervallum; olyan függvény, amely

  1. Rögzített i-re folytonos;
  2. Rögzített i-re: minden változójában szigorúan monoton;
  3. Rögzített i esetén változóiban szimmetrikus (azok permutációira invariáns)
  4. Rögzített i-re reflexív, azaz ha minden változója ugyanazon A értéket veszi fel, a függvény értéke is A;
  5. teljesíti a dekompozíciós tulajdonságot, avagy a Bemporad-féle asszociativitást[2]: M(x1, x2, … , xn) = M(x, x, … , x, xk+1, xk+2, … , xn); ahol x = M(x1, x2, … , xn), és 1<k<n-1 és 1<n.

E definíció érdekessége az, hogy amint a két kutató egymástól függetlenül bizonyította; a fenti axiómákat egyetlen függvénycsalád elégíti ki: pontosan a kváziaritmetikai közepek családja. Tehát a fenti axiómarendszer a tetszőleges sok változón értelmezett kváziaritmetikai közepek axiomatikus definíciója. Hasonló eredményekre jutott Kolmogorov nyomán Bruno de Finetti is 1931-ben.[3]

De Finetti mutatott példát olyan, statisztikában használt középféleségekre is, melyek nem aritmetikai közepek – az (antiharmonikus közép a szigorú monotonitást, a medián a Bemporad-asszociativitást nem teljesíti.[4]

Megjegyzés: a Kolmogorov-Nagumo-de Finetti axiómarendszer nem egyértelmű/karakterisztikus jellemzése tetszőleges i-változós kváziaritmetikai középnek (i rögzítettségét feltételezve), csak ezek tetszőleges sok változóra egyszerre történő kiterjesztésének. Ha M definícióját úgy módosítjuk, hogy i rögzített legyen, akkor a fenti axiómarendszer nem feltétlenül az i-változós kváziaritmetikai közepet határozza meg.[5]

Példák[szerkesztés]

(A lenti példák közül valamennyi megfelel a kváziaritmetikai közép definíciójában foglalt feltételeknek; értelmezési tartományuk nem-elfajuló – noha nem feltétlenül korlátos – intervallum, melyen szigorúan monotonok és folytonosak (ezáltal, injektívek).

generátor-
függvény (f)
értelmezés intervalluma közép képlete
(M(x1x, …,x1x))
közép elnevezése
x R = (-∞ +∞)
számtani közép
x2 R+0 = [0; +∞)
négyzetes közép
x−1 R+ = (0; +∞)
harmonikus közép
xα
(α∈R\{0})
R+0 = [0; +∞)
α paraméterű/kitevőjű hatványközép
(Hölder-közép)
logv(x)
(v∈R+\{1})[6]
R+ = (0; +∞)
mértani közép
eαx (α∈R\{0}) R = (-∞; +∞)
exponenciális közép

Általánosítások[szerkesztés]

A kváziaritmetikai közép egy lehetséges általánosítása a súlyozott kváziaritmetikai közép. Legyen f az R egy nem-elfajuló intervallumán értelmezett s azon szigorúan monoton és folytonos függvény, s legyen n∈N+, ekkor az n-változós súlyozott kváziaritmetikai közép definíciója:

,

ahol w = (w1, w2, … , wn) ∈ (0,1)n és .

Kolmogorov, Nagumo és de Finetti axiómarendszere nem nyújtja egyértelmű jellemzését ennek a bővebb, súlyozott függvénycsaládnak. A negyvenes évek végén Horváth János és Aczél János magyar kutatók vetették fel, hogy a Kolmogorov-Nagumo-de Finetti axiómarendszer némi módosításával a súlyozott kváziaritmetikai közepek is karakterizálhatóak egy függvényegyenlet-rendszerrel. A kilencvenes évek végén ezt a jellemzési problémát sikerült megoldaniuk.[5]

Hivatkozások[szerkesztés]

Lásd még[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Cauchy: Cours d’analyse de l’Ecole Royale Polytechnique, I. kötet; Analyse algébrique, (Debure, Paris, 1821).
  2. Az asszociativitás ezen értelmezését Giulio Bemporad vezette be 1926-ban (Sul principio della media aritmetica), Atti Accad. Naz. Lincei (6) 3; 1926; 87–91.; 87. old.)
  3. Stanisława és Walenty Ostasiewicz: Means and their applications
  4. Bruno de Finetti: Sul concetto di media, Giorn. Ist. Ital. Attuari (3); 2 (1931) 369-396. old.
  5. ^ a b A súlyozott kvázi-aritmetikai középértékek jellemzése – kurzusleírás a Debreceni Egyetem Informatika Kara honlapján
  6. A generált közép a logaritmus alapszámától függetlenül a mértani közép lesz.

Egyéb források[szerkesztés]

További információk[szerkesztés]