Hatványközép

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a hatványközepek a püthagoraszi közepek – úgy mint számtani, mértani, harmonikus – általánosításai. A hatványközepek további általánosítása a kváziaritmetikai közép, aminek értelmezés

Ha itt f(x) = xp, akkor visszajutunk a hatványközepekhez.

Definíció[szerkesztés]

Legyenek nemnegatív valós számok. Ekkor ezen számok -adik hatványközepe:

Legyenek emellett pozitív súlyok, s , ekkor definiálhatjuk súlyozott hatványközepét:

Egyre normálva:

, ahol

Nevezetes hatványközepek[szerkesztés]

minimum
harmonikus közép
mértani közép
számtani közép
négyzetes közép
maximum

A hatványközép határértékei[szerkesztés]

Maximum és minimum[szerkesztés]

,

ugyanis legyen és , ekkor

,
.

Mértani közép[szerkesztés]

, ahol .

A L’Hospital-szabály szerint

,

kihasználva az exponenciális függvény() folytonosságát

.

Homogenitása[szerkesztés]

A legtöbb középértékhez hasonlóan homogén, azaz, ha , akkor tetszőleges -ra

Bizonyítás[szerkesztés]

.

További tulajdonságai[szerkesztés]

  • A hatványközepek mindig az adatok minimuma és maximuma közé esnek.
  • A hatványközepek szimmetrikusak, argumentumaik permutálása nem változtat az értéken.
  • Mivel a hatványközepek kváziaritmetikai közepek, blokkosíthatók:

Hatványközepek közti egyenlőtlenség[szerkesztés]

A hatványközepek közti egyenlőtlenség kimondja, hogy az függvény a teljes értelmezési tartományán monoton nő. Azaz, ha , akkor .

A fentiek szerint a hatványközepek közti egyenlőtlenség magában foglalja a püthagoraszi közepek közti egyenlőtlenséget.

Felhasználása[szerkesztés]

A hatványközepek nemlineáris mozgóátlagot jelentenek, ami kis p-re a kis értékek felé, nagy p-kre a nagy értékek felé tolódik el. Kis p-kre tömegspektrum bázisvonalának detektálására, nagy p-kre görbék burkológörbéjének meghatározására használják.

Ha adva van a smooth függvény, ami mozgó számtani közepet számol, akkor a mozgó hatványközép definiálható a következő Haskell kóddal:

 powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
 powerSmooth smooth p = map (** recip p) . smooth . map (**p)

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Generalized mean című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.