Hatványközép

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a hatványközepek a pythagoraszi közepek – úgy mint számtani, mértani, harmonikus – általánosításai.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyenek x_1,x_2,\ldots,x_n nemnegatív valós számok. Ekkor ezen számok k-adik hatványközepe:

S_k(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i^k}{n}\right)^{\frac{1}{k}}

Legyenek emelett w_1,w_2,\ldots,w_n pozitív súlyok, s w=\sum w_i, ekkor definiálhatjuk x_1,x_2,\ldots,x_n súlyozott hatványközepét:

S_k(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{w_ix_i^k}{w}\right)^{\frac{1}{k}}

Egyre normálva:

S_k(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\left(\sum_{i=1}^{n}w'_ix_i^k\right)^{\frac{1}{k}}, ahol w'=\frac{w_i}{w}

Nevezetes hatványközepek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\lim_{p\to-\infty} S_p(x_1,\dots,x_n) = \min \{x_1,\dots,x_n\} minimum
S_{-1}(x_1,\dots,x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}} harmonikus közép
\lim_{p\to0} S_p(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n} mértani közép
S_1(x_1,\dots,x_n) = \frac{x_1 + \dots + x_n}{n} számtani közép
S_2(x_1,\dots,x_n) = \sqrt{\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n}} négyzetes közép
\lim_{p\to\infty} S_p(x_1,\dots,x_n) = \max \{x_1,\dots,x_n\} maximum

A hatványközép határértékei[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Maximum és minimum[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\lim_{p\to\infty} S_p(x_1,\dots,x_n) = \max \{x_1,\dots,x_n\},

ugyanis legyen x=\max\{x_1,\dots,x_n\} és  p>0, ekkor

x=\left(x^p\right)^{\frac{1}{p}}\leq S_p(x_1,\dots,x_n) \leq \left(nx^p\right)^{\frac{1}{p}}=n^{\frac{1}{p}}\left(x^p\right)^{\frac{1}{p}}\to x \,(p\to\infty),
\lim_{p\to-\infty} S_p(x_1,\dots,x_n) = \lim_{p\to\infty}\frac{1}{S_p(\frac{1}{x_1},\dots,\frac{1}{x_n})}=\frac{1}{\max\{\frac{1}{x_1},\dots,\frac{1}{x_n}\}}=\min \{x_1,\dots,x_n\}.

Mértani közép[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\lim_{p\to0} S_p(x_1,\dots,x_n) = \prod_{i=1}^nx_i^{w_i}, ahol \sum_{i=1}^nw_i=1.

A L'Hospital-szabály szerint

\lim_{p\to 0} \frac{\log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)}{p}=\lim_{p\to 0}\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\cdot\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)'=\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i}\cdot \lim_{p\to 0}\sum_{i=1}^n(w_i\cdot\log(x_i)\cdot x_i^p)=\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i),

kihasználva az e^x folytonosságát

\lim_{p \to 0} \sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}=\lim_{p \to 0} e^{\frac{\log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)}{p}} = e^{\lim_{p \to 0} \frac{\log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)}{p}}=e^{\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i)}=\prod_{i=1}^nx_i^{w_i}.

Homogenitása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A legtöbb középértékhez hasonlóan homogén, azaz, ha b>0, akkor tetszőleges k-ra

S_k(bx_1,\ldots,bx_n)=bS_k(x_1,\ldots,x_n)

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

S_k(bx_1,\ldots,bx_n)=\left(\sum_{k=1}^{n}w'_i(bx_i)^k\right)^{\frac{1}{k}}=\left(b^k\sum_{k=1}^{n}w'_ix_i^k\right)^{\frac{1}{k}}=b\left(\sum_{k=1}^{n}w'_ix_i^k\right)^{\frac{1}{k}}=bS_k(x_1,\ldots,x_n).

Hatványközepek közti egyenlőtlenség[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A hatványközepek közti egyenlőtlenség kimondja, hogy az f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},q\mapsto S_q(x_1,x_2,\ldots,x_n) függvény a teljes értelmezési tartományán monoton nő. Azaz, ha p<q, akkor S_p(x_1,x_2,\ldots,x_n)\leq S_q(x_1,x_2,\ldots,x_n).

A fentiek szerint a hatványközepek közti egyenlőtlenség magában foglalja a pythagoraszi közepek közti egyenlőtlenséget.