Hatványközép

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a hatványközepek a püthagoraszi közepek – úgy mint számtani, mértani, harmonikus – általánosításai.

Definíció[szerkesztés]

Legyenek nemnegatív valós számok. Ekkor ezen számok -adik hatványközepe:

Legyenek emellett pozitív súlyok, s , ekkor definiálhatjuk súlyozott hatványközepét:

Egyre normálva:

, ahol

Nevezetes hatványközepek[szerkesztés]

minimum
harmonikus közép
mértani közép
számtani közép
négyzetes közép
maximum

A hatványközép határértékei[szerkesztés]

Maximum és minimum[szerkesztés]

,

ugyanis legyen és , ekkor

,
.

Mértani közép[szerkesztés]

, ahol .

A L’Hospital-szabály szerint

,

kihasználva az exponenciális függvény() folytonosságát

.

Homogenitása[szerkesztés]

A legtöbb középértékhez hasonlóan homogén, azaz, ha , akkor tetszőleges -ra

Bizonyítás[szerkesztés]

.

Hatványközepek közti egyenlőtlenség[szerkesztés]

A hatványközepek közti egyenlőtlenség kimondja, hogy az függvény a teljes értelmezési tartományán monoton nő. Azaz, ha , akkor .

A fentiek szerint a hatványközepek közti egyenlőtlenség magában foglalja a püthagoraszi közepek közti egyenlőtlenséget.