Hatványközép

A matematikában a hatványközepek a püthagoraszi közepek – úgy mint számtani, mértani, harmonikus – általánosításai. A hatványközepek további általánosítása a kváziaritmetikai közép, aminek értelmezés

$M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)$

Ha itt f(x) = x^p, akkor visszajutunk a hatványközepekhez.

Definíció

Legyenek $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ nemnegatív valós számok. Ekkor ezen számok $k$-adik hatványközepe:

$S_{k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{k}}{n}}\right)^{\frac {1}{k}}$

Legyenek emellett $w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n}$ pozitív súlyok, és $w=\sum w_{i}$, ekkor definiálhatjuk $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ súlyozott hatványközepét:

$S_{k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}x_{i}^{k}}{w}}\right)^{\frac {1}{k}}$

Egyre normálva:

$S_{k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\left(\sum _{i=1}^{n}w'_{i}x_{i}^{k}\right)^{\frac {1}{k}}$, ahol $w'_{i}={\frac {w_{i}}{w}}$

Nevezetes hatványközepek

$\lim _{p\to -\infty }S_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$	minimum
$S_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}$	harmonikus közép
$\lim _{p\to 0}S_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}$	mértani közép
$S_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}$	számtani közép
$S_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}$	négyzetes közép
$\lim _{p\to \infty }S_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$	maximum

A hatványközép határértékei

Maximum és minimum

$\lim _{p\to \infty }S_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$,

ugyanis legyen $x=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ és $p>0$, ekkor

$x=\left(x^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\leq S_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq \left(nx^{p}\right)^{\frac {1}{p}}=n^{\frac {1}{p}}\left(x^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\to x\,(p\to \infty )$,

$\lim _{p\to -\infty }S_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to \infty }{\frac {1}{S_{p}({\frac {1}{x_{1}}},\dots ,{\frac {1}{x_{n}}})}}={\frac {1}{\max\{{\frac {1}{x_{1}}},\dots ,{\frac {1}{x_{n}}}\}}}=\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$.

Mértani közép

$\lim _{p\to 0}S_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}$, ahol $\sum _{i=1}^{n}w_{i}=1$.

A L’Hospital-szabály szerint

$\lim _{p\to 0}{\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}=\lim _{p\to 0}{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)'={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\cdot \lim _{p\to 0}\sum _{i=1}^{n}(w_{i}\cdot \log(x_{i})\cdot x_{i}^{p})=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})$,

kihasználva az exponenciális függvény($e^{x}$) folytonosságát

$\lim _{p\to 0}{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\lim _{p\to 0}e^{\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}=e^{\lim _{p\to 0}{\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}}=e^{\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}$.

Homogenitása

A legtöbb középértékhez hasonlóan homogén, azaz, ha $b>0$, akkor tetszőleges $k$-ra

$S_{k}(bx_{1},\ldots ,bx_{n})=bS_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})$

Bizonyítás

$S_{k}(bx_{1},\ldots ,bx_{n})=\left(\sum _{k=1}^{n}w'_{i}(bx_{i})^{k}\right)^{\frac {1}{k}}=\left(b^{k}\sum _{k=1}^{n}w'_{i}x_{i}^{k}\right)^{\frac {1}{k}}=b\left(\sum _{k=1}^{n}w'_{i}x_{i}^{k}\right)^{\frac {1}{k}}=bS_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})$.

További tulajdonságai

• A hatványközepek mindig az adatok minimuma és maximuma közé esnek.
• A hatványközepek szimmetrikusak, argumentumaik permutálása nem változtat az értéken.
• Mivel a hatványközepek kváziaritmetikai közepek, blokkosíthatók:

$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{p}\left[M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k})\right]$

Hatványközepek közti egyenlőtlenség

A hatványközepek közti egyenlőtlenség kimondja, hogy az $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,q\mapsto S_{q}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ függvény a teljes értelmezési tartományán monoton nő. Azaz, ha $p<q$, akkor $S_{p}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leq S_{q}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$.

A fentiek szerint a hatványközepek közti egyenlőtlenség magában foglalja a püthagoraszi közepek közti egyenlőtlenséget.

Felhasználása

A hatványközepek nemlineáris mozgóátlagot jelentenek, ami kis p-re a kis értékek felé, nagy p-kre a nagy értékek felé tolódik el. Kis p-kre tömegspektrum bázisvonalának detektálására, nagy p-kre görbék burkológörbéjének meghatározására használják.

Ha adva van a smooth függvény, ami mozgó számtani közepet számol, akkor a mozgó hatványközép definiálható a következő Haskell kóddal:

 powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
 powerSmooth smooth p = map (** recip p) . smooth . map (**p)

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Generalized mean című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.