Hatványközepek közötti egyenlőtlenség

A hatványközepek közötti egyenlőtlenség azt állítja, hogy ha $a_{1},\dots ,a_{n}$ nemnegatív valós számok, akkor $p<q$ esetén p-edik hatványközepük legfeljebb akkora, mint a q-adik, azaz

K_{p}\leq K_{q}

ahol $p>0$ -ra

K_{p}=\left({\frac {a_{1}^{p}+\cdots +a_{n}^{p}}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}.

Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha $a_{1}=\cdots =a_{n}$ .

A $p=0$ értékre is definiálhatjuk a $K_{p}$ mennyiséget, ugyanis

\lim _{p\to 0}K_{p}={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}},

a mértani közép. Az egyenlőtlenségből határátmenettel adódik $K_{0}\leq K_{1}$ , azaz a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség.

Bizonyítás

Alább általánosabban, súlyozott hatványközepekre látjuk be a tételt.

Legyenek $a_{1},\ldots ,a_{n}$ nemnegatív valósok, és $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ pozitív súlyok, melyekre $\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=1$ , valamint $0<p<q$ , hogy $q=p\cdot r$ .

Ekkor az $x^{r}$ szigorú konvexitása miatt a Jensen-egyenlőtlenség szerint

\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}a_{i}^{p}\right)^{r}\leq \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\left(a_{i}^{p}\right)^{r}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}a_{i}^{q}

,

ahol az egyenlőség akkor, és csak akkor teljesül, ha $a_{1}=\cdots =a_{n}$ ;

$q$ -adik gyököt vonva, kihasználva a gyökvonás szigorú monotonitását

\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}a_{i}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}a_{i}^{q}\right)^{\frac {1}{q}}

,

ahol az egyenlőség akkor, és csak akkor teljesül, ha $a_{1}=\cdots =a_{n}$ .

Ha $p<q<0$ , a bizonyítás igen hasonlóan megy.

Ha $p<0<q$ , akkor az előzőleg belátott monotonitásokat felhasználva, és figyelembe véve, hogy $\lim _{p\to 0}\left({\frac {\lambda _{1}a_{1}^{p}+\cdots +\lambda _{n}a_{n}^{p}}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}$ létezik, adódik, hogy