Hatványközepek közötti egyenlőtlenség

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A hatványközepek közötti egyenlőtlenség azt állítja, hogy ha nemnegatív valós számok, akkor esetén p-edik hatványközepük legfeljebb akkora, mint a q-adik, azaz

ahol -ra

Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha .

A értékre is definiálhatjuk a mennyiséget, ugyanis

a mértani közép. Az egyenlőtlenségből határátmenettel adódik , azaz a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség.

Bizonyítás[szerkesztés]

Alább általánosabban, súlyozott hatványközepekre látjuk be a tételt.

Legyenek nemnegatív valósok, és pozitív súlyok, melyekre , valamint , hogy .

Ekkor az szigorú konvexitása miatt a Jensen-egyenlőtlenség szerint

,

ahol az egyenlőség akkor, és csak akkor teljesül, ha ;

-adik gyököt vonva, kihasználva a gyökvonás szigorú monotonitását

,

ahol az egyenlőség akkor, és csak akkor teljesül, ha .

Ha , a bizonyítás igen hasonlóan megy.

Ha , akkor az előzőleg belátott monotonitásokat felhasználva, és figyelembe véve, hogy létezik, adódik, hogy

, ahonnan .

Kiterjesztés függvény intervallumon vett hatványközepére[szerkesztés]

Ha függvény intervallumon Riemann-integrálható, akkor

ahonnan, ha az előzőek szerint: