Négyzetes közép

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematika területén a négyzetes közép egy változó mennyiség nagyságának statisztikai mérőszáma. Különösen hasznos, ha a mennyiség értékei pozitívak és negatívak is lehetnek, mint például hullámok esetén.

Kiszámítható diszkrét értékek sorozatára és folytonosan változó függvény esetén is. Ez egy hatványközép hatvánnyal.

A négyzetes közép kiszámítása[szerkesztés]

Az darab értéket jelölje . Ekkor ezeknek a számoknak a négyzetes közepe

a megfelelő formula egy folytonos függvény esetén egy intervallumon értelmezett. Periodikus függvény esetén ugyanezt a mennyiséget kapjuk, ha a teljes perióduson integrálunk:

Folytonos függvény négyzetes közepe közelíthető egyenlő távolságra vett értékeinek négyzetes közepével. Cartwright megmutatta, hogy több hullámforma esetén integrál nélkül is számítható.[1]

A négyzetes közép geometriai jelentése az oldalméretekkel adott négyzetek alapján az átlagos területű négyzet oldalának kiszámítása. A négyzetgyökvonás miatt második abszolút momentumnak nevezik. A harmadik hatványközepet harmadik abszolút momentumnak, és így tovább. Fizikai jelentése: az egyenáram erőssége, ha egy ellenállásban nyelődik el a feszültség. Véletlen folyamatok esetén a várható érték helyett a tapasztalati várható értéket használják.

Közönséges hullámformák[szerkesztés]

Szinuszos hullám, négyszögjel, háromszögjel és fűrészfogjel

Ha a hullám tiszta szinuszos hullám, akkor az amplitúdó és a négyzetes kapcsolat ismert, ahogy folytonos periodikus hullámokra. Ez azonban nem igaz az összes függvényre. Például a zéró közepű szinuszhullám esetén a négyzetes közép (RMS angol: root mean square) és a csúcs-csúcs amplitúdó kapcsolata:[2]

Csúcs-csúcs amplitúdó

Más hullámformákra más összefüggések teljesülnek.

Hullámforma Egyenlet RMS
Egyenáram, konstans
Szinuszhullám
Négyszögjel
Egyenárammal eltolt négyszögjel
Inverter-módosított szinuszhullám
Háromszögjel
Fűrészfogjel
Pulzusjel
Fázis-fázis feszültség

Ahol t idő, f frekvencia, ASablon:Sub amplitúdó, D az aktív ciklusidő vagy a feszültség alatt töltött idő aránya a ciklus teljes időtartamához viszonyítva, és frac(r) az r törtrésze.

Hullámforma kombinációk[szerkesztés]

Ortogonális bázisban felírva a periodikus függvény négyzetes közepe megkapható a bázis elemeinek négyzetes közepéből:

Az elektronikai és a alkalmazásokban ez különösen fontos.

Alkalmazások[szerkesztés]

Feszültség[szerkesztés]

Az elektromérnökségben a speciális hullámforma kombinációk négyzetes közepe:

ahol DC az egyenáramú és AC a váltóáramú komponens.

Átlagos elektromos teljesítmény[szerkesztés]

A mérnököknek gyakran van szükségük a teljesítményre (P), amit a feszültség (R) szétszór. Ha konstans áramerősség folyik át az ellenálláson, akkor:

De ha az áramerősség függ az időtől, I(t), akkor a képletnek is figyelembe kell ezt vennie. Ha I(t) periodikus, mint a hálózati váltóáram, akkor van értelme átlagos teljesítményről beszélni. Ezt az átlagos teljesítményszivárgás alapján számítható:

(ahol a függvény középértéke)
(mivel R konstans, kiemelhető)
(az RMS definíciója szerint)

Így az I(t) RMS-e, IRMS megfelel annak a konstans áramerősségnek, amelynél ugyanez a feszültség ugyanannyi teljesítményszivárgást okoz.

Az időben változó V(t) feszültség esetén hasonlóan lehet kiszámítani az átlagos feszültséget, a VRMS értékkel:

Ez az egyenlet minden periodikus hullámformára használható, a szinuszhullámra és a fűrészfogjelre is.

Mindkét egyenletből négyzetgyököt vonva és összeszorozva:

A levezetések azon múltak, hogy mindkét mennyiség arányos, az ellenállás nem tárol teljesítményt.

Abban a gyakori esetben, ha I(t) szinuszos váltóáram, az RMS kiszámítható a fenti folytonos esetből. Ha Ip a csúcsáram, akkor:

ahol t idő és ω a szögfrekvencia (ω = 2π/T, ahol T a teljes periódus).

Mivel Ip pozitív konstans:

Trigonometrikus azonosságok felhasználásával:

de mivel a szakasz teljes ciklusok sorozata, azért a szinusztól megszabadulhatunk:

Hasonlóan kapjuk a szinuszos feszültségre, hogy:

ahol IP az áramerősség maximuma, és VP a feszültség maximuma.

A teljesítményszivárgás számításában játszott szerepe miatt a váltóáramú elektromos feszültségeknél nem a maximális erősséget, hanem a négyzetes közepet tüntetik fel. Így az Amerikai Egyesült Államokban a feszültség négyzetes közepe 120 V, és Európában 230 V. A maximális feszültség ezek négyzetgyök kétszerese, így az az Amerikai Egyesült Államokban 170 V, Európában 325 V körül van.

Az RMS mennyiséget általában egy ciklusra számítják, azonban bizonyos alkalmazásokban sok ciklussal számolnak. Például, ha egy 10 amperes áramot napi 12 órában használnak, akkor egynapos ciklusokkal számolnak.

Az audióiparban az átlagos teljesítmény megtévesztő, mert nem számtani középpel, hanem szintén négyzetes középpel számítják. Arányos az ellenálláson mért feszültség vagy az áramerősség négyzetével.

Sebesség[szerkesztés]

A gázmolekulák fizikájában a sebességet az átlagsebesség négyzetes közepével számítják. Ideális gázban az RMS sebesség:

ahol R az ideális gázállandó, 8,314 J/(mol·K), T a gáz Kelvinben mért hőmérséklete, és M a gáz moláris tömege kilogrammban. Habár az átlagos sebesség a nulla és az RMS között van, stacionális gázban az átlagsebesség nulla, mivel a fizikában a sebesség vektormennyiség.

Hiba és szórás[szerkesztés]

A hiba számításához rendszerint négyzetes közepet használnak, aminek több oka is van. Ha egy várható érték körüli szórást mérnek, akkor előjelesen számítva a hibákat az összeg mindig nulla lenne, ami alkalmatlan a hiba vagy a szórás mérésére. Ennél valamivel jobb lenne, ha előjel nélkül számítanánk az eltéréseket, de ez abszolút értéket vezetne be, ami gyakori esetszétválasztást eredményezne. A négyzetes hiba illetve eltérés egységesebben számítható, és az az előnye is megvan, hogy a nagyobb eltérést erősebben bünteti.

Frekvenciatartomány[szerkesztés]

Parseval tételével a négyzetes közép a frekvenciatartományban is számítható. Legyen a mintavételezett jel , ahol a mintavételi periódus! Ekkor

,

ahol és N a minta és az FFT együtthatók elemszáma.

Ekkor az időtartományban számított RMS megegyezik a frekvenciatartományban számítottal:

Kapcsolat más statisztikákkal[szerkesztés]

Ha a számtani közép, és a szórás, akkor:[3]

A fizikában gyakran a szórás jelentésben használják a négyzetes közepet. Ez akkor és csak akkor egyezik meg a négyzetes középpel, ha a középérték nulla.[4][5] Egy jel négyzetes közepének számításakor csak a váltóáram részét használják, a konstans egyenáramú részt elhagyják. A fentiek példát adnak ennek a speciális esetére.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Cartwright, Kenneth V (Fall 2007). „Determining the Effective or RMS Voltage of Various Waveforms without Calculus” (PDF). Technology Interface 8 (1), 20 pages. o.  
  2. How to Derive the RMS Value of Pulse and Square Waveforms. (Hozzáférés: 2015. január 21.)
  3. Chris C. Bissell and David A. Chapman. Digital signal transmission, 2nd, Cambridge University Press, 64. o (1992). ISBN 978-0-521-42557-5 
  4. Root-Mean-Square
  5. ROOT, TH1:GetRMS

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Root mean square című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.