Sokszög

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Néhány sokszög

A geometriában sokszögnek (idegen szóval: poligonnak) nevezzük azokat a síkidomokat, melyeket véges sok, egymáshoz csatlakozó egyenesszakasz alkotta zárt görbe (azaz zárt töröttvonal) határol.

Ezeket a szakaszokat éleknek vagy oldalaknak nevezzük, és azokat a pontokat, ahol az élek találkoznak, csúcsoknak. Az oldalak összessége a sokszög határa, ha hangsúlyozni kívánjuk a belső pontok sokszöghöz tartozását, akkor sokszöglemezről is beszélhetünk.

A sokszögek a politópok – melyeknek tetszőleges számú dimenziója lehet – halmaza kétdimenziós részhalmazának tekinthetőek.

A számítógépes képalkotásban (grafika) a sokszög szót a geometriától kissé eltérő értelemben használják. Itt inkább arra utalnak a fogalommal, ahogy az alakzatot a számítógépen belül tárolják és változtatják.

Osztályozás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Oldalszám[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A sokszögeket leggyakrabban oldalszámuk szerint csoportosítják (lásd elnevezések)

Konvexitás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Konvex: bármely egyenes, mely a sokszögön áthalad, (és nem érinti egy élben vagy csúcsban) pontosan kétszer metszi azt.
  • Nem-konvex (konkáv): van olyan egyenes, amely több mint kétszer metszi.
  • Csillagsokszög: olyan sokszög, amely bizonyos szabályok szerint metszi önmagát.
  • Csillag alakú sokszög, olyan sokszög, melynek teljes belső területe belátható egyetlen pontból.

Szimmetria[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Egyenlő szögű: minden csúcsszög azonos nagyságú.
  • ciklikus: minden csúcs egyetlen körre illeszthető.
  • Izogonális vagy csúcs-tranzitív: minden csúcs egyazon szimmetriaorbitálon (pálya) belül helyezkedik el. Ezek a sokszögek ciklusosak és egyenlő szögőek is.
  • Egyenlő oldalú: minden oldal egyenlő hosszúságú. 5 vagy ennél több oldalú sokszög anélkül is lehet egyenlő oldalú, hogy konvex lenne (Williams 1979, pp. 31-32)
  • Izotoxális vagy él-tranzitív sokszög: minden él ugyanazon szimmetriaorbitálon (pálya) belül helyezkedik el. Ezek a sokszögek egyenlő oldalúak is.
  • szabályos sokszög. A sokszög akkor szabályos, ha ciklikus és egyenlő oldalú. A nem-konvex szabályos sokszögeket csillagsokszögnek nevezzük. .

Egyéb[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Derékszögű: olyan sokszög, melynek az oldalai derékszögben találkoznak; azaz az összes belső szöge 90 vagy 270 fokos.
  • Monoton ha adott L egyenes esetén, minden rá merőleges (ortogonális) egyenes legfeljebb kétszer metszi a sokszöget.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az alábbiakban végig Euklideszi geometriában gondolkodunk.

Szögek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Minden sokszögben, legyen az szabályos vagy szabálytalan, komplex vagy egyszerű, a szögek és az élek száma megegyezik.
  • Egy csúcshoz számos szög tartozik. Ezek közül a két legfontosabb:
    • belső szög – Egyszerű n oldalú sokszög belső szögeinek összege (n‒2)π radián vagy (n‒2)180 fok. Ez azzal magyarázható, hogy minden egyszerű n oldalú sokszöget tekinthetünk (n‒2) háromszög összegének, melyek mindegyikében a szögek összege π radián vagy 180 fok.
    • külső szög – Ha egy földre rajzolt egyszerű n oldalú sokszöget körbejárunk, a csúcsoknál megtett fordulatok nagysága egyenlő a külső szöggel. Ha egy sokszöget teljesen körbejárunk, teljes fordulatot tettünk, tehát a külső szögek összege 360°. A külső szög a belső szög kiegészítő szöge, ezért a belső szög könnyen kiszámolható belőle.

Ez az eszmefuttatás akkor is igaz, ha egyes belső szögek nagyobbak 180°-nál: ha óramutató szerint járjuk körbe, ez azt jelenti, hogy ilyen esetekben jobb helyett balra kell fordulnunk, amely negatív fordulat.

Az n oldalú szabályos sokszög bármely belső szögének nagysága: (n‒2)π/n radián vagy (n‒2)180/n fok. A szabályos csillagsokszögek belső szögeit elsőként Poinsot tanulmányozta, egy dolgozatában, melyben a négy Kepler-Poinsot poliédert írja le.

Ha egy n-oldalú sokszöget körbjárunk, a külső szögek összege (vagyis a csúcsoknál megtett forrdulatok összege) 360° bármely egész számú többszöröse lehet. (ötszög esetén 720°).

Átlók[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A sokszög egy átlója a sokszög két nem szomszédos csúcsát összekötő szakasz.

Az n oldalú konvex sokszög átlóinak száma: (n · (n-3))/2.

Magyarázat: Minden csúcsból n-3 átló húzható (az adott csúcsból önmagába, és a két szomszéd csúcsba nem vezet átló), míg ezeket összeadva minden átlót pontosan kétszer számoltunk, ezért leosztunk kettővel.

Terület[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A sokszög területe az a síkrégió (2D) amelyet a sokszög körülzár.

Egyszerű sokszögek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egyszerű sokszög A területét kiszámíthatjuk, ha ismerjük a csúcsok Descartes-koordinátáit (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn), olyan sorrendben, ahogy a területét óramutatóval ellentétes irányban körbejárnánk.

A képlet a következő:

A = \frac{ x_1 y_2 - x_2 y_1 + x_2 y_3 - x_3 y_2 + ... + x_n y_1 - x_1 y_n }{2} \,
= \frac{ x_1 (y_2 - y_n) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_4 - y_2) + ... + x_n (y_1 - y_{n-1}) }{2}.

Ezt a képletet Meister írta le először 1769-ban, majd Carl Friedrich Gauss 1795-ben. Bizonyítható úgy, hogy a sokszöget háromszögekre bontjuk, de tekinthetjük a Green-tétel speciális esetének is.

Ha a sokszög felrajzolható egy azonos térközű rácsra úgy, hogy minden csúcsa egy rácspontra esik, akkor a Pick-tétel alapján felírható egy egyszerű képlet a sokszög területére, a belső és határ-rácspontok száma alapján.

Ha adott bármely két egyszerű sokszög, melyek területe megegyezik, akkor az első felosztható olyan kisebb sokszögekre, melyekből kirakható a második sokszög. Ez a Bolyai-Gerwien tétel.

Az n oldalú s oldalhosszúságú szabályos sokszög területe az alábbi képlettel számolható:

A = \frac{n}{4} s^2 \text{ctg}{\cfrac{\pi}{n}}.

A szabályos sokszög oldalhossza (s) kifejezhető a köréírt kör sugarából (R) és a beírt kör sugarából (r) is:

s=2 \cdot R \cdot \sin{\pi \over n}=2 \cdot r \cdot \hbox{tg}{\pi \over n}

így a terület felírható ezek függvényeként is a következőképpen:

A= n \cdot R^2 \cdot \sin {\pi \over n} \cdot \cos {\pi \over n} = n \cdot r^2 \cdot \hbox{tg}{\pi \over n}

Önmagukat metsző sokszögek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az önmagát metsző sokszög területét kétféleképpen is definiálhatjuk, melyek alapján más-más értéket kapunk.

  • Ha az egyszerű sokszöget fent leírt módszerét alkalmazzuk, akkor észrevehetjük, hogy a sokszög bizonyos területei egy értékkel szorzódnak, melyet a terület sűrűségének nevezünk. Például a pentagramma (ötágú csillag) közepén elhelyezkedő konvex ötszög sűrűsége = 2. A keresztezett négyszög (nyolcas-szerű (8) alakzat) két háromszög alakú területének ellentétes előjelű sűrűségfaktoruk van, ezért területeik összege zérus.
  • Ha a körülzárt területeket ponthalmaznak tekintjük, akkor meghatározhatjuk a ponthalmaz területét. Ez megfelel annak a sík területnek, melyet a sokszög lefed, vagy azon egyszerű sokszög területének, amelynek a körvonala megegyezik az önmagát metszőével (vagy a keresztezett négyszög esetén a két egyszerű háromszöggel).

Szabadságfokok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy n oldalú sokszögnek 2 n szabadságfoka van, melyből 2 a pozíció, 1 a forgatási irány, 1 a teljes méret, 2n–4 pedig az alak szabadsága. Lineáris szimmetria esetén az utóbbi n–2 -re csökken.

Legyen k≥2. Egy nk oldalú k-szoros forgási szimmetriájú (Ck) sokszög esetén 2n –2 szabadságfok van az alak tekintetében. Ha ehhez még tükörszimmetria is járul, (Dk) akkor n –1 a szabadságfokok száma.

Általánosítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kombinatorikus értelemben a sokszög tekinthető szakaszok és szögek ciklikus (tehát önmagába visszatérő) váltakozó sorozatának. A modern matematikai felfogás ezt a strukturális sorozatot egy olyan elvont (absztrakt) sokszöggel írja le, amely az elemek részlegesen rendezett halmaza (partially-ordered set – poset). A sokszög belseje (teste) egy másik elem, és (technikai okokból) a null politóp vagy nullitóp is.

Átalában minden geometriai sokszög ennek az elvont sokszögnek a „megvalósulása”. Itt szóba jön néhány elem elvontból a geometrikusba való „leképezése” is.

Egy ilyen sokszögnek nem feltétlenül kell egy síkra esni, egyenes oldalainak lenni, területet körbezárni és az egyes elemek átfedhetik egymást vagy egybeeshetnek.

Például egy szférikus (gömbszerű) sokszög egy gömb felszínére rajzolható és oldalai nagy körök ívei. Egy másik példa:

a legtöbb sokszög azért határtalan, mert önmagukban végződnek, de az apeirogon-ok (végtelen sokszögek) azért határtalanok, mert a végtelenségig folytatódnak és sose lehet elérni a határoló végpontjukat.

Tehát ha sokszögről beszélünk, ügyelnünk kell arra, hogy először tisztázzunk, milyen típusról beszélünk.

A digon (kétszög) olyan zárt sokszög, amelynek két oldala és két csúcsa van. Egy gömbfelszínen megjelölhetünk két ellentétesen elhelyezkedő pontot, (az Északi és Déli sarkhoz hasonlóan) és összeköthetjük őket egy félkörrel. Ha egy másik félkörrel is összekötjük őket, kétszöget (digon-t) kapunk.

Ha a gömbfelszínt kétszögekkel töltjük ki (vagy osztjuk fel) akkor egy poliédert kapunk, melyet hezoédernek nevezünk. Ha ellenben csak egy kört vizsgálunk, amely teljesen körbeéri a gömböt és csak egyetlen „csúcsa” van, egyszöget kapunk (monogon/henagon).

A sokszögek más felületeken másképpen is megvalósulhatnak – euklideszi (lapos) síkon azonban a testüket nem tudjuk értelmesen leképezni, ezért degeneráltnak tekintjük őket.

Az ideális sokszöget többféleképpen általánosíthatjuk. Az alábbi rövid listában néhány degenerált esetet sorolunk fel, (vagy speciális eseteket – nézőpontunktól függően):

  • Digon (kétszög) Euklideszi síkon szögei 0°-osak.
  • 180°-os szög: síkban apeirogont, gömbfelületen diédert kapunk.
  • Az [aszimmetrikus/egyoldalas/elferdült?] sokszög (skew polygon) nem illeszkedik egy síkra, hanem 3 vagy több dimenzióban foglal helyet cikcakkhoz hasonlóan.

Ennek klasszikus példái a szabályos poliéderek Petrie sokszögei.

  • A szférikus sokszög (gömbsokszög) esetén az élek (körívek) és a csúcsok egy gömbfelületen helyezkednek el.
  • Az apeirogon élek és szögek olyan végtelen sorozata, amely ugyan nem zárt, mégsincs vége, mivel a végtelenbe nyúlik.
  • A komplex politóp vagy komplex sokszög a rendes sokszöggel analóg alakzat, de kilép a (unitary) síkból/térből.

A sokszögek elnevezése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A sokszögek angol elnevezése 'polygon' a latin polygōnum főnévből származik, amely az ógörög polygōnon/polugōnon πολύγωνον, főnévből származik, amely viszont a polygōnos/polugōnos πολύγωνος (hn melléknévből), melynek jelentése „sok szögletű”.

Az egyes sokszögeket az oldalaik száma alapján nevezzük el, ahol a görög eredetű szám-előtaghoz kapcsoljuk a -gon suffixumot például pentagon, dodekagon. Nagy számoknál a matemetikusok néha magát a számot írják ki például 17-szög (17-gon). A számot lehet változóval is helyettesíteni n-szög (n-gon) vagy n oldalú sokszög.

Ez akkor hasznos, ha az oldalak számát képletbe foglaljuk. Néhány különleges sokszögnek saját neve is van például a szabályos csillag-ötszög más néven pentagramma.

A sokszögek elnevezése
magyar név angol név élek
egyszög henagon (monogon) 1
kétszög digon 2
háromszög triangle (trigon) 3
négyszög quadrilateral (tetragon) 4
ötszög pentagon 5
hatszög hexagon 6
hétszög heptagon ("septagon" = Latin sept- + ógörög) 7
nyolcszög octagon 8
kilencszög enneagon (nonagon) 9
tízszög decagon 10
tizenegyszög hendecagon ("undecagon" = Latin un- + ógörög) 11
tizenkétszög dodecagon ("duodecagon" = Latin duo- + ógörög) 12
tizenháromszög tridecagon (triskaidecagon) 13
tizennégyszög tetradecagon (tetrakaidecagon) 14
tizenötszög pentadecagon (quindecagon vagy pentakaidecagon) 15
tizenhatszög hexadecagon (hexakaidecagon) 16
tizenhétszög heptadecagon (heptakaidecagon) 17
tizennyolcszög octadecagon (octakaidecagon) 18
tizekilencszög enneadecagon (enneakaidecagon vagy nonadecagon) 19
húszszög icosagon 20
százszög nincs 100
ezerszög chiliagon 1000
tízezerszög myriagon 10 000
googol-szög googolgon 10100

A 20 és 100 közötti élszámú sokszögek elnevezésére az alábbi prefixumokat használhatjuk:

tízes és egyes suffixum
-kai- 1 -hena- -gon
20 icosi- 2 -di-
30 triaconta- 3 -tri-
40 tetraconta- 4 -tetra-
50 pentaconta- 5 -penta-
60 hexaconta- 6 -hexa-
70 heptaconta- 7 -hepta-
80 octaconta- 8 -octa-
90 enneaconta- 9 -ennea-

A 'kai'-t nem mindig használják.

Ezek alapján egy 42 oldalú sokszöget így nevezhetünk el:


tízesek és egyesek suffixum teljes név
tetraconta- -kai- -di- -gon tetracontakaidigon

egy 50-oldalút pedig a következőképpen:

tízesek és egyesek suffixum teljes név
pentaconta-   -gon pentacontagon

A matematikusok azonban többnyire a fent említett szám-elnevezéseket használják (pl. a MathWorld-ben 17-gonokról és 257-gonokról olvashatunk cikkeket).

Sokszögek a természetben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Carambola vagy csillaggyümölcs, Dél-Ázsiában elterjedt.
Giant's Causeway (óriások sétánya), Észak-Írország

A természetben sok helyen találunk szabályos sokszögeket. Az ásványok világában például a kristályoknak gyakran háromszöges, négyzetes vagy hatszöges felületük van. A kvázikristályoknak akár szabályos ötszög alakú lapjai is lehetnek.

Egy másik igen érdekes példa az, amikor a kihűlő láva szorosan rendezett hatszögalapú bazaltoszlopokban szilárdul meg, ahogy azt az írországi Giant's Causeway -nál vagy a kaliforniai Devil's Postpile képződményeknél megfigyelhetjük.

A természet leghíresebb hatszögeit az állatvilágban találjuk. A méhsejtekben a méhek a méhviaszt (majdnem mindig szabályos) hatszögrácsban alakítják ki és ebben tárolják a mézet és a virágport, valamint ezen a biztos helyen fejlődnek a lárváik is.

Más állatok saját testükben mutatnak szabályos sokszög alakzatokat vagy legalábbis ilyen szimmetriát.

A tengeri csillag például pentagonális (ötszög-) vagy ritkábban heptagonális (hétszög-) vagy más szimmetriát mutat. Más tüskésbőrűek, mint a tengeri sün néha hasonló szimmetriát mutatnak.

Bár a tüskésbőrűek nem mutatnak egzakt sugárszimmetriát, a medúzák és a bordásmedúzák igen – általában négyes vagy nyolcas szimmetriát.

A tengely- és más szimmetriát a növényvilágban szintén sok helyen megfigyelhetjük, különösképpen a virágoknál, és kisebb mértékben a magok és gyümölcsök esetében; a leggyakoribb a pentagonális szimmetria. Egy különösen figyelemreméltó példa a Carambola csillaggyümölcs (starfruit), egy kissé savanykás délkelet-ázsiai gyümölcs, amelynek ötágú csillag alakja van.

Ha a Földről az űr felé indulva a korai matematikusok, akik Isaac Newton gravitációs törvénye alapján végeztek számításokat, felfedezték, hogy két égitest között, melyek közös tömegközéppontjuk körül keringenek (mint a Föld és a Nap) léteznek olyan pontok az űrben, a Lagrange-pontok, ahol egy kisebb égitest, például aszteroida vagy űrállomás stabil pályára képes állni. A Föld-Nap viszonylatban öt ilyen Lagrange-pont létezik. A két legstabilabb pontosan 60°-kal van a Föld előtt és mögött a Föld pályáján. Ha tehát a Nap és a Föld középpontját összekötjük az egyik ilyen ponttal, egyenlő oldalú háromszöget kapunk. A csillagászok találtak is aszteroidákat ezeken a pontokon (Trójai-kisbolygók). Még ma is vitatott kérdés, hogy van-e gyakorlati haszna egy ilyen ponton tartani egy űrállomást – bár sose kéne korrigálni a helyzetét, valószínűleg gyakran kerülgetnie kellene az ott jelen lévő aszteroidákat. Kevésbé stabil Lagrange-pontokon már vannak műholdak és egyéb obszervatóriumok.

Játék a sokszögekkel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Vágjunk fel sokszögekre egy papírt és alkossunk belőlük tangramot.
  • Ha ez egybevágó éleket egymáshoz illesztjük, kitölthetjük velük a síkot (tessellation)
  • Ha több azonos oldalhosszú sokszöget összekapcsolunk és az éleknél meghajlítjuk az alakzatot, háromdimenziós poliédert alkothatunk belőle.
  • Ha cikkcakkban hajtogatjuk, végtelen poliédert kapunk.
  • A számítógép által képzett sokszögekből felépíthetünk tetszőleges 3D virtuális világokat, melyet benépesíthetünk különféle lényekkel, vidámparkokkal, repülőgépekkel vagy szinte bármivel.


Sokszögek a számítógépes grafikában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A számítógépes képalkotásban (computer-grafika) a sokszögek olyan 2D alakzatok, melyeket egy adatbázisban modellezhetünk és tárolhatunk.

A sokszög lehet színes, árnyékolt, mintázott és az adatbázison belüli helyzetét csúcsainak koordinátáival határozhatjuk meg.

A nomenklatúra (nevezéktan) eltér a matematikában szokásostól:

  • Az egyszerű sokszög nem keresztezheti önmagát.
  • A konkáv sokszög olyan egyszerű sokszög, melyben legalább egy olyan belső szög van, mely nagyobb 180 °-nál.
  • A komplex sokszög metszi önmagát.
A sokszögek használata a valósidejű képalkotásban

A képalkotó rendszer a leképezendő sokszögek szerkezetét egy adatbázisból hívja elő. Innen az aktív memóriába kerülnek és végül a megjelenítő rendszerre (képernyő, stb.), ahol megtekinthetőek. A folyamat során a rendszer a sokszögeket perspektivikusan megfelelő formájúvá alakítja, amelyben már át lehet vinni a megjelenítőre. Bár a sokszögek kétdimenziósak, a számítógép úgy rendezi el őket, hogy 3D irányultságúnak tűnnek a megfigyelő számára, ha ő dinamikusan mozgatja a képet.

Morphing

A morphing algoritmusokat arra használhatjuk, hogy kiküszöböljük az olyan nemkívánt artifaktokat, melyek a sokszögek határainál jelennek meg, ahol az eltérő síkban lévő alakzatok találkoznak. Ezek elsimítják vagy elmossák az éleket és a kép kevésbé tűnik mesterségesnek, sokkal inkább valóságosnak.

Sokszögszámlálás

Mivel a sokszögeket több oldal és több pont határoz meg, annak érdekében, hogy különböző rendszereket össze tudjunk hasonlítani egymással a sokszög számláláshoz háromszöget használunk. A háromszög képzéséhez xyz (3D) rendszerben három pontot helyezünk el, tehát kilenc geometriai adattal tudjuk megadni. Ezen felül a színt, fényességet, árnyékolást, mintázatot, stb is lekódolhatjuk. Mikor egy adott rendszer jellemzőit vizsgáljuk, meg kell szerezni a sokszög számlálás egzakt definícióját, amely az adott rendszerre érvényes.

Hálószerű sokszögek

A hálószerű sokszögek (halászhálóhoz hasonló) száma egészen kétszer annyi lehet mint a szabadon lévő (nem hálóban) sokszögeké, különösen akkor, ha a sokszögek folytonosak. Ha egy négyzetháló n + 1 pontot (csúcsot) tartalmaz n négyzet van a rácsban vagy 2n háromszög, mivel minden négyzetet két háromszög alkot. Ekkor (n+1) 2/2n2 csúcsunk van háromszögenként. Ha az n nahy szám ez megközelítüleg fél. Tehát a négyzetháló minden csúcsához négy él kapcsolódik.

Csúcsszámlálás

A fentebb említett hatások miatt a csúcsok számlálása megbízhatóbb lehet a sokszög számlálásnál a képalkotó rendszer képességeinek mérésére.

Pont a sokszögben vizsgálat

A computer grafikában és a számítógépes geometriában gyakran kell meghatározni azt, hogy egy adott pont P = (x0,y0) egy olyan egyszerű sokszög belsejében helyezkedik-e el, melyet egyenes szakaszok sorozatával adtak meg. Ezt pont a sokszögben vizsgálatnak nevezik.

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Sokszög témájú médiaállományokat.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]