Szabályos sokszög

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Szabályos konvex sokszögek halmaza

Regular polygon 3 annotated.svgRegular polygon 4 annotated.svgRegular polygon 5 annotated.svgRegular polygon 6 annotated.svg
Regular polygon 7 annotated.svgRegular polygon 8 annotated.svgRegular polygon 9 annotated.svgRegular polygon 10 annotated.svg
Regular polygon 11 annotated.svgRegular polygon 12 annotated.svgRegular polygon 13 annotated.svgRegular polygon 14 annotated.svg
Regular polygon 15 annotated.svgRegular polygon 16 annotated.svgRegular polygon 17 annotated.svgRegular polygon 18 annotated.svg
Szabályos sokszögek

Élek és csúcsok száma n \,
Schläfli szimbólum \{n\} \,
Coxeter–Dynkin diagram CDW ring.pngCDW p.pngCDW dot.png
Szimmetriacsoport D_n \, általános diédercsoport
Terület
(a = élhossz)
T=\tfrac14 na^2 \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)
Belső szög
(fok)
\left(1-\frac{2}{n}\right)\times 180
Átlók száma \frac{n(n-3)}{2}

A szabályos sokszög olyan sokszög, amelynek minden oldala és minden belső szöge egyenlő. A nem-konvex szabályos sokszögeket csillagsokszögnek nevezzük.

Csak bizonyos szabályos sokszögek szerkeszthetők meg euklideszi szerkesztéssel (körzővel és egyélű vonalzóval). Ennek feltétele, hogy az oldalszám prímtényezős felbontásában minden páratlan prím egyszer szerepeljen, és ezek a tényezők mind Fermat-prímek legyenek.

Legyen a az oldal hossza, r a beírt kör sugara, R a köréírt kör sugara, T a terület. Ekkor:

\begin{align}
a & = 2r\mathrm{tg} \left(\frac{\pi}{n}\right) \\
  & = 2R\sin \left(\frac{\pi}{n}\right) \\
r & = \tfrac12 a\mathrm{ctg} \left(\frac{\pi}{n}\right) \\
  & = R\cos \left(\frac{\pi}{n}\right) \\
R & = \tfrac12 a\csc \left(\frac{\pi}{n}\right) \\
  & = r\sec \left(\frac{\pi}{n}\right) \\
T & = \tfrac14 na^2\mathrm{ctg} \left(\frac{\pi}{n}\right) \\
  & = nr^2\mathrm{tg} \left(\frac{\pi}{n}\right) \\
  & = \tfrac12 nR^2\sin \left(\frac{2\pi}{n}\right) \\
\end{align}

Szögek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szabályos n-szög belső szögeinek mértéke:

(1-\frac{2}{n})\times 180 (ekvivalens alakban (n-2)\times \frac{180}{n} ) fok,
vagy \frac{(n-2)\pi}{n} radián,
vagy \frac{(n-2)}{2n} teljes fordulat

A külső szögek mértéke ezt 360 fokra egészíti ki, tehát nagyságuk \frac{360}{n} fok.

Átlók[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

n > 2-re az átlók száma \frac{n (n-3)}{2}, vagyis 0, 2, 5, 9, ... A sokszögeket átlóik 1, 4, 11, 24, ... darbara osztják.

Szabályos csillagsokszögek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szabályos csillagsokszögek nem konvex szabályos sokszögek, egymást metsző oldalakkal. A legismertebb példa a pentagon, ami a szabályos ötszög átlóiból kapható.

Az n oldalú szabályos csillagsokszög Schläfli-szimbóluma {n/m}, ahol m azt mutatja meg, hogy a köréírt kört végigjárva hányadik csúcsok vannak összekötve. A pentagrammára például m = 2, minden második pont szomszédos. Ha m 3, akkor minden harmadik, és így tovább. Végigjárva a csillagsokszög határát, m-szer fordulunk körbe.

Ha n és m nem relatív prímek, akkor az alakzat elfajult, de nincs egyetértés abban, hogy mi ez az alakzat. Például a 20. század nagy részében a hexagrammát tekintették {6/2}-nek,[1] de több geométer, mint például Grünbaum (2003) szerint a kettős háromszöget illeti ez a jelölés. Ebben az alakzatban minden él és csúcs kétszer számít. Ez az elgondolás jobban illeszkedik az absztrakt politópok elméletéhez.

Dualitás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Minden konvex szabályos sokszög egybevágóság erejéig önduális, és a páratlan oldalszámú sokszögek identitás erejéig önduálisak.

A szabályos csillagsokszögek is önduálisak, ami visszavezethető arra, ahogy előállnak a konvex szabályos sokszögekből.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. lásd Coxeter hivatkozott könyvét

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Coxeter, H. S. M. (1948), Regular Polytopes, Methuen and Co.

  • Grünbaum, B.; Are your polyhedra the same as my polyhedra?, Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift, Ed. Aronov et al., Springer (2003), pp. 461–488.
  • Louis Poinsot; Memoire sur les polygones et polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9 (1810), pp. 16–48.

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]