Schläfli-szimbólum

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A geometriában a Schläfli-szimbólum sokszögeket, poliédereket és magasabb dimenziós politópokat, parkettázásokat, térkitöltéseket ír le. A svájci Ludwig Schläfli után nevezték el.

Alakja , ahol, ha egész, akkor egy megfelelő oldalszámú sokszöget jelöl. Ha tört, akkor egy csillagsokszöget jellemez, ahol a számláló a csúcsok számát, a nevező pedig azt adja meg, hogy körbemenve hányadik pontokat kell összekötni.

A Schläfli-szimbólumban szereplő számok sorrendjének megfordítása az eredetileg leírt objektum duálisát írja le.

Definíció[szerkesztés]

A Schläfli-szimbólum egy rekurzív leírás, ami a sokszögből indul ki. A szimbólumban q azt adja meg, hogy a p sokszögből hány találkozik egy csúcsban. Ha egy négy dimenziós politópban minden él körül r szimbólumú poliéder találkozik, akkor Schläfli-szimbóluma , és így tovább. A poliédereknek lehetnek csillagsokszög lapjaik is.

A {p,q,r,...,y,z} szabályos politóp lapjának Schläfli-szimbóluma {p,q,r,...,y}. Ugyanennek a poliédernek a csúcsalakzata {q,r,...y,z}.

A poliédereknek lehetnek csillagsokszög lapjaik is.

A szimbólum reprezentálhat véges sokszöget, poliédert, politópot, vagy euklideszi vagy hiperbolikus szabályos parkettát vagy térkitöltést a defektusától függően. Ha a defektus pozitív, akkor lapok felhajtogathatók az eggyel magasabb dimenziós térbe, így politópot alkothatnak. A nulla defektus azt jelzi, hogy az illeszkedő lapok kitöltik az adott dimenziójú euklideszi teret. A negatív defektus nem lehetséges az euklideszi térben, de a hiperbolikus térben már igen.

A csúcsalakzatot többnyire véges politópnak fogják fel, de néha érdemesebb parkettázásnak vagy térkitöltésnek tekinteni.

A szabályos politópok duálisainak Schläfli-szimbóluma megegyezik az eredeti Schläfli-szimbólum megfordításával. Az önduális politópok Schläfli-szimbóluma így szimmetrikus.

Szimmetriacsoportok[szerkesztés]

A Schläfli-szimbólum szorosan kapcsolódik az azonos indexű tükörszimmetrikus csoportokhoz, amelyeket Coxeter-csoportoknak is neveznek, és szögletes zárójelbe tesznek. Így a [3,3] Coxeter-csoport a tetraéder, a [3,4] az oktaéder, és [3,5] az ikozaéder tükörszimmetriái által generált csoport jele.

Példák[szerkesztés]

Sokszögek és csillagsokszögek[szerkesztés]

egy -szög.

a pentagramma Pentagram.svg.

és rendre a Obtuse heptagram.svg és Acute heptagram.svg heptagrammák jele.

Mindezek az alakzatok önduálisak.

Szabályos testek[szerkesztés]

A szabályos testek Schläfli-szimbólumai: az önduális tetraéder.

az oktaéder, a megfordított az oktaéder duálisa, a kocka.

az ikozaéder, a megfordított az ikozaéder duálisa, a dodekaéder.

Platóni parketták[szerkesztés]

a háromszögparketta, az inverz ennek a duálisa, a hatszögparketta.

az önduális négyzetparketta.

Kepler-Poinsot-testek[szerkesztés]

A Kepler-Poinsot-testek Schläfli-szimbólumai: a nagy ikozaédert, az inverziója a duálisát, a nagy csillagdodekaédert írja le.

a nagy dodekaédert, az inverzió a duálisát, a kis csillagdodekaédert jellemzi.

Négy dimenziós szabályos politópok[szerkesztés]

a pentakhoron,

a tesszerakt (négy dimenziós hiperkocka), duálisa pedig a hexadekakhor néven is ismert szabályos 16-cellát jellemzi.

az önduális szabályos 24-cella, másként az ikozitetrakhor.

a 120-cella, inverziója a szabályos 600-cella.

Magasabb dimenzióban[szerkesztés]

Magasabb dimenzióban a politóp Schläfli-szimbóluma {p1, p2, ..., pn − 1}, ha lapjainak Schläfli-szimbóluma {p1,p2, ..., pn − 2}, és csúcsalakzatának Schläfli-szimbóluma {p2,p3, ..., pn − 1}.

Egy szabályos politóp lapjának csúcsalakzata és csúcsalakzatának lapja ugyanaz: {p2,p3, ..., pn − 2}.

Négynél magasabb dimenzióban dimenziónként három szabályos politóp van: {3,3,3,...,3} a szimplex; {3,3, ..., 3,4} a keresztpolitóp; és {4,3,3,...,3} a hiperkocka. Konkáv szabályos politópok nincsenek ezekben a dimenziókban.

Uniform prizmák[szerkesztés]

Az uniform prizmák alacsonyabb dimenziós szabályos politópok Descartes-szorzatai:

  • p-gonális prizma: a p.4.4 csúcsalakzatú politóp definiálható, mint { } × {p}, ahol { } a szakasz.
  • {p,q}-éderes prizma: a { } × {p,q} szorzat.
  • p-q duoprizma: {p} × {q}.

Általánosításai[szerkesztés]

Coxeter a kváziszabályos poliéderekre is kiterjesztette a Schläfli-szimbólumot a csúcsok dimenziójának jelölésével. Ez lett a még általánosabb Coxeter-Dynkin diagram kiindulópontja. Norman Johnson egyszerűsítette a jelölést azzal, hogy a csúcsszimbólumokra bevezette az r prfixet. A t jelölés a legáltalánosabb, és közvetlenül megfelel a Coxeter-Dynkin diagram gyűrűinek. Mindegyik szimbólumnak van alternációja, ahol a Coxeter-Dynkin diagramon a gyűrűket lyukak helyettesítik a h prefixszel. Ez a változtatás csak bizonyos feltételekkel vihető végbe.

Forma Kiterjesztett Schläfli-szimbólumok Szimmetria Coxeter-diagram Példa: {4,3}
Szabályos {p,q} t0{p,q} [p,q]
vagy
[(p,q,2)]
Sablon:CDD Hexahedron.png Kocka Sablon:CDD
Csonkított t{p,q} t0,1{p,q} Sablon:CDD Truncated hexahedron.png Csonkított kocka Sablon:CDD
Bicsonkítás
(Csonkított duális)
2t{p,q} t1,2{p,q} Sablon:CDD Sablon:CDD Truncated octahedron.png Csonkított oktaéder Sablon:CDD
Rektifikált
(Kváziszabályos)
r{p,q} t1{p,q} Sablon:CDD Sablon:CDD Cuboctahedron.png Kuboktaéder Sablon:CDD
Birektifikáció
(Szabályos duális)
2r{p,q} t2{p,q} Sablon:CDD Sablon:CDD Octahedron.png Oktaéder Sablon:CDD
Cantellated
(A rektifikált rektifikáltja)
rr{p,q} t0,2{p,q} Sablon:CDD Sablon:CDD Small rhombicuboctahedron.png Rombikuboktaéder Sablon:CDD
Élcsonkított
(A csonkított rektifikáltja)
tr{p,q} t0,1,2{p,q} Sablon:CDD Sablon:CDD Great rhombicuboctahedron.png Csonkított kuboktaéder Sablon:CDD


Alternációk
Alternált szabályos
(p páros)
h{p,q} ht0{p,q} [1+,p,q] Sablon:CDD Tetrahedron.png Demikocka
(Tetraéder)
Sablon:CDD
Snub szabályos
(q páros)
s{p,q} ht0,1{p,q} [p+,q] Sablon:CDD
Snub duális szabály
(p páros)
s{q,p} ht1,2{p,q} [p,q+] Sablon:CDD Sablon:CDD Uniform polyhedron-43-h01.svg Snub oktaéder
(Icosahedron)
Sablon:CDD
Alternált duális szabályos
(q páros)
h{q,p} ht2{p,q} [p,q,1+] Sablon:CDD Sablon:CDD
Alternált rektifkált
(p és q is páros)
hr{p,q} ht1{p,q} [p,1+,q] Sablon:CDD Sablon:CDD
Alternált rektifikált rektifikált
(p és q is páros)
hrr{p,q} ht0,2{p,q} [(p,q,2+)] Sablon:CDD Sablon:CDD
Quarter
(p és q is páros)
q{p,q} ht0ht2{p,q} [1+,p,q,1+] Sablon:CDD Sablon:CDD
Snub rektifikált
Snub kváziszabályos
sr{p,q} ht0,1,2{p,q} [p,q]+ Sablon:CDD Sablon:CDD Snub hexahedron.png Snub kuboktaéder
(Snub kocka)
Sablon:CDD

Négy dimenzióban[szerkesztés]

Linear families
Forma Kiterjesztett Schläfli-szimbólum Coxeter-diagram Példa, {4,3,3}
Szabályos {p,q,r} t0{p,q,r} Sablon:CDD Schlegel wireframe 8-cell.png Tesszerakt Sablon:CDD
Csonkított t{p,q,r} t0,1{p,q,r} Sablon:CDD Schlegel half-solid truncated tesseract.png Csonkított tesszerakt Sablon:CDD
Rektifikált r{p,q,r} t1{p,q,r} Sablon:CDD Schlegel half-solid rectified 8-cell.png Rektifikált tesszerakt Sablon:CDD = Sablon:CDD
Bicsonkított 2t{p,q,r} t1,2{p,q,r} Sablon:CDD Schlegel half-solid bitruncated 16-cell.png Bicsonkított tesszerakt Sablon:CDD
Birektifikált
(rektifikált duális)
2r{p,q,r} = r{r,q,p} t2{p,q,r} Sablon:CDD Schlegel half-solid rectified 16-cell.png Rektifikált 16-cella Sablon:CDD = Sablon:CDD
Tricsonkított
(Csonkított duális)
3t{p,q,r} = t{r,q,p} t2,3{p,q,r} Sablon:CDD Schlegel half-solid truncated 16-cell.png Bicsonkított tesszerakt Sablon:CDD
Trirektifikált
(Dual)
3r{p,q,r} = {r,q,p} t3{p,q,r} = {r,q,p} Sablon:CDD Schlegel wireframe 16-cell.png 16-cella Sablon:CDD
Cantellált rr{p,q,r} t0,2{p,q,r} Sablon:CDD Schlegel half-solid cantellated 8-cell.png Cantellált tesszerakt Sablon:CDD = Sablon:CDD
Élcsonkított tr{p,q,r} t0,1,2{p,q,r} Sablon:CDD Schlegel half-solid cantitruncated 8-cell.png Élcsonkított tesszerakt Sablon:CDD = Sablon:CDD
Runcinált
(kiterjesztett)
e{p,q,r} t0,3{p,q,r} Sablon:CDD Schlegel half-solid runcinated 8-cell.png Runcinált tesszerakt Sablon:CDD
Runcicsonkított t0,1,3{p,q,r} Sablon:CDD Schlegel half-solid runcitruncated 8-cell.png Runcicsonkított tesszerakt Sablon:CDD
Omnicsonkított t0,1,2,3{p,q,r} Sablon:CDD Schlegel half-solid omnitruncated 8-cell.png Omnicsonkított tesszerakt Sablon:CDD
Alternációk
Fél
p páros
h{p,q,r} ht0{p,q,r} Sablon:CDD Schlegel wireframe 16-cell.png 16-cella Sablon:CDD
Negyed
p és r páros
q{p,q,r} ht0ht3{p,q,r} Sablon:CDD
Snub
q páros
s{p,q,r} ht0,1{p,q,r} Sablon:CDD Ortho solid 969-uniform polychoron 343-snub.png Snub 24-cella Sablon:CDD
Snub rectifikált
r páros
sr{p,q,r} ht0,1,2{p,q,r} Sablon:CDD Ortho solid 969-uniform polychoron 343-snub.png Snub 24-cella Sablon:CDD = Sablon:CDD
Alternált omnicsonkítás ht0,1,2,3{p,q,r} Sablon:CDD Great duoantiprism.png Nagy duoantiprizma Sablon:CDD
Bifurkáló családok
Forma Kiterjesztett Schläfli-szimbólum Coxeter-diagram Példák
Kváziszabályos {p,q1,1} t0{p,q1,1} Sablon:CDD Schlegel wireframe 16-cell.png 16-cella Sablon:CDD
Csonkított t{p,q1,1} t0,1{p,q1,1} Sablon:CDD Schlegel half-solid truncated 16-cell.png Csonkított 16-cella Sablon:CDD
Rektifikált r{p,q1,1} t1{p,q1,1} Sablon:CDD Schlegel wireframe 24-cell.png 24-cella Sablon:CDD
Cantellált rr{p,q1,1} t0,2,3{p,q1,1} Sablon:CDD Schlegel half-solid cantellated 16-cell.png Cantellált 16-cella Sablon:CDD
Élcsonkított tr{p,q1,1} t0,1,2,3{p,q1,1} Sablon:CDD Schlegel half-solid cantitruncated 16-cell.png Élcsonkított 16-cella Sablon:CDD
Snub rectifikált sr{p,q1,1} ht0,1,2,3{p,q1,1} Sablon:CDD Ortho solid 969-uniform polychoron 343-snub.png Snub 24-cella Sablon:CDD
Kváziszabályos {r,/q\,p} t0{r,/q\,p} Sablon:CDD Sablon:CDD
Csonkított t{r,/q\,p} t0,1{r,/q\,p} Sablon:CDD Sablon:CDD
Rektifikált r{r,/q\,p} t1{r,/q\,p} Sablon:CDD Sablon:CDD
Cantellált rr{r,/q\,p} t0,2,3{r,/q\,p} Sablon:CDD Sablon:CDD
Élcsonkított tr{r,/q\,p} t0,1,2,3{r,/q\,p} Sablon:CDD Sablon:CDD
snub rektifikált sr{p,/q,\r} ht0,1,2,3{p,/q\,r} Sablon:CDD Sablon:CDD

Források[szerkesztés]

  • Coxeter: Regular Polytopes (pp. 14, 69, 149) [1]
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
    • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Schläfli-Symbol című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Schläfli-symbol című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.