Schläfli-szimbólum

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A geometriában a Schläfli-szimbólum sokszögeket, poliédereket és magasabb dimenziós politópokat, parkettázásokat, térkitöltéseket ír le. A svájci Ludwig Schläfli után nevezték el.

Alakja , ahol, ha egész, akkor egy megfelelő oldalszámú sokszöget jelöl. Ha tört, akkor egy csillagsokszöget jellemez, ahol a számláló a csúcsok számát, a nevező pedig azt adja meg, hogy körbemenve hányadik pontokat kell összekötni.

A Schläfli-szimbólumban szereplő számok sorrendjének megfordítása az eredetileg leírt objektum duálisát írja le.

Definíció[szerkesztés]

A Schläfli-szimbólum egy rekurzív leírás, ami a sokszögből indul ki. A szimbólumban q azt adja meg, hogy a p sokszögből hány találkozik egy csúcsban. Ha egy négy dimenziós politópban minden él körül r szimbólumú poliéder találkozik, akkor Schläfli-szimbóluma , és így tovább. A poliédereknek lehetnek csillagsokszög lapjaik is.

A {p,q,r,...,y,z} szabályos politóp lapjának Schläfli-szimbóluma {p,q,r,...,y}. Ugyanennek a poliédernek a csúcsalakzata {q,r,...y,z}.

A poliédereknek lehetnek csillagsokszög lapjaik is.

A szimbólum reprezentálhat véges sokszöget, poliédert, politópot, vagy euklideszi vagy hiperbolikus szabályos parkettát vagy térkitöltést a defektusától függően. Ha a defektus pozitív, akkor lapok felhajtogathatók az eggyel magasabb dimenziós térbe, így politópot alkothatnak. A nulla defektus azt jelzi, hogy az illeszkedő lapok kitöltik az adott dimenziójú euklideszi teret. A negatív defektus nem lehetséges az euklideszi térben, de a hiperbolikus térben már igen.

A csúcsalakzatot többnyire véges politópnak fogják fel, de néha érdemesebb parkettázásnak vagy térkitöltésnek tekinteni.

A szabályos politópok duálisainak Schläfli-szimbóluma megegyezik az eredeti Schläfli-szimbólum megfordításával. Az önduális politópok Schläfli-szimbóluma így szimmetrikus.

Szimmetriacsoportok[szerkesztés]

A Schläfli-szimbólum szorosan kapcsolódik az azonos indexű tükörszimmetrikus csoportokhoz, amelyeket Coxeter-csoportoknak is neveznek, és szögletes zárójelbe tesznek. Így a [3,3] Coxeter-csoport a tetraéder, a [3,4] az oktaéder, és [3,5] az ikozaéder tükörszimmetriái által generált csoport jele.

Példák[szerkesztés]

Sokszögek és csillagsokszögek[szerkesztés]

egy -szög.

a pentagramma Pentagram.svg.

és rendre a Obtuse heptagram.svg és Acute heptagram.svg heptagrammák jele.

Mindezek az alakzatok önduálisak.

Szabályos testek[szerkesztés]

A szabályos testek Schläfli-szimbólumai: az önduális tetraéder.

az oktaéder, a megfordított az oktaéder duálisa, a kocka.

az ikozaéder, a megfordított az ikozaéder duálisa, a dodekaéder.

Platóni parketták[szerkesztés]

a háromszögparketta, az inverz ennek a duálisa, a hatszögparketta.

az önduális négyzetparketta.

Kepler-Poinsot-testek[szerkesztés]

A Kepler-Poinsot-testek Schläfli-szimbólumai: a nagy ikozaédert, az inverziója a duálisát, a nagy csillagdodekaédert írja le.

a nagy dodekaédert, az inverzió a duálisát, a kis csillagdodekaédert jellemzi.

Négy dimenziós szabályos politópok[szerkesztés]

a pentakhoron,

a tesszerakt (négy dimenziós hiperkocka), duálisa pedig a hexadekakhor néven is ismert szabályos 16-cellát jellemzi.

az önduális szabályos 24-cella, másként az ikozitetrakhor.

a 120-cella, inverziója a szabályos 600-cella.

Magasabb dimenzióban[szerkesztés]

Magasabb dimenzióban a politóp Schläfli-szimbóluma {p1, p2, ..., pn − 1}, ha lapjainak Schläfli-szimbóluma {p1,p2, ..., pn − 2}, és csúcsalakzatának Schläfli-szimbóluma {p2,p3, ..., pn − 1}.

Egy szabályos politóp lapjának csúcsalakzata és csúcsalakzatának lapja ugyanaz: {p2,p3, ..., pn − 2}.

Négynél magasabb dimenzióban dimenziónként három szabályos politóp van: {3,3,3,...,3} a szimplex; {3,3, ..., 3,4} a keresztpolitóp; és {4,3,3,...,3} a hiperkocka. Konkáv szabályos politópok nincsenek ezekben a dimenziókban.

Uniform prizmák[szerkesztés]

Az uniform prizmák alacsonyabb dimenziós szabályos politópok Descartes-szorzatai:

  • p-gonális prizma: a p.4.4 csúcsalakzatú politóp definiálható, mint { } × {p}, ahol { } a szakasz.
  • {p,q}-éderes prizma: a { } × {p,q} szorzat.
  • p-q duoprizma: {p} × {q}.

Általánosításai[szerkesztés]

Coxeter a kváziszabályos poliéderekre is kiterjesztette a Schläfli-szimbólumot a csúcsok dimenziójának jelölésével. Ez lett a még általánosabb Coxeter-Dynkin diagram kiindulópontja. Norman Johnson egyszerűsítette a jelölést azzal, hogy a csúcsszimbólumokra bevezette az r prfixet. A t jelölés a legáltalánosabb, és közvetlenül megfelel a Coxeter-Dynkin diagram gyűrűinek. Mindegyik szimbólumnak van alternációja, ahol a Coxeter-Dynkin diagramon a gyűrűket lyukak helyettesítik a h prefixszel. Ez a változtatás csak bizonyos feltételekkel vihető végbe.

Forma Kiterjesztett Schläfli-szimbólumok Szimmetria Coxeter-diagram Példa: {4,3}
Szabályos {p,q} t0{p,q} [p,q]
vagy
[(p,q,2)]
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png Hexahedron.png Kocka CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Csonkított t{p,q} t0,1{p,q} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png Truncated hexahedron.png Csonkított kocka CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Bicsonkítás
(Csonkított duális)
2t{p,q} t1,2{p,q} CDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png Truncated octahedron.png Csonkított oktaéder CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Rektifikált
(Kváziszabályos)
r{p,q} t1{p,q} CDel node 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png Cuboctahedron.png Kuboktaéder CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Birektifikáció
(Szabályos duális)
2r{p,q} t2{p,q} CDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png Octahedron.png Oktaéder CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Cantellated
(A rektifikált rektifikáltja)
rr{p,q} t0,2{p,q} CDel node.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes 11.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png Small rhombicuboctahedron.png Rombikuboktaéder CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Élcsonkított
(A csonkított rektifikáltja)
tr{p,q} t0,1,2{p,q} CDel node 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes 11.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png Great rhombicuboctahedron.png Csonkított kuboktaéder CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png


Alternációk
Alternált szabályos
(p páros)
h{p,q} ht0{p,q} [1+,p,q] CDel node h1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png Tetrahedron.png Demikocka
(Tetraéder)
CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Snub szabályos
(q páros)
s{p,q} ht0,1{p,q} [p+,q] CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node.png
Snub duális szabály
(p páros)
s{q,p} ht1,2{p,q} [p,q+] CDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.pngCDel p.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png Uniform polyhedron-43-h01.svg Snub oktaéder
(Icosahedron)
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Alternált duális szabályos
(q páros)
h{q,p} ht2{p,q} [p,q,1+] CDel node h1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node h1.png
Alternált rektifkált
(p és q is páros)
hr{p,q} ht1{p,q} [p,1+,q] CDel node h1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node h1.pngCDel q.pngCDel node.png
Alternált rektifikált rektifikált
(p és q is páros)
hrr{p,q} ht0,2{p,q} [(p,q,2+)] CDel node.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes hh.png CDel node h.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node h.png
Quarter
(p és q is páros)
q{p,q} ht0ht2{p,q} [1+,p,q,1+] CDel node.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes h1h1.png CDel node h1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node h1.png
Snub rektifikált
Snub kváziszabályos
sr{p,q} ht0,1,2{p,q} [p,q]+ CDel node h.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes hh.png CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png Snub hexahedron.png Snub kuboktaéder
(Snub kocka)
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png

Négy dimenzióban[szerkesztés]

Linear families
Forma Kiterjesztett Schläfli-szimbólum Coxeter-diagram Példa, {4,3,3}
Szabályos {p,q,r} t0{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png Schlegel wireframe 8-cell.png Tesszerakt CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Csonkított t{p,q,r} t0,1{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png Schlegel half-solid truncated tesseract.png Csonkított tesszerakt CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Rektifikált r{p,q,r} t1{p,q,r} CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png Schlegel half-solid rectified 8-cell.png Rektifikált tesszerakt CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node 1.pngCDel split1-43.pngCDel nodes.pngCDel 3b.pngCDel nodeb.png
Bicsonkított 2t{p,q,r} t1,2{p,q,r} CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.png Schlegel half-solid bitruncated 16-cell.png Bicsonkított tesszerakt CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Birektifikált
(rektifikált duális)
2r{p,q,r} = r{r,q,p} t2{p,q,r} CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.png Schlegel half-solid rectified 16-cell.png Rektifikált 16-cella CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
Tricsonkított
(Csonkított duális)
3t{p,q,r} = t{r,q,p} t2,3{p,q,r} CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node 1.png Schlegel half-solid truncated 16-cell.png Bicsonkított tesszerakt CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Trirektifikált
(Dual)
3r{p,q,r} = {r,q,p} t3{p,q,r} = {r,q,p} CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node 1.png Schlegel wireframe 16-cell.png 16-cella CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Cantellált rr{p,q,r} t0,2{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.png Schlegel half-solid cantellated 8-cell.png Cantellált tesszerakt CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node.pngCDel split1-43.pngCDel nodes 11.pngCDel 3b.pngCDel nodeb.png
Élcsonkított tr{p,q,r} t0,1,2{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.png Schlegel half-solid cantitruncated 8-cell.png Élcsonkított tesszerakt CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node 1.pngCDel split1-43.pngCDel nodes 11.pngCDel 3b.pngCDel nodeb.png
Runcinált
(kiterjesztett)
e{p,q,r} t0,3{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node 1.png Schlegel half-solid runcinated 8-cell.png Runcinált tesszerakt CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Runcicsonkított t0,1,3{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node 1.png Schlegel half-solid runcitruncated 8-cell.png Runcicsonkított tesszerakt CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Omnicsonkított t0,1,2,3{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node 1.png Schlegel half-solid omnitruncated 8-cell.png Omnicsonkított tesszerakt CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Alternációk
Fél
p páros
h{p,q,r} ht0{p,q,r} CDel node h1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png Schlegel wireframe 16-cell.png 16-cella CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Negyed
p és r páros
q{p,q,r} ht0ht3{p,q,r} CDel node h1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node h1.png
Snub
q páros
s{p,q,r} ht0,1{p,q,r} CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png Ortho solid 969-uniform polychoron 343-snub.png Snub 24-cella CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Snub rectifikált
r páros
sr{p,q,r} ht0,1,2{p,q,r} CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.pngCDel r.pngCDel node.png Ortho solid 969-uniform polychoron 343-snub.png Snub 24-cella CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png = CDel node h.pngCDel split1.pngCDel nodes hh.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
Alternált omnicsonkítás ht0,1,2,3{p,q,r} CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.pngCDel r.pngCDel node h.png Great duoantiprism.png Nagy duoantiprizma CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel 3x.pngCDel node h.png
Bifurkáló családok
Forma Kiterjesztett Schläfli-szimbólum Coxeter-diagram Példák
Kváziszabályos {p,q1,1} t0{p,q1,1} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel split1-qq.pngCDel nodes.png Schlegel wireframe 16-cell.png 16-cella CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
Csonkított t{p,q1,1} t0,1{p,q1,1} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel split1-qq.pngCDel nodes.png Schlegel half-solid truncated 16-cell.png Csonkított 16-cella CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
Rektifikált r{p,q1,1} t1{p,q1,1} CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel split1-qq.pngCDel nodes.png Schlegel wireframe 24-cell.png 24-cella CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
Cantellált rr{p,q1,1} t0,2,3{p,q1,1} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel split1-qq.pngCDel nodes 11.png Schlegel half-solid cantellated 16-cell.png Cantellált 16-cella CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png
Élcsonkított tr{p,q1,1} t0,1,2,3{p,q1,1} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel split1-qq.pngCDel nodes 11.png Schlegel half-solid cantitruncated 16-cell.png Élcsonkított 16-cella CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png
Snub rectifikált sr{p,q1,1} ht0,1,2,3{p,q1,1} CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel split1-qq.pngCDel nodes hh.png Ortho solid 969-uniform polychoron 343-snub.png Snub 24-cella CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel split1.pngCDel nodes hh.png
Kváziszabályos {r,/q\,p} t0{r,/q\,p} CDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1-43.pngCDel nodes.png
Csonkított t{r,/q\,p} t0,1{r,/q\,p} CDel node 1.pngCDel r.pngCDel node 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1-43.pngCDel nodes.png
Rektifikált r{r,/q\,p} t1{r,/q\,p} CDel node.pngCDel r.pngCDel node 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1-43.pngCDel nodes.png
Cantellált rr{r,/q\,p} t0,2,3{r,/q\,p} CDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes 11.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1-43.pngCDel nodes 11.png
Élcsonkított tr{r,/q\,p} t0,1,2,3{r,/q\,p} CDel node 1.pngCDel r.pngCDel node 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes 11.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1-43.pngCDel nodes 11.png
snub rektifikált sr{p,/q,\r} ht0,1,2,3{p,/q\,r} CDel node h.pngCDel r.pngCDel node h.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes hh.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel split1-43.pngCDel nodes hh.png

Források[szerkesztés]

  • Coxeter: Regular Polytopes (pp. 14, 69, 149) [1]
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
    • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Schläfli-Symbol című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Schläfli symbol című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.