Egybevágóság

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az egybevágóság geometriai fogalom. Két geometriai alakzat akkor egybevágó, ha távolságtartó transzformációval leképezhetőek egymásra, azaz ha eltolással, forgatással, tükrözéssel fedésbe hozhatók. A geometria Hilbert-féle axiómarendszerében az egybevágóság alapfogalom. Halmazelméleti értelemben az egybevágóság ekvivalenciareláció a térbeli alakzatok halmazán.

Sokszor röviden „egybevágóságnak” nevezik a távolságtartó transzformációkat is.

Jelölése[szerkesztés]

és szakaszok egybevágóságát a következőképpen jelöljük:

vagy

Tulajdonságai[szerkesztés]

  • Legyenek , tetszőleges egyenesek, , az a egyenes tetszőleges pontjai, pedig a egyenes tetszőleges pontja. Ekkor a egyenesen az pont egy adott oldalán pontosan egy olyan pont van, hogy teljesül.
  • Minden szakasz egybevágó saját magával, azaz tetszőleges , pontokra teljesül, hogy .
  • Ha az szakasz egybevágó az szakasszal is és az szakasszal is, akkor az szakasz egybevágó az szakasszal.
  • Legyenek , az egyenesre illeszkedő szakaszok úgy, hogy az , szakaszoknak a pont az egyetlen közös pontjuk, legyenek továbbá , az egyenesre illeszkedő szakaszok úgy, hogy az , szakaszoknak a pont az egyetlen közös pontjuk. Ekkor ha és , akkor .
  • Legyen egy tetszőleges szög az síkon, ahol a és a szög szárait meghatározó félegyenesek, legyen továbbá a sík egy tetszőleges egyenese és jelölje az valamely pontjából kiinduló egyik félegyenest. Ekkor az síkon pontosan egy olyan, az pontból kiinduló félegyenes létezik, amelyre az (vagy ) egybevágóság teljesül és a szög belső pontjai az egyenes egy előre megadott oldalán fekszenek.
  • Minden szög egybevágó saját magával, azaz tetszőleges szögre teljesül.
  • Ha az szög egybevágó a szöggel is és az szöggel is, akkor a szög egybevágó az szöggel.
  • Legyen és két tetszőleges háromszög. Ha teljesülnek a , és egybevágóságok, akkor az és egybvágóságok is teljesülnek.

Története[szerkesztés]

Az egybevágóság fogalmát Euklidész Elemek című munkájában még az "egyenlő és hasonló" kifejezés írja körül.[1] A geometria tanításának ez az euklideszi mű maradt az alapja egészen Hilbert Die Grundlagen der Geometrie című tanulmányának megjelenéséig. Hilbert az egybevágóságot már a geometria egyik alapfogalmaként kezeli, és ennek az alapfogalomnak a tulajdonságait az általa javasolt axiómarendszerben az úgynevezett egybevágósági axiómák írják le. Hilbert óta a geometria és ezen belül az euklideszi geometria több különböző axiómarendszerét is kidolgozták,[2] ezekben már az egybevágóság nem feltétlenül alapfogalom, de ezekben az esetekben a Hilbert-féle egybevágósági axiómák természetesen levezethetőek az adott axiómarendszer axiómáiból.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Lásd Euklidész: Elemek I. könyv Mauer Gyula fordításában és jegyzeteivel a MEK oldalán
  2. Lásd például Tarski axiómarendszerét.

Hivatkozások[szerkesztés]

További információk[szerkesztés]