Egybevágóság

Az egybevágóság geometriai fogalom. Két geometriai alakzat akkor egybevágó, ha távolságtartó transzformációval leképezhetőek egymásra, azaz ha eltolással, forgatással, tükrözéssel, illetve ezek kombinációjával fedésbe hozhatók.

A geometria Hilbert-féle axiómarendszerében az egybevágóság alapfogalom. Halmazelméleti értelemben az egybevágóság ekvivalenciareláció a térbeli alakzatok halmazán.

Sokszor röviden „egybevágóságnak” nevezik a távolságtartó transzformációkat is.

Jelölése

$a$ és $b$ szakaszok egybevágóságát a következőképpen jelöljük:

$a\cong b$ vagy $b\cong a$

Tulajdonságai

• Legyenek $a$, $b$ tetszőleges egyenesek, $A$, $B$ az a egyenes tetszőleges pontjai, $A'$ pedig a $b$ egyenes tetszőleges pontja. Ekkor a $b$ egyenesen az $A'$ pont egy adott oldalán pontosan egy olyan $B'$ pont van, hogy $AB\cong A'B'$ teljesül.
• Minden szakasz egybevágó saját magával, azaz tetszőleges $A$, $B$ pontokra teljesül, hogy $AB\cong AB$.
• Ha az $AB$ szakasz egybevágó az $A'B'$ szakasszal is és az $A''B''$ szakasszal is, akkor az $A'B'$ szakasz egybevágó az $A''B''$ szakasszal.
• Legyenek $AB$, $BC$ az $a$ egyenesre illeszkedő szakaszok úgy, hogy az $AB$, $BC$ szakaszoknak a $B$ pont az egyetlen közös pontjuk, legyenek továbbá $A'B'$, $B'C'$ az $a'$ egyenesre illeszkedő szakaszok úgy, hogy az $A'B'$, $B'C'$ szakaszoknak a $B'$ pont az egyetlen közös pontjuk. Ekkor ha $AB\cong A'B'$ és $BC\cong B'C'$, akkor $AC\cong A'C'$.
• Legyen $\angle AOB$ egy tetszőleges szög az $\alpha$ síkon, ahol a $OA$ és $OB$ a szög szárait meghatározó félegyenesek, legyen továbbá $a'$ a $\alpha '$ sík egy tetszőleges egyenese és jelölje $O'A'$ az $a'$ valamely $O'$ pontjából kiinduló egyik félegyenest. Ekkor az $\alpha '$ síkon pontosan egy olyan, az $O'$ pontból kiinduló $O'B'$ félegyenes létezik, amelyre az $\angle AOB\cong \angle A'O'B'$ (vagy $\angle AOB\cong \angle B'O'A'$) egybevágóság teljesül és a $\angle A'O'B'$ szög belső pontjai az $a'$ egyenes egy előre megadott oldalán fekszenek.
• Minden szög egybevágó saját magával, azaz tetszőleges $\angle AOB$ szögre $\angle AOB\cong \angle AOB$ teljesül.
• Ha az $\angle AOB$ szög egybevágó a $\angle A'O'B'$ szöggel is és az $\angle A''O''B''$ szöggel is, akkor a $\angle A'O'B'$ szög egybevágó az $\angle A''O''B''$ szöggel.
• Legyen $ABC$ és $A'B'C'$ két tetszőleges háromszög. Ha teljesülnek a $AB\cong A'B'$, $AC\cong A'C'$ és $\angle BAC\cong \angle B'A'C'$ egybevágóságok, akkor az $\angle ABC\cong \angle A'B'C'$ és $\angle ACB\cong \angle A'C'B'$ egybevágóságok is teljesülnek.

Története

Az egybevágóság fogalmát Euklidész Elemek című munkájában még az "egyenlő és hasonló" kifejezés írja körül. A geometria tanításának ez az euklideszi mű maradt az alapja egészen Hilbert Die Grundlagen der Geometrie című tanulmányának megjelenéséig. Hilbert az egybevágóságot már a geometria egyik alapfogalmaként kezeli, és ennek az alapfogalomnak a tulajdonságait az általa javasolt axiómarendszerben az úgynevezett egybevágósági axiómák írják le. Hilbert óta a geometria és ezen belül az euklideszi geometria több különböző axiómarendszerét is kidolgozták, ezekben már az egybevágóság nem feltétlenül alapfogalom, de ezekben az esetekben a Hilbert-féle egybevágósági axiómák természetesen levezethetőek az adott axiómarendszer axiómáiból.

Hivatkozások

• David Hilbert, 1980 (1899). The Foundations of Geometry, 2nd ed. Chicago: Open Court.

További információk

• The SSS
• The SSA
• Egybevágó szögek interaktív animációval
• Egybevágó szakaszok interaktív animációval