Vektoriális szorzat

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A vektoriális szorzat (más néven külső szorzat vagy keresztszorzat) háromdimenziós vektorokkal végzett olyan művelet, amelynek eredménye egy vektor. Míg a vektorok (és a rajtuk végzett műveletek közül például a skaláris szorzat) általánosíthatók több dimenzióra, a vektoriális szorzatot csak 3 dimenziós térben értelmezzük (7 dimenziós esetben is létezik vektoriális szorzat, ami azonban kevésbé használatos).

Jelölése: a×b vagy [ab] (szóban: a kereszt b)

Értelmezése:

  1. Az eredményvektor nagysága (abszolútértéke, hossza) a két vektor hosszának és a közbezárt szögük szinuszának szorzata (0° ≤ θ ≤ 180°).
  2. Az eredményvektor állása merőleges mind a-ra, mind b-re (az a és b vektorok síkjára).
  3. Az eredményvektor iránya olyan, hogy az a, b és c jobbsodrású vektorrendszert alkot.
(Egy a, b, c vektorrendszert akkor hívunk jobbsodrásúnak, ha a jobb kezünk beállítható úgy, hogy hüvelykujjunk a-val, mutatóujjunk b-vel, középső ujjunk pedig (az előbbi két ujjunkra merőlegesen) c-vel azonos irányba mutat.)
Crossproduct.png

Derékszögű koordináta-rendszerben a c eredményvektor koordinátáit a következőképp kapjuk a és b koordinátáiból:

Vagy rövidebben: , ahol a Levi-Civita-szimbólumot jelenti.
Ha elképzelünk egy paralelogrammát, aminek szomszédos oldalait az a és b vektorok alkotják, akkor a×b nagysága (tehát az eredményvektor hossza) éppen megegyezik a két vektor által kifeszített paralelogramma területével.

Két vektor vektoriális szorzata akkor és csak akkor nullvektor, ha párhuzamos állásúak, hiszen ekkor a bezárt 0° vagy 180°, amiknek szinusza 0. Akkor lesz leghosszabb az eredményvektor, ha derékszögben állnak egymáshoz képest az összeszorzandó vektorok (mert 90° szinusza 1).

Tulajdonságok[szerkesztés]

  • , tehát nem kommutatív (hanem antikommutatív)
  • , tehát az összeadásra disztributív
  • , tehát a hármas vektorszorzat nem asszociatív. De teljesíti a Jacobi-azonosságot: Ez, az előbbi két tulajdonsággal együtt (linearitás és disztributivitás) azt eredményezi, hogy R3 a vektorok közti összeadással és vektoriális szorzással Lie-algebrát képez.

Kifejtési tétel[szerkesztés]

Négyesszorzat:

, ahol módon a vegyes szorzat van jelölve.

Lagrange-azonosság:

(i=1,2,3) vektorok (i=1,2,3) reciprok rendszerét is a vektoriális szorzat segítségével számítjuk ki:

, ahol

Kiszámítása a derékszögű koordináta-rendszerben[szerkesztés]

Előállítása mátrixszorzásként[szerkesztés]

Három dimenzióban két vektor közötti vektoriális szorzást átírhatunk egy 3×3-as antiszimmetrikus mátrix és egy vektor szorzatára a következőképpen:

Determinánsalak[szerkesztés]

, ahol i, j és k az egységvektorok.

A gyakorlatban ezek a módszerek könnyebben megjegyezhetőek és a számolást is egyszerűsítik.

Fizikai alkalmazások[szerkesztés]

A fizika számos területén alkalmazzák, pl.:

B indukciójú mágneses térben v sebességgel mozgó töltésre ható erő:
r erőkarral rendelkező F erő forgatónyomatéka:

Külső hivatkozások[szerkesztés]

Lásd még[szerkesztés]