Vektormező

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Vektormező ábrázolása. Az egyes pontokhoz hozzárendelt értékeket nyilak szemléltetik
A (-y,z,x) háromdimenziós vektormező

A vektoranalízisben és a differenciálgeometriában a vektormező egy olyan függvény, ami egy tér vagy egy térrész pontjaihoz vektort rendel. A fizikában a mezőelméletben fontosak, például egy áramló folyadék részecskéinek sebességét, vagy egy erőtér pontjaiban az adott pontban fellépő erő nagyságát és irányát adja meg, például a mágneses vagy a gravitációs mezőben. Euklideszi téren és sokaságokon is értelmezhető.

Az euklideszi téren[szerkesztés]

Az halmazon értelmezett vektormező egy olyan leképezés, ami minden ponthoz egy vektort rendel, vagyis . Ha k-szor differenciálható, akkor a vektormező -vektormező. A vektormezőket szemléltető ábrákon néhány pontban nyíllal jelölik a vektormező értékét, amely nyíl nagysága és iránya megegyezik a vektormező által az adott pontban felvett vektorral.

Példák[szerkesztés]

  • Középpontos vektormezők: Legyen intervallum, ami tartalmazza a nullát, és gömbhéj. A középpontos vektormező így definiálható a gömbhéjon:
ha .
  • Az téren a gravitációs mező középpontos vektormező.
  • További példákat képez a rotáció, mint differenciáloperátor. Ezek az úgynevezett örvénymezők. Ezeknek a mezőknek van egy vektorpotenciáljuk, ahol is . Erre példák a fürdőkádban a lefolyónál kialakuló örvények, vagy az áramjárta vezető környezetében kialakuló mágneses tér.
  • Gradiensmező, egy skalármező gradiense. Ha a skalármező, akkor gradiense
.

a nabla operátorral:

Ha a vektormező gradiensmező, akkor van skalárpotenciálja. A vektormező skalárpotenciálja . Ekkor a vektormező potenciálos. Gradiensmező a pontforrásból kifelé folyó áramlás, és a ponttöltés körüli elektromos mező.

Felbontási tétel[szerkesztés]

Egy kétszer folytonosan differenciálható vektormező forrásmentes, illetve örvénymentes, ha divergenciája illetve rotációja azonosan nulla. Ha még azt is kikötjük, hogy a vektormező elég gyorsan tart a nullához a végtelenben, akkor teljesül a felbontási tétel: Minden vektormezőt egyértelműen meghatároznak a forrásai és az örvényei, és felbontható forrás- és örvénymentes vektormezők összegére:

Ez megfelel a statikus elektromágneses mező elektromos, illetve mágneses mezőre való felbontásának,[1] ahol is a forrásmentes rész a mágneses, és az örvénymentes rész az elektromos mező. Az is teljesül még, hogy éppen a gradiensmezők örvénymentesek, és éppen az örvénymezők forrásmentesek. Itt    és az ismert, nabla operátorral kifejezhető differenciáloperátorok.

Sokaságokon[szerkesztés]

Jelöljön differenciálható sokaságot. Ekkor a rajta értelmezett vektormezők a TM érintősereg sima metszetei.

Pontosabban, ha a vektormező -leképezés, akkor ahol . Minden -hez egy vektort rendel. A leképezés a természetes vetülete, ahol .

Ez a definíció az euklideszi vektortérbeli vektormezőt általánosítja. Ugyanis és .

A vektormezőktől eltérően a skalármezők a sokaság minden pontjáhopz egy skalár rendelnek.

Alkalmazások[szerkesztés]

A vektor- és az erőtereket a fizikán és a kémián kívül még a technika különböző területein is alkalmazzák: a geodéziában, az elektrotechnikában, a mechanikában, az atomfizikában és az alkalmazott geofizikában.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Siehe u.a. U. Krey, A. Owen, Basic Theoretical Physics - A Concise Overview, Berlin, Springer 2007, ISBN 978-3-540-36804-5 , part II

Források[szerkesztés]

  • Konrad Königsberger: Analysis 2. 5. javított kiadás. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20389-3.
  • R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. 2. Auflage. Springer, Berlin 1988, ISBN 3-540-96790-7.
  • John M. Lee: Introduction to smooth manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer, New York u. a. 2003, ISBN 0-387-95495-3.