Vektormező

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Vektormező ábrázolása. Az egyes pontokhoz hozzárendelt értékeket nyilak szemléltetik
A (-y,z,x) háromdimenziós vektormező

A vektoranalízisben és a differenciálgeometriában a vektormező egy olyan függvény, ami egy tér vagy egy térrész pontjaihoz vektort rendel. A fizikában a mezőelméletben fontosak, például egy áramló folyadék részecskéinek sebességét, vagy egy erőtér pontjaiban az adott pontban fellépő erő nagyságát és irányát adja meg, például a mágneses vagy a gravitációs mezőben. Euklideszi téren és sokaságokon is értelmezhető.

Az euklideszi téren[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az \Omega \subset \mathbb{R}^n halmazon értelmezett v vektormező egy olyan leképezés, ami minden x \in \Omega ponthoz egy v(x) \in \R^n vektort rendel, vagyis v \colon \Omega \rightarrow \R^n. Ha v k-szor differenciálható, akkor a vektormező C^k-vektormező. A vektormezőket szemléltető ábrákon néhány  x \in \Omega pontban nyíllal jelölik a vektormező értékét, amely nyíl nagysága és iránya megegyezik a vektormező által az adott pontban felvett vektorral.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Középpontos vektormezők: Legyen I intervallum, ami tartalmazza a nullát, és K(I) = \{x \in \R^n: \|x\| \in I\} \subset \R^n gömbhéj. A középpontos vektormező így definiálható a gömbhéjon:
 v(x) = a(\|x\|) \cdot x ha a:I \rightarrow \R.
  • Az \R^3 \backslash \{0\} téren a v(x) = -\frac{x}{\|x\|^3} gravitációs mező középpontos vektormező.
  • További példákat képez a rotáció, mint differenciáloperátor. Ezek az úgynevezett örvénymezők. Ezeknek a mezőknek van egy \mathbf A vektorpotenciáljuk, ahol is \mathbf v(\mathbf r)=\mathbf{rot \,\,}\mathbf A. Erre példák a fürdőkádban a lefolyónál kialakuló örvények, vagy az áramjárta vezető környezetében kialakuló mágneses tér.
  • Gradiensmező, egy skalármező gradiense. Ha f \colon \Omega \rightarrow \R a skalármező, akkor gradiense
x \mapsto \operatorname{grad} f(x) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(x), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(x)\right).

a nabla operátorral:

\operatorname{grad} f = \nabla f.

Ha a vektormező gradiensmező, akkor van skalárpotenciálja. A \operatorname{grad} f \colon \Omega \rightarrow \R^n vektormező skalárpotenciálja f \colon \Omega \rightarrow \R . Ekkor a vektormező potenciálos. Gradiensmező a pontforrásból kifelé folyó áramlás, és a ponttöltés körüli elektromos mező.

Felbontási tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy kétszer folytonosan differenciálható \mathbf v(\mathbf r) \mathbb R^3 vektormező forrásmentes, illetve örvénymentes, ha divergenciája illetve rotációja azonosan nulla. Ha még azt is kikötjük, hogy a \mathbf v vektormező elég gyorsan tart a nullához a végtelenben, akkor teljesül a felbontási tétel: Minden \mathbf v(\mathbf r) vektormezőt egyértelműen meghatároznak a forrásai és az örvényei, és felbontható forrás- és örvénymentes vektormezők összegére:

\mathbf v(\mathbf r)\equiv \mathbf{-grad_{\mathbf r}\,\,}  \int_{\mathbb R^3\,}\,d^3\mathbf r'\,\frac{\mathrm{{div'}\,\,}\mathbf v(\mathbf r')}{4\pi|\mathbf r -\mathbf r'|}+ \mathbf{rot_{\mathbf r}\,\,} \int_{\mathbb R^3\,}\,d^3\mathbf r'\,\,\frac{{\mathbf{rot'\,\,}}\mathbf v(\mathbf r')}{4\pi|\mathbf r -\mathbf r'|}\,.

Ez megfelel a statikus elektromágneses mező elektromos, illetve mágneses mezőre való felbontásának,[1] ahol is a forrásmentes rész a mágneses, és az örvénymentes rész az elektromos mező. Az is teljesül még, hogy éppen a gradiensmezők örvénymentesek, és éppen az örvénymezők forrásmentesek. Itt \mathbf{grad\,\,}\phi(\mathbf r):=\nabla\phi\,,   \mathrm{div\,\,}\mathbf v:=\nabla\cdot\mathbf v és \mathbf{rot\,\,}\mathbf v:=\nabla\times \mathbf v az ismert, nabla operátorral kifejezhető differenciáloperátorok.

Sokaságokon[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jelöljön M differenciálható sokaságot. Ekkor a rajta értelmezett vektormezők a TM érintősereg sima metszetei.

Pontosabban, ha a vvektormező C^k-leképezés, akkor  v : M \to TM  ahol  \pi\circ v = \operatorname{id}_M. Minden x \in M -hez egy  v(x) \in T_xM vektort rendel. A \pi leképezés a \pi : TM \rightarrow M természetes vetülete, ahol (p,v) \mapsto p .

Ez a definíció az euklideszi vektortérbeli vektormezőt általánosítja. Ugyanis \R^n \cong T_p\R^n és T \R^n \cong \R^n \times \R^n.

A vektormezőktől eltérően a skalármezők a sokaság minden pontjáhopz egy skalár rendelnek.

Alkalmazások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A vektor- és az erőtereket a fizikán és a kémián kívül még a technika különböző területein is alkalmazzák: a geodéziában, az elektrotechnikában, a mechanikában, az atomfizikában és az alkalmazott geofizikában.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Siehe u.a. U. Krey, A. Owen, Basic Theoretical Physics - A Concise Overview, Berlin, Springer 2007, ISBN 978-3-540-36804-5 , part II

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Konrad Königsberger: Analysis 2. 5. javított kiadás. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20389-3.
  • R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. 2. Auflage. Springer, Berlin 1988, ISBN 3-540-96790-7.
  • John M. Lee: Introduction to smooth manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer, New York u. a. 2003, ISBN 0-387-95495-3.