A Levi-Civita-szimbólumot a fizikai vektor- és tenzorszámításban használják. Jele
; értéke nulla, ha van két egyező index, egy, ha az indexek adott sorrendje páros permutáció, és mínusz egy, ha páratlan. Vagyis azt mutatja, hogy páros vagy páratlan sok csere kell-e az indexek rendezéséhez. A matematikában inkább a permutációk előjeléről beszélnek. A szimbólumot Tullio Levi-Civita (1873−1941) olasz matematikusról nevezték el. Használatos megnevezése még a teljesen antiszimmetrikus egységtenzor.
Az n dimenziós Levi-Civita-szimbólumnak n indexe van, amelyeket általában 1-től n-ig, de néhány alkalmazásban 0-tól n-1-ig számoznak. Így definiálják:
.
- Két index felcserélése az ellentettjére változtatja:
.
- A második tulajdonságból következik, hogy ha két index egyenlő, akkor értéke nulla:
.
Jelben

Egy alternatív definíció ugyanazt a szorzatképletet alkalmazza, amivel a permutációk előjelét definiálják:
.
Jelölje
az 1 és n közötti egész számok halmazát! Ekkor a Levi-Civita-szimbólum értelmezhető egy
függvényként, ahol
, ha π nem bijektív, és
, ha π permutáció.
Kapcsolat a determinánssal[szerkesztés]
Az
-es mátrix determinánsa a következőképpen írható a Levi-Civita-szimbólummal és az Einstein-féle összegkonvencióval:

Általánosabban is teljesül az összefüggés:
.
A helyére az I identitásmátrixot téve
helyére a
Kronecker-delta kerül, így mivel
, kapjuk a Levi-Civita-szimbólum következő ábrázolását:
.
ahol
a szokásos ortonormált bázis
-ben. Ez a mátrix annak a permutációmátrixnak a transzponáltja, ami a
vektort
-be viszi.
Innen a determinánsok szorzástételével
.
A Laplace-féle kifejtési tétellel kapható a következő összefüggés, amely a két tenzor első k indexét kontraktálja:
.
A Levi-Civita-szimbólum ábrázolható a három ortogonális egységvektor vegyes szorzataként:


A két epszilon-tenzor szorzásában újra felhasználjuk a determinánsok szorzástételét, vagyis hogy a szorzat determinánsa megegyezik a tényezők determinánsának szorzatával. Emellett még azt is kihasználjuk, hogy a transzponálás művelete megőrzi a determinánst:

Így a két epszilon-tenzor szorzata felírható Kronecker-delták determinánsaként:

A háromdimenziós esetre adódik:

ahol
.
27 értéke közül csak 6 különbözik nullától:


A háromdimenziós Levi-Civita-szimbólum értékei jobbsodrású koordináta-rendszerben
A Levi-Civita-szimbólumok mátrixa és ...
A Levi-Civita-szimbólum balsodrású koordináta-rendszerben
Ebből látszik a Levi-Civita-szimbólum invarianciája a ciklikus permutációra. Ez az invariancia azonban csak páratlan dimenzióban áll fenn, mivel páros dimenzióban a ciklikus permutáció megváltoztatja az előjelet.
A következő számpélda determinánsként ábrázolja, ami három dimenzióban vegyes szorzatként is kifejezhető:

Három dimenzióban a vektoriális szorzat a Levi-Civita-szimbólum felhasználásával:

Ha
az ortonormált bázis i-edik egységvektora, akkor a fenti egyenlőség az

alakot nyeri.
A vegyes szorzatra
.
ahol a Levi-Civita-szimbólum egy térfogatképlet részévé válik, hiszen a vegyes szorzat nagysága a három vektor által kifeszített paralepidon térfogatával egyenlő.
A Levi-Civita-szimbólum a Kronecker-deltához is kapcsolódik:
.
Innen az Einstein-féle összegkonvencióval
.
Ezek a kapcsolatok segítenek a vektoriális szorzat azonosságainak levezetésében.
Az epszilon-tenzor egy
vektorhoz azt a ferdén szimmetrikus A mátrixot rendeli, amire
. A vektoriális szorzat tehát kifejezhető mátrixszorzatként:

Ez a Hodge-operátor. Fizikai példa a mágneses erővektorhoz rendelt komponensek az elektromágneses mezőtenzorban. Ugyanilyen hozzárendelést kapcsolnak a pszeudovektorokhoz is.
A relativitáselméletben különbséget kell tennünk az epszilon-tenzor ko- és kontravariáns komponensei között. Legyen a következőkben a metrikus tenzor szignatúrája
a négydimenziós Minkowski-térben! Itt az indexeket nullától háromig vesszük fel. A négyszeresen kontravariáns komponens
.[1] A különböző szerzők különféle előjel-konvenciókat alkalmaznak a metrikában és az epszilon-tenzorra. Az indexek szokás szerint együtt mozognak a metrikus tenzorral. Így például a négyszeresen kontravariáns komponensre
.
Az epszilon-tenzor invariáns a
Lorentz-transzformációra:

Ez abból következik, hogy
determinánsa 1. Az epszilon-tenzor felhasználásával a duális elektromágneses térerőtenzor is definiálható:

Ezzel a homogén Maxwell-egyenletek is tömörebben írhatók:

Ha a négydimenziós Minkowski-teret a
-es hermitikus mátrixok vektorterére képezzük le, akkor újra felbukkan az epszilon-tenzor:
. Itt
a Pauli-mátrixok
és
az egységmátrix negatívja. Ennek megfelelő a tenzorok hozzárendelése. A metrikus tenzor két epszilon-tenzor szorzatára képeződik le:
.
Ebben a formalizmusban (Van-der-Waerden-notáció) az egy indexes mennyiségek
spinorok, és az epszilon-tenzor ugyanazt a szerepet kapja a ko- és kontravariáns komponensek átszámításában, mint az
metrikus tenzor a közönséges Minkowski-térben:
.
A metrika szignatúrájának rendszerint a (-1,1,1,1) vektort választják. Az epszilon-tenzorra az itt szokásos választás:
.[2]
A kvantummechanikában a Levi-Civita-szimbólumot a forgatóimpulzus-algebra megformálására használják. Matematikai fogalmakkal a szimbólum megegyezik az
Lie-algebrák struktúrakonstansaival. A következő példa illusztrálja a Levi-Civita-szimbólum használatát ebben az összefüggésben. Az
Lie-algebra az
-as ferdén szimmetrikus mátrixok részalgebrájának tekinthető, vagyis ábrázolható
-as valós mátrixokkal. Az
Lie-algebrát generálják a
,
mátrixok, amikben az értékek
. Ekkor
a generátorok kommutátorai.
- ↑ John David Jackson: Classical Electrodynamics. (angolul) 3. (hely nélkül): John Wiley & Sons, Inc. 1999. ISBN 0-471-30932-X
- ↑ Julius Wess – Jonathan Bagger: Supersymmetry and Supergravity. (angolul) (hely nélkül): Princeton University Press. 1983.