Levi-Civita-szimbólum

A Levi-Civita-szimbólumot a fizikai vektor- és tenzorszámításban használják. Jele $\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}$; értéke nulla, ha van két egyező index, egy, ha az indexek adott sorrendje páros permutáció, és mínusz egy, ha páratlan. Vagyis azt mutatja, hogy páros vagy páratlan sok csere kell-e az indexek rendezéséhez. A matematikában inkább a permutációk előjeléről beszélnek. A szimbólumot Tullio Levi-Civita (1873−1941) olasz matematikusról nevezték el. Használatos megnevezése még a teljesen antiszimmetrikus egységtenzor.

Definíció

Az n dimenziós Levi-Civita-szimbólumnak n indexe van, amelyeket általában 1-től n-ig, de néhány alkalmazásban 0-tól n-1-ig számoznak. Így definiálják:

• $\varepsilon _{12\dots n}=1$.
• Két index felcserélése az ellentettjére változtatja: $\varepsilon _{ij\dots u\dots v\dots }=-\varepsilon _{ij\dots v\dots u\dots }$.
• A második tulajdonságból következik, hogy ha két index egyenlő, akkor értéke nulla: $\varepsilon _{ij\dots u\dots u\dots }=0$.

Jelben

$\varepsilon _{ijk\dots }={\begin{cases}+1,&{\mbox{ha }}(i,j,k,\dots ){\mbox{ az }}(1,2,3,\dots ){\mbox{ páros permutációja }}\\-1,&{\mbox{ha }}(i,j,k,\dots ){\mbox{ az }}(1,2,3,\dots ){\mbox{ páratlan permutációja }}\\0,&{\mbox{ha két index megegyezik.}}\end{cases}}$

Egy alternatív definíció ugyanazt a szorzatképletet alkalmazza, amivel a permutációk előjelét definiálják:

$\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}=\prod _{1\leq p<q\leq n}{\frac {i_{p}-i_{q}}{p-q}}$.

Jelölje $N=\{1,\dots ,n\}$ az 1 és n közötti egész számok halmazát! Ekkor a Levi-Civita-szimbólum értelmezhető egy $\varepsilon :\{\pi |\pi :N\rightarrow N\}\rightarrow \{-1,0,+1\}\subset \mathbb {R}$ függvényként, ahol $\varepsilon (\pi )=0$, ha π nem bijektív, és $\varepsilon (\pi )=\operatorname {sgn}(\pi )$, ha π permutáció.

Kapcsolat a determinánssal

Az $A=\left(A_{ij}\right)$ $n\times n$-es mátrix determinánsa a következőképpen írható a Levi-Civita-szimbólummal és az Einstein-féle összegkonvencióval:

$\det A=\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}A_{1i_{1}}A_{2i_{2}}\dots A_{ni_{n}}\;.$

Általánosabban is teljesül az összefüggés:

$\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}A_{j_{1}i_{1}}\dots A_{j_{n}i_{n}}=\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\det A$.

A helyére az I identitásmátrixot téve $A_{ij}$ helyére a $\delta _{ij}$ Kronecker-delta kerül, így mivel $\det I=1$, kapjuk a Levi-Civita-szimbólum következő ábrázolását:

$\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}=\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}\delta _{j_{1}i_{1}}\dots \delta _{j_{n}i_{n}}={\begin{vmatrix}\delta _{1i_{1}}&\dots &\delta _{1i_{n}}\\\vdots &&\vdots \\\delta _{ni_{1}}&\dots &\delta _{ni_{n}}\end{vmatrix}}=\det(e_{i_{1}}\dots e_{i_{n}})$.

ahol $\{e_{1},\dots ,e_{n}\}$ a szokásos ortonormált bázis $\mathbb {R} ^{n}$-ben. Ez a mátrix annak a permutációmátrixnak a transzponáltja, ami a ${\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\end{pmatrix}}^{T}$ vektort ${\begin{pmatrix}x_{i_{1}}&x_{i_{2}}&\dots &x_{i_{n}}\end{pmatrix}}^{T}$-be viszi.

Innen a determinánsok szorzástételével

$\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}=\det \left((e_{i_{1}}\dots e_{i_{n}})^{T}\cdot (e_{j_{1}}\dots e_{j_{n}})\right)={\begin{vmatrix}\delta _{i_{1}j_{1}}&\dots &\delta _{i_{1}j_{n}}\\\vdots &&\vdots \\\delta _{i_{n}j_{1}}&\dots &\delta _{i_{n}j_{n}}\end{vmatrix}}$.

A Laplace-féle kifejtési tétellel kapható a következő összefüggés, amely a két tenzor első k indexét kontraktálja:

$\varepsilon _{i_{1}\dots i_{k}i_{k+1}\ldots i_{n}}\varepsilon _{i_{1}\dots i_{k}j_{k+1}\ldots j_{n}}=k!{\begin{vmatrix}\delta _{i_{k+1}j_{k+1}}&\dots &\delta _{i_{k+1}j_{n}}\\\vdots &&\vdots \\\delta _{i_{n}j_{k+1}}&\dots &\delta _{i_{n}j_{n}}\end{vmatrix}}$.

Három dimenzióban

A Levi-Civita-szimbólum ábrázolható a három ortogonális egységvektor vegyes szorzataként:

$\varepsilon _{ijk}={\hat {e}}_{i}\cdot ({\hat {e}}_{j}\times {\hat {e}}_{k})=\det \left({\begin{array}{ccc}-&{\hat {e}}_{i}&-\\-&{\hat {e}}_{j}&-\\-&{\hat {e}}_{k}&-\end{array}}\right)=:\det A$

$\varepsilon _{lmn}={\hat {e}}_{l}\cdot ({\hat {e}}_{m}\times {\hat {e}}_{n})=\det \left({\begin{array}{ccc}-&{\hat {e}}_{l}&-\\-&{\hat {e}}_{m}&-\\-&{\hat {e}}_{n}&-\end{array}}\right)=:\det B$

A két epszilon-tenzor szorzásában újra felhasználjuk a determinánsok szorzástételét, vagyis hogy a szorzat determinánsa megegyezik a tényezők determinánsának szorzatával. Emellett még azt is kihasználjuk, hogy a transzponálás művelete megőrzi a determinánst:

${\begin{aligned}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}&=\det A\,\det B=\det A\,\det B^{t}=\det(A\cdot B^{t})\\&=\left|\left({\begin{array}{ccc}-&{\hat {e}}_{i}&-\\-&{\hat {e}}_{j}&-\\-&{\hat {e}}_{k}&-\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{ccc}\mid &\mid &\mid \\{\hat {e}}_{l}&{\hat {e}}_{m}&{\hat {e}}_{n}\\\mid &\mid &\mid \end{array}}\right)\right|=\left|{\begin{array}{ccc}{\hat {e}}_{i}\cdot {\hat {e}}_{l}&{\hat {e}}_{i}\cdot {\hat {e}}_{m}&{\hat {e}}_{i}\cdot {\hat {e}}_{n}\\{\hat {e}}_{j}\cdot {\hat {e}}_{l}&{\hat {e}}_{j}\cdot {\hat {e}}_{m}&{\hat {e}}_{j}\cdot {\hat {e}}_{n}\\{\hat {e}}_{k}\cdot {\hat {e}}_{l}&{\hat {e}}_{k}\cdot {\hat {e}}_{m}&{\hat {e}}_{k}\cdot {\hat {e}}_{n}\end{array}}\right|\end{aligned}}$

Így a két epszilon-tenzor szorzata felírható Kronecker-delták determinánsaként:

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}=\left|{\begin{array}{ccc}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\end{array}}\right|$

Alkalmazásai

Vektorszámítás

A háromdimenziós esetre adódik:

$\varepsilon _{ijk}={\frac {i-j}{1-2}}\cdot {\frac {i-k}{1-3}}\cdot {\frac {j-k}{2-3}}=-{\frac {1}{2}}(j-i)(k-j)(i-k)\equiv (j-i)(k-j)(i-k)\mod 3$

ahol $i,j,k\in \lbrace 1,2,3\rbrace$.

$\varepsilon _{ijk}$ 27 értéke közül csak 6 különbözik nullától:

$\varepsilon _{123}=\varepsilon _{312}=\varepsilon _{231}=1,$

$\varepsilon _{321}=\varepsilon _{213}=\varepsilon _{132}=-1.$

A háromdimenziós Levi-Civita-szimbólum értékei jobbsodrású koordináta-rendszerben

A Levi-Civita-szimbólumok mátrixa és ...

A Levi-Civita-szimbólum balsodrású koordináta-rendszerben

Ebből látszik a Levi-Civita-szimbólum invarianciája a ciklikus permutációra. Ez az invariancia azonban csak páratlan dimenzióban áll fenn, mivel páros dimenzióban a ciklikus permutáció megváltoztatja az előjelet.

A következő számpélda determinánsként ábrázolja, ami három dimenzióban vegyes szorzatként is kifejezhető:

${\begin{aligned}\varepsilon _{123}&={\vec {e_{1}}}\cdot ({\vec {e_{2}}}\times {\vec {e_{3}}})\\&={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\cdot \left({\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}=1\end{aligned}}$

Három dimenzióban a vektoriális szorzat a Levi-Civita-szimbólum felhasználásával:

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})_{i}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\;.$

Ha ${\vec {e_{i}}}$ az ortonormált bázis i-edik egységvektora, akkor a fenti egyenlőség az

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}{\vec {e_{i}}}=\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}{\vec {e_{k}}}$

alakot nyeri.

A vegyes szorzatra

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}=\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}c_{k}$.

ahol a Levi-Civita-szimbólum egy térfogatképlet részévé válik, hiszen a vegyes szorzat nagysága a három vektor által kifeszített paralepidon térfogatával egyenlő.

A Levi-Civita-szimbólum a Kronecker-deltához is kapcsolódik:

${\begin{aligned}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}&={\begin{vmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\end{vmatrix}}\\&=\delta _{il}\delta _{jm}\delta _{kn}+\delta _{im}\delta _{jn}\delta _{kl}+\delta _{in}\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{im}\delta _{jl}\delta _{kn}-\delta _{il}\delta _{jn}\delta _{km}-\delta _{in}\delta _{jm}\delta _{kl}\end{aligned}}$.

Innen az Einstein-féle összegkonvencióval

${\begin{aligned}\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}&={\begin{vmatrix}\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{km}&\delta _{kn}\end{vmatrix}}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}\\\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{ijn}&=2\delta _{kn}\\\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{ijk}&=3!=6\end{aligned}}$.

Ezek a kapcsolatok segítenek a vektoriális szorzat azonosságainak levezetésében.

Az epszilon-tenzor egy ${\vec {a}}$ vektorhoz azt a ferdén szimmetrikus A mátrixot rendeli, amire $A_{ij}=\varepsilon _{ijk}a_{k}$. A vektoriális szorzat tehát kifejezhető mátrixszorzatként:

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=A\cdot {\vec {b}}$

Ez a Hodge-operátor. Fizikai példa a mágneses erővektorhoz rendelt komponensek az elektromágneses mezőtenzorban. Ugyanilyen hozzárendelést kapcsolnak a pszeudovektorokhoz is.

Relativitáselmélet

A relativitáselméletben különbséget kell tennünk az epszilon-tenzor ko- és kontravariáns komponensei között. Legyen a következőkben a metrikus tenzor szignatúrája $\,\eta _{ij}=(1,-1,-1,-1)$ a négydimenziós Minkowski-térben! Itt az indexeket nullától háromig vesszük fel. A négyszeresen kontravariáns komponens $\varepsilon ^{0123}=1$. A különböző szerzők különféle előjel-konvenciókat alkalmaznak a metrikában és az epszilon-tenzorra. Az indexek szokás szerint együtt mozognak a metrikus tenzorral. Így például a négyszeresen kontravariáns komponensre

$\varepsilon _{0123}=\eta _{0\mu }\eta _{1\nu }\eta _{2\varrho }\eta _{3\sigma }\varepsilon ^{\mu \nu \varrho \sigma }=\det(\eta )=-1$.

Az epszilon-tenzor invariáns a $\Lambda$ Lorentz-transzformációra:

$\varepsilon ^{\prime \mu \nu \varrho \sigma }=\Lambda _{\ \mu ^{\prime }}^{\mu }\Lambda _{\ \nu ^{\prime }}^{\nu }\Lambda _{\ \varrho ^{\prime }}^{\varrho }\Lambda _{\ \sigma ^{\prime }}^{\sigma }\varepsilon ^{\mu ^{\prime }\nu ^{\prime }\varrho ^{\prime }\sigma ^{\prime }}=\varepsilon ^{\mu \nu \varrho \sigma }$

Ez abból következik, hogy $\Lambda$ determinánsa 1. Az epszilon-tenzor felhasználásával a duális elektromágneses térerőtenzor is definiálható:

${\tilde {F}}^{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}\varepsilon ^{\mu \nu \varrho \sigma }F_{\varrho \sigma }$

Ezzel a homogén Maxwell-egyenletek is tömörebben írhatók:

$\partial _{\mu }{\tilde {F}}^{\mu \nu }=0$

Ha a négydimenziós Minkowski-teret a $2\times 2$-es hermitikus mátrixok vektorterére képezzük le, akkor újra felbukkan az epszilon-tenzor:

$v_{\alpha {\dot {\alpha }}}=\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{m}v_{m}$. Itt $\,\sigma ^{m}$ a Pauli-mátrixok $\,m=1,2,3$ és $\,\sigma _{0}=-E_{2}$ az egységmátrix negatívja. Ennek megfelelő a tenzorok hozzárendelése. A metrikus tenzor két epszilon-tenzor szorzatára képeződik le:

$\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{m}\sigma _{\beta {\dot {\beta }}}^{n}\eta _{mn}=-2\varepsilon _{\alpha \beta }\varepsilon _{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}$.

Ebben a formalizmusban (Van-der-Waerden-notáció) az egy indexes mennyiségek $\,\psi ^{\alpha }$ spinorok, és az epszilon-tenzor ugyanazt a szerepet kapja a ko- és kontravariáns komponensek átszámításában, mint az $\,\eta _{mn}$ metrikus tenzor a közönséges Minkowski-térben:

$\psi _{\alpha }=\varepsilon _{\alpha \beta }\psi ^{\beta }$.

A metrika szignatúrájának rendszerint a (-1,1,1,1) vektort választják. Az epszilon-tenzorra az itt szokásos választás: $\varepsilon ^{12}=\varepsilon _{21}=1$.

Kvantummechanika

A kvantummechanikában a Levi-Civita-szimbólumot a forgatóimpulzus-algebra megformálására használják. Matematikai fogalmakkal a szimbólum megegyezik az ${so}(3,\mathbb {R} )\cong {su}(2,\mathbb {C} )$ Lie-algebrák struktúrakonstansaival. A következő példa illusztrálja a Levi-Civita-szimbólum használatát ebben az összefüggésben. Az ${so}(3,\mathbb {R} )$ Lie-algebra az $\mathbb {R} ^{3\times 3}$-as ferdén szimmetrikus mátrixok részalgebrájának tekinthető, vagyis ábrázolható $3\times 3$-as valós mátrixokkal. Az ${so}(3,\mathbb {R} )$ Lie-algebrát generálják a $T_{i}\in \mathbb {R} ^{3\times 3}$, $i=1,2,3$ mátrixok, amikben az értékek $(T_{i})_{jk}=-\varepsilon _{ijk}$. Ekkor $[T_{i},T_{j}]=\varepsilon _{ijk}T_{k}$ a generátorok kommutátorai.