Levi-Civita-szimbólum

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Levi-Civita-szimbólumot a fizikai vektor- és tenzorszámításban használják. Jele ; értéke nulla, ha van két egyező index, egy, ha az indexek adott sorrendje páros permutáció, és mínusz egy, ha páratlan. Vagyis azt mutatja, hogy páros vagy páratlan sok csere kell-e az indexek rendezéséhez. A matematikában inkább a permutációk előjeléről beszélnek. A szimbólumot Tullio Levi-Civita (1873−1941) olasz matematikusról nevezték el. Használatos megnevezése még, a teljesen antiszimmetrikus egységtenzor.

Definíció[szerkesztés]

Az n dimenziós Levi-Civita-szimbólumnak n indexe van, amelyeket általában 1-től n-ig, de néhány alkalmazásban 0-tól n-1-ig számoznak. Így definiálják:

  • .
  • Két index felcserélése az ellentettjére változtatja: .
  • A második tulajdonságból következik, hogy ha két index egyenlő, akkor értéke nulla: .

Jelben

Egy alternatív definíció ugyanazt a szorzatképletet alkalmazza, amivel a permutációk előjelét definiálják:

.

Jelölje az 1 és n közötti egész számok halmazát! Ekkor a Levi-Civita-szimbólum értelmezhető egy függvényként, ahol , ha π nem bijektív, és , ha π permutáció.

Kapcsolat a determinánssal[szerkesztés]

Az -es mátrix determinánsa a következőképpen írható a Levi-Civita-szimbólummal és az Einstein-féle összegkonvencióval:

Általánosabban is teljesül az összefüggés:

.

A helyére az I identitásmátrixot téve helyére a Kronecker-delta kerül, így mivel , kapjuk a Levi-Civita-szimbólum következő ábrázolását:

.

ahol a szokásos ortonormált bázis -ben. Ez a mátrix annak a permutációmátrixnak a transzponáltja, ami a vektort -be viszi.

Innen a determinánsok szorzástételével

.

A Laplace-féle kifejtési tétellel kapható a következő összefüggés, amely a két tenzor első k indexét kontraktálja:

.

Három dimenzióban[szerkesztés]

A Levi-Civita-szimbólum ábrázolható a három ortogonális egységvektor vegyes szorzataként:

A két epszilon-tenzor szorzásában újra felhasználjuk a determinánsok szorzástételét, vagyis hogy a szorzat determinánsa megegyezik a tényezők determinánsának szorzatával. Emellett még azt is kihasználjuk, hogy a transzponálás művelete megőrzi a determinánst:

Így a két epszilon-tenzor szorzata felírható Kronecker-delták determinánsaként:

Alkalmazásai[szerkesztés]

Vektorszámítás[szerkesztés]

A háromdimenziós esetre adódik:

ahol .

27 értéke közül csak 6 különbözik nullától:

A háromdimenziós Levi-Civita-szimbólum értékei jobbsodrású koordináta-rendszerben
A Levi-Civita-szimbólumok mátrixa és ...
A Levi-Civita-szimbólum balsodrású koordináta-rendszerben

Ebből látszik a Levi-Civita-szimbólum invarianciája a ciklikus permutációra. Ez az invariancia azonban csak páratlan dimenzióban áll fenn, mivel páros dimenzióban a ciklikus permutáció megváltoztatja az előjelet.

A következő számpélda determinánsként ábrázolja, ami három dimenzióban vegyes szorzatként is kifejezhető:

Három dimenzióban a vektoriális szorzat a Levi-Civita-szimbólum felhasználásával:

Ha az ortonormált bázis i-edik egységvektora, akkor a fenti egyenlőség az

alakot nyeri.

A vegyes szorzatra

.

ahol a Levi-Civita-szimbólum egy térfogatképlet részévé válik, hiszen a vegyes szorzat nagysága a három vektor által kifeszített paralepidon térfogatával egyenlő.

A Levi-Civita-szimbólum a Kronecker-deltához is kapcsolódik:

.

Innen az Einstein-féle összegkonvencióval

.

Ezek a kapcsolatok segítenek a vektoriális szorzat azonosságainak levezetésében.

Az epszilon-tenzor egy vektorhoz azt a ferdén szimmetrikus A mátrixot rendeli, amire . A vektpriális szorzat tehát kifejezhető mátrixszorzatként:

Ez a Hodge-operátor. Fizikai példa a mágneses erővektorhoz rendelt komponensek az elektromágneses mezőtenzorban. Ugyanilyen hozzárendelést kapcsolnak a pszeudovektorokhoz is.

Relativitáselmélet[szerkesztés]

A relativitáselméletben különbséget kell tennünk az epszilon-tenzor ko- és kontravariáns komponensei között. Legyen a következőkben a metrikus tenzor szignatúrája a négydimenziós Minkowski-térben! Itt az indexeket nullától háromig vesszük fel. A négyszeresen kontravariáns komponens .[1] A különböző szerzők különféle előjel-konvenciókat alkalmaznak a metrikában és az epszilon-tenzorra. Az indexek szokás szerint együtt mozognak a metrikus tenzorral. Így például a négyszeresen kontravariáns komponensre

.

Az epszilon-tenzor invariáns a Lorentz-transzformációra:

Ez abból következik, hogy determinánsa 1. Az epszilon-tenzor felhasználásával a duális elektromágneses térerőtenzor is definiálható:

Ezzel a homogén Maxwell-egyenletek is tömörebben írhatók:

Ha a négydimenziós Minkowski-teret a -es hermitikus mátrixok vektorterére képezzük le, akkor újra felbukkan az epszilon-tenzor:

. Itt a Pauli-mátrixok és az egységmátrix negatívja. Ennek megfelelő a tenzorok hozzárendelése. A metrikus tenzor két epszilon-tenzor szorzatára képeződik le:
.

Ebben a formalizmusban (Van-der-Waerden-notáció) az egy indexes mennyiségek spinorok, és az epszilon-tenzor ugyanazt a szerepet kapja a ko- és kontravariáns komponensek átszámításában, mint az metrikus tenzor a közönséges Minkowski-térben:

.

A metrika szignatúrájának rendszerint a (-1,1,1,1) vektort választják. Az epszilon-tenzorra az itt szokásos választás: .[2]

Kvantummechanika[szerkesztés]

A kvantummechanikában a Levi-Civita-szimbólumot a forgatóimpulzus-algebra megformálására használják. Matematikai fogalmakkal a szimbólum megegyezik az Lie-algebrák struktúrakonstansaival. A következő példa illusztrálja a Levi-Civita-szimbólum használatát ebben az összefüggésben. Az Lie-algebra az -as ferdén szimmetrikus mátrixok részalgebrájának tekinthető, vagyis ábrázolható -as valós mátrixokkal. Az Lie-algebrát generálják a , mátrixok, amikben az értékek . Ekkor a generátorok kommutátorai.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. John David Jackson: Classical Electrodynamics. 3. kiadás. John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-30932-X.
  2. Julius Wess, Jonathan Bagger: Supersymmetry and Supergravity. Princeton University Press, 1983.