Egységmátrix

A lineáris algebrában az egységmátrix (vagy n-edrendű egységmátrix) olyan $n\times n$-es négyzetes mátrix, melynek főátlójában csupa 1-esek, a többi helyen 0-k szerepelnek (az n pedig egy tetszőleges pozitív egész számot jelöl). Az egységmátrixot gyakran $I_{n}$-nel, $E_{n}$-nel vagy ha n adott, akkor I-vel vagy E-vel jelölik. (Néhány területen, például a kvantummechanikában megvastagított 1-gyel is jelölik 1).

$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}},\ \cdots$

Definiáló tulajdonság

Ha T test és $M_{n}(T)$ a T feletti $n\times n$-es mátrixok algebrája, akkor egyetlen olyan $I_{n}\in M_{n}(T)$ mátrix van, melyre teljesül, hogy minden $A\in M_{n}(T)$-re:

$I_{n}A=AI_{n}=A\,$

és ahol az I főátlójában T egységeleme (1), a többi helyen pedig T zéruseleme (0) áll, és ez az n-edrendű egységmátrix.

Másként szólva ez azt jelenti, hogy $I_{n}$ az '$n\times n$-es mátrixok multiplikatív (a mátrixszorzás műveletével képzett) csoportjának, azaz a $\mathop {\mathrm {GL} } (n,T)$ általános lineáris csoportnak egységeleme, illetve hogy az $M_{n}(T)$ algebra egységelemes.

Ugyanis világos, hogy a diagonális, a főátlójában csupa egyest tartalmazó mátrix rendelkezik a fenti tulajdonsággal, másrészt ha lenne két ilyen tulajdonságú mátrix, mondjuk $I$ és $I$*, akkor az $I$ = $I$ $\cdot$ $I$* = $I$* $\cdot$ $I$* = $I$* egyenlőség miatt ezek egyenlők lennének. Az egyetlen ilyen tulajdonságú mátrix tehát az egységmátrix.

Általában egy T test feletti bármilyen dimenziójú mátrixok halmazában (melyben az összeadás és a szorzás csak parciálisan értelmezett, hisz csak a megfelelő alakú mátrixokkal végezhetők el) igaz az egységmátrixokra, hogy

$I_{m}A=AI_{n}=A\,$

és

$BI_{m}=I_{n}B=B\,$

minden A-val jelölt $m\times n$-es és B-vel jelölt $n\times m$-es mátrixra.

További tulajdonságok

Minden n-re:

• $I_{n}=I_{n}^{2}=I_{n}^{3}=I_{n}^{4}=\dots$
• rangja n
• minden λ∈T-re $\lambda \cdot I_{n}={\begin{bmatrix}\lambda &0&\cdots &0\\0&\lambda &\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda \end{bmatrix}}$
• $I_{n}$ determinánsa egy, azaz $\mathrm {det} (I_{n})=1$ (hiszen nem növel térfogatot)
• $I_{n}$ invertálható, inverze önmaga: $I_{n}^{-1}=I_{n}$
• az egyetlen olyan idempotens mátrix, melynek determinánsa nem 0
• egyetlen sajátértéke az 1 és minden vektor ezzel a számmal sajátvektora
• minden bázisban $[I]=\mathrm {diag} (1,1,...,1_{(n)})$ a diagonalizációja (azaz önmaga)
• ebből következik, hogy a nyoma n, azaz $\mathrm {trace} (I_{n})=n$
• $\mathrm {e} ^{I_{n}}=\mathrm {e} \cdot I_{n}$

Ez utóbbi azért van, mert tetszőleges kvadratikus A mátrixot formálisan behelyettesítve az exponenciális függvény Taylor-sorába:

$\mathrm {e} ^{A}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}A^{k}=I+A+{\frac {1}{2!}}A^{2}+{\frac {1}{3!}}A^{3}+\cdots \,,$

így az $A=I_{n}$ esetben a sorfejés jobb oldalának főátlójában a $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}$ sorösszeg van, ami e-vel egyenlő, míg a főátlón kívüli elemekre a jobb oldal 0-t ad.

Mint lineáris leképezés

Ha V a T test feletti n-dimenziós vektortér, akkor a V egy B bázisára vonatkozóan felírható tetszőleges lineáris leképezés mátrixa. Ebből a szempontból az $I_{n}$ egységmátrix az $x\mapsto x$ identitásleképezés mátrixa akármelyik bázisban:

$[I]_{B}=[I]_{C}=I_{n}\,$

ha B és C a V tetszőleges bázisa.

Világos, hogy a lineáris leképezések terében az identitásleképezéssel való kompozíció és az egységmátrixszal való szorzás is azonosítható.

Kronecker-szimbólum

Az $n\times n$-es mátrixok nem mások, mint az $(i,j)$ alakú párokon értelmezett T-be képező függvények, ahol $1\leq i,j\leq n$. Ebben az értelemben az egységmátrix azonos a Kronecker-féle δ függvénnyel, melyre:

$\delta _{ij}={\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{cases}}$

és így

$(I_{n})_{ij}=\delta _{ij}\,$

minden $1\leq i,j\leq n$-re.

Egységgyökök

Egy $n\times n$-es A mátrixot k-adik egységgyöknek nevezünk, ha az A mátrix k-adik hatványa az n-edrendű egységmátrix: $(A_{ij})^{k}=I$. Például a $2\times 2$-es egységnégyzetgyökök:

${\begin{pmatrix}\pm d&{\frac {1-d^{2}}{c}}\\c&\mp d\end{pmatrix}}$ ill. ${\begin{pmatrix}\pm d&c\\{\frac {1-d^{2}}{c}}&\mp d\end{pmatrix}}$

Források

• Identity Matrix. MathWorld
• Identity Matrix. PlanetMath