Egységmátrix

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A lineáris algebrában az egységmátrix (vagy n-edrendű egységmátrix) olyan n × n-es négyzetes mátrix, melynek főátlójában csupa 1-esek, a többi helyen 0-k szerepelnek. Az egységmátrixot gyakran In-nel, En-nel vagy ha n adott, akkor I-vel vagy E-vel jelölik. (Néhány területen, például a kvantummechanikában megvastagított 1-gyel is jelölik 1).

Definiáló tulajdonság[szerkesztés]

Ha T test és Mn(T) a T feletti n × n-es mátrixok algebrája, akkor egyetlen olyan Mn(T) mátrix van, melyre teljesül, hogy minden AMn(T)-re:

és ez az n-edrendű egységmátrix.

Ugyanis világos, hogy a diagonális, a főátlójában csupa egyest tartalmazó mátrix rendelkezik a fenti tulajdonsággal, továbbá ha lenne két ilyen, mondjuk és *, akkor az = * = * * = * egyenlőség miatt ezek egyenlők lennének. Az egyetlen ilyen tulajdonságú mátrix tehát az egységmátrix.

Ez azt is jelenti, hogy az n × n-es mátrixok multiplikatív csoportjának (a GL(n,T) csoportnak) egységeleme, illetve hogy az Mn(T) algebra egységelemes.

Általában, a T test feletti bármilyen mátrixon halmazában (melyben az összeadás és a szorzás csak parciálisan értelmezett, hisz csak a megfelelő alakú mátrixokkal végezhetők el) igaz az egységmátrixokra, hogy

és

minden A -val jelölt m × n-es és B -val jelölt n × m-es mátrixra.

Mint lineáris leképezés[szerkesztés]

Ha V a T test feletti n dimenziós vektortér, akkor a V egy B bázisára vonatkozóan felírható tetszőleges lineáris leképezés mátrixa. Ebből a szempontból az In egységmátrix az x x identitás leképezés mátrixa akármelyik bázisban:

ha B és C a V tetszőleges bázisa.

Világos, hogy az identitás leképezés és az egységmátrixszal való szorzás azonosítható, így

  • (hiszen nem növel térfogatot),
  • egyetlen sajátértéke az 1 és minden vektor ezzel a számmal sajátvektora,
  • minden bázisban a diagonalizációja (azaz önmaga),
  • amiből a nyoma:

Ez utóbbi azért van, mert tetszőleges kvadratikus A mátrixra:

így az A = esetben a sorfejés jobb oldalának főátlójában a

sorösszeg van, ami e, míg a főátlón kívüli elemekre a jobb oldal 0-t ad.

Kronecker-szimbólum[szerkesztés]

Az n×n-es mátrixok nem mások, mint az (i,j) alakú párokon értelmezett T-be képező függvények, ahol 1 ≤ i, jn. Ebben az értelemben az egységmátrix azonos a Kronecker-féle δ függvénnyel, melyre:

és így

minden 1 ≤ i, jn-re.

Egységgyökök[szerkesztés]

Egy n × n-es A mátrixot k-adik egységgyöknek nevezünk, ha az A mátrix k-adik hatványa az n-edrendű egységmátrix. Például a 2 × 2-es egységnégyzetgyökök:

ill.

Források[szerkesztés]