Permutáló mátrix

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A hat darab 3×3-as permutáló mátrix „szorzótáblája”. A kis 3×3-as négyzetecskék jelképezik az egyes mátrixokat, a pirosra színezett cellák az 1 értékű, míg az üresen hagyottak a 0 értékű cellákat. A középen lévő táblázat elemei a sorok és oszlopok fejlécében lévő mátrixok e sorrendben vett szorzatai

Egy n×n-es mátrixot permutáló mátrixnak („átrendező mátrixnak”) nevezünk, ha minden sorában és minden oszlopában egy és csak egy cellában 1-es áll, a többi elem a sorokban, illetve oszlopokban nulla.

Egy másik (genetikusabb szemléletű) definíció szerint, n×n-es permutáló mátrix minden olyan mátrix, mely úgy adódik, hogy az n×n-es egységmátrix sorainak vagy oszlopainak sorrendjét megváltoztatjuk.

A permutáló mátrixok nevüket onnan kapták, hogy a velük való szorzás eredményeképp az n×n-es mátrixok sorai (ha a permutáló mátrixszal balról szorzunk), illetve oszlopai átrendeződnek, azaz az eredménymátrix a permutáló mátrixszal szorzott mátrix két vagy több sorának, illetve oszlopának felcserélésével áll elő, de a sorok, illetve oszlopok (például elemeik) más tekintetben nem változnak meg.

Példák[szerkesztés]

Példa 2×2-es, 3×3-as és 4×4-es permutáló mátrixra:

       

Az A sor-főindexei f(1) = 2, f(2) = 1. A B sor-főindexei f(1) = 2, f(2) = 1, f(3) = 3. A mátrixok véletlenül szimmetrikusak a főátlóra, ezért az oszlopindexek ugyanazok, mint a sorindexek: g(1) = 2, g(2) = 1; illetve g(1) = 2, g(2) = 1, g(3) = 3. A W sor-főindexei rendre 2,3,1,4; míg oszlop-főindexei rendre 3,1,2,4.

Nevezetes példa permutáló mátrixra az n×n-es En egységmátrix:

Főindex[szerkesztés]

A fentiek szerint egy P permutáló mátrix minden i sorindexhez létezik egy f(i) oszlopindex, amelyre pi,f(i) = 1, míg a j∈Nn, j≠f(i) oszlopindexekre pi,j=0. Az f(i) oszlopindexet a mátrix i-edik sorának főindexének, avagy sor-főindexének nevezzük, a pi,f(i) = 1 elemet pedig a mátrix i-edik sora főelemének, vagy sor-főelemének.

Hasonló igaz az oszlopokra is, minden j oszlopindexhez létezik egy g(j) sorindex, amelyre pg(j),j = 1, míg az i∈Nn, i≠g(j) sorindexekre pi,j = 0. A g(i) oszlopindexet a mátrix i-edik oszlopának főindexének, avagy oszlop-főindexének nevezzük, a pg(j),j = 1 elemet pedig a mátrix j-edik oszlopa oszlop-főelemének.

Ha több permutáló mátrix főindexeiről beszélünk, akkor alsó indexben feltüntetjük a mátrixok betűjelét, például az A permutáló mátrix i-edik (sor-)főindexe fA(i).

A permutáló mátrix átrendezi az elemeket[szerkesztés]

A permutáló mátrixokkal való szorzás felcseréli a vektorok elemeit, azok sorrendjét megváltoztatja. Egy X mátrix P permutáló mátrixszal való szorzása balról a szorzott mátrix (X) sorait rendezi át, mégpedig úgy, hogy a PX szorzatmátrix i-edik sora az eredeti szorzandó mátrix (X) f(i)-edik sora lesz, ahol f(i) a permutáló mátrix i-edik sorának főindexe. Egy X mátrix P permutáló mátrixszal való szorzása jobbról a szorzott mátrix (X) oszlopait rendezi át, mégpedig úgy, hogy az XP szorzatmátrix j-edik oszlopa az eredeti szorzandó mátrix (X) g(j)-edik oszlopa lesz, ahol g(j) a permutáló mátrix j-edik oszlop-főindexe.

Illusztráció:



illetve



Továbbá, legyen . Ekkor


Bizonyítás:

  1. A balról szorzásra (sorok átrendezésére) vonatkozó állítást bizonyítjuk.
    1. Legyen A tetszőleges n×n-es permutáló mátrix, melynek főindexalakja , legyen a szorzandó mátrix . Ekkor definíció szerint az AB n×n-es szorzatmátrix i-edik sorában és j-edik oszlopában álló eleme . Ez azt jelenti, a szorzatmátrix i-edik sorába (tehát ha az „i” indexet az abi,j kifejezésben rögzítettnek gondoljuk ) a szorzandó mátrix f(i)edik sorának elemei kerülnek, egyéb változtatás nélkül. Ezt akartuk belátni.
    2. Még precízebb bizonyítás adható a szumma-jelöléssel: , és az eredményből levont következtetést ld. a fentebbi szöveges sorokban. QED.
  2. A jobbról szorzásra vonatkozó állítás hasonlóan bizonyítható, csak a sor-főindexek helyett az oszlop-főindexeket kell nézni: , s ez pontosan azt jelenti, hogy a szorzatmátrix j-edik oszlopa a B g(j)-edik oszlopával egyezik meg.

A permutáló mátrixok csoportja[szerkesztés]

A definícióból adódóan két n×n-es permutáló mátrix összege, különbsége, számszorosa (kivéve az egyszeresét), például ellentettje sosem permutáló mátrix, például , ez nem permutáló mátrix. Így a lineáris kombinálás (leszámítva a nagyon triviális esetet, amikor az egyik együttható 1, az összes többi nulla) kivezet az n×n-es permutáló mátrixok köréből.

Érvényes viszont, hogy a permutáló mátrixok a mátrixszorzásra nézve egységelemes csoportot alkotnak.

Külső hivatkozások[szerkesztés]

Wikikönyvek
A magyar Wikikönyvekben
további információk találhatók