Metrikus tenzor

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából


Más néven mértéktenzor. A matematikában a metrikus tenzort metrikus tereken értelmezzük, és a távolságok meghatározását teszi lehetővé. A fizikában az általános relativitáselméletben fordul elő, mint a téridő szerkezetét leíró mennyiség. Ezért a metrikus tenzor meghatározza a gravitációs kölcsönhatást is.

Definíciója[szerkesztés]

Legyen A affin tér a valós V eltolásvektortérrel! Ekkor g metrikus tenzor A fölött, ha A-t a V fölötti skalárszorzatok terébe képezi, azaz minden pontra

szimmetrikus, pozitív definit bilineáris forma.

A metrika és a pszeudometrika analógiájára néha megengedik, hogy egyes pontokban, vagy mindenütt pozitív szemidefinit legyen. Ezzel pszeudometrikus tenzorokhoz jutnak.

Vagyis a pozitív definitség követelménye:

minden -re

helyett megelégszenek a pozitív szemidefinitség követelményével:

minden -re

A metrikus tenzor egy ponttól függő távolságot definiál a V vektorok terén:

Az euklideszi skalárszorzathoz hasonlóan a vektorok szöge a pontban:

Tulajdonságai[szerkesztés]

Az invariáns távolságnégyzet kiszámítása:

Ábrázolása koordinátákkal[szerkesztés]

Koordináta-rendszert választva a V vektortérben, és a koordinátavektorokat rendre -vel jelölve a g metrikus tenzor felírható a alakban. Az Einstein-féle összegzési konvenció szerint ekkor az és az vektorokra

.

A kategóriaelmélet fogalmai szerint a metrikus tenzor, illetve koordinátákkal való ábrázolása kovariáns, mivel az injektív affin lineáris leképezések a (B,W) fölötti metrikus tenzorokat természetes módon (A,V) fölötti metrikus tenzorokba viszik:

.

A fizikai alkalmazások szerint a metrikus tenzor, illetve koordinátákkal való ábrázolása kontravariáns, mert koordinátái a koordinátarendszer transzformációjakor ugyanúgy transzformálódnak, mint a bázis.

Ha a koordinátarendszer transzformációját a

illetve

képletek írják le, akkor a bázisvektorok így transzformálódnak:

és a metrikus tenzor transzformációja:

Görbék hossza[szerkesztés]

Ha differenciálható görbe az A affin térben, akkor minden t pontban van érintője:

.

A görbe, vagy görbeszegmens hossza a metrikus tenzorral számítható:

A kifejezést ívelemnégyzetnek nevezzük.

A láncszabály szerint

,

ahol ds a fenti, ívhossz kiszámítását célzó integrált jelenti.

Indukált metrikus tenzor[szerkesztés]

Legyen A Riemann-tér, adva legyen benne a metrika, és adva legyen egy részsokaság a () paraméterekkel! Tekintsük ebben a részsokaságban a

görbét!

Ekkor e görbe ívhossza:

ahol

indukált mértéktenzor.

Ezzel számolva az ívhossz:

.

Példák[szerkesztés]

- a gömbfelszín metrikus tenzora:
- a Minkowski-téridő metrikus tenzora:
- a gömbszimmetrikus (Schwarzschild) téridő metrikus tenzora, ahol a Schwarzschild-sugár:

Irodalomjegyzék[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Metrischer Tensor című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.