Ívhossz

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az ívhossz egy differenciálható görbe szakaszának a hossza. Az ívhossz kiszámítása sok szempontból hasznos lehet, hiszen egy görbe sok mindent reprezentálhat (bejárt út, munka stb.). Jelölése: .

Kiszámítása[szerkesztés]

Az ívhossz a görbe parametrikus egyenletéből relatíve egyszerűen megadható, mégpedig a meredekség vektorok hosszainak összegéből, azaz:

,

ahol független paraméter. Descartes-koordinátarendszerben a képlet így néz ki:

Ez a képlet a következő Riemann összegből számítható (ezzel az összeggel reprezentálva az ívhosszt):

A fenti szummában a kifejezés a közelítő hossza egy húrnak a távolságon. Ahogy tart nullához, úgy közelíti az összeg az ívhosszt.

Az ívhossz polárkoordinátákban is meghatározható a fenti általános, vektoros képletből:

Ívhossz szerinti paraméterezés[szerkesztés]

Egy görbe paraméterezései között kitüntetett szerep jut az úthossz szerinti paraméterezésnek. Sok képlet egyszerűbbé válik, ha ezt a paraméterezést használjuk.

Legyen a görbe ezzel a paraméterezéssel megadva:

és minden -re. Ekkor a paraméterezésű részgörbére

a görbe úthosszfüggvénye. Ez az s(t) folytonos és monoton növő függvény, mivel a görbe nem szakadásos. Ha szigorúan monoton növő, akkor invertálható is, az inverz függvény . Ekkor ívhossz szerinti paraméterezése:

Ha folytonosan differenciálható, és minden -ra, akkor is folytonosan differenciálható, és minden -re:

.

Források[szerkesztés]

  • Planet Math: Arc length
  • Wolfgang Ebeling, Institut für Algebraische Geometrie, Universität Hannover: Vorlesungsskript Analysis II. [1]