Kifejtési tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A kifejtési tétel a mátrixok determinánsának kiszámítására használható matematikai tétel. Eszerint egy n × n-es mátrix determinánsának kiszámításához egy tetszőleges sor (vagy oszlop) minden elemét meg kell szoroznunk a hozzá tartozó előjeles aldeterminánssal, és összegeznünk kell a kapott számokat. (Ilyenkor beszélünk a determináns valamely i-edik sor (vagy oszlop) szerinti kifejtéséről.)

Előjeles aldetermináns[szerkesztés]

Vegyünk egy n × n-es mátrixot. Ha elhagyjuk az i-edik sorát és a j-edik oszlopát, akkor egy (n–1)×(n–1)-es mátrix keletkezik. Az említett sor és oszlop metszéspontjában található elemhez tartozó előjeles aldetermináns nem más, mint a keletkezett (n–1)×(n–1)-es részmátrix determinánsának -szerese. Az aldeterminánsokat a megfelelő előjellel és a megfelelő elemmel összeszorozva és összegezve kapjuk a mátrix determinánsát.

A kifejezés –1 vagy +1 értéke megadja, hogy az aldetermináns átfordul-e vagy sem az ellentettjére. Könnyű megjegyezni: a bal fölső sarokban lévő elem esetén mindig +1, és utána sakktáblaszerűen váltakozva következik a –1 és a +1. Például 6×6-os esetben:

Példa[szerkesztés]

Az

mátrix determinánsát szeretnénk a mátrix 4. sora szerint kifejteni. A megoldás

mert mondjuk az a45 elemhez tartozó aldetermináns meghatározásához elhagyjuk a 4. sort és az 5. oszlopot a mátrixból:

A kapott mátrixot jelöljük A45-tel:

Ezután kiszámítjuk az A45 determinánsának az értékét:

Hasonlóan számoljuk ki az A mátrix 4. sorának többi eleméhez tartozó aldeterminánst is.

Az a45 elemhez tartozó előjel – (mivel (–1)4+5=(–1)9=–1), így az aldeterminánst –1-gyel megszorozva kell hozzáadni az összeghez.

A fenti táblázat 4. sorából is megkaphatjuk a többi aldeterminánshoz tartozó előjelet:

és így lesz az eredmény még egyszer leírva

Több sor vagy oszlop szerint[szerkesztés]

A kifejtés egyszerre több sor és oszlop szerint is végezhető.

Példa: egy 5 x 5-ös mátrix determinánsa a második és az ötödik sor szerint kifejtve:

Az első mátrix előjele például azért pozitív, mert sor- és oszlopindexeinek összege 10, ami páros. Itt az együttható mátrixban szereplő összes index számít.

Ferde kifejtés[szerkesztés]

Ferde kifejtésnek nevezzük az alakú szorzatokat.

A ferde kifejtés tétele szerint ezek a szorzatok nem számítanak bele a mátrix determinánsába.

Megjegyzés[szerkesztés]

Programozói szempontból a kifejtési tétel alkalmazásánál sokkal célravezetőbb a Gauss-eliminációval való lépcsős alakra hozás (alsó vagy felső háromszögmátrix elég), majd a főátlóban lévő elemek összeszorzása. Ugyanis a kifejtés során annyira felhalmozódnak a számítási hibák, hogy elvész a numerikus információ.

Forrás[szerkesztés]

  • Pelikán József: Algebra
  • Scharnitzky Tibor: Mátrixszámítás
  • Stoyan Gisbert–Takó Galina: Numerikus módszerek I.