Einstein-féle összegkonvenció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az Einstein-féle összegkonvenció, más néven Einstein-féle automatikus összegkonvenció avagy Einstein-féle néma index konvenció egy indexes jelölés az összegekre a Ricci-kalkulusban. Azt jelenti, hogy az azonos indexű tagok összeadandók, és nem tünteti fel a szumma jelet. A Ricci-kalkulust a differenciálgeometriában, a tenzoranalízisben és az elméleti fizikában használják. A konvenciót Albert Einstein 1916-ban javasolta.

Motiváció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A mátrix- és tenzorszámításokban gyakran képződnek indexes összegek. Például két n \times n-es mátrix, A és B szorzata:

(A \cdot B)_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik} \cdot B_{kj}

Itt a k indexre összegzünk 1-től n-ig. A többszörös mátrix- és skalárszorzatok hamar átláthatatlanná válnak. A fenti szorzat az Einstein-féle összegkonvencióval:

(A \cdot B)_{ij} = A_{ik} \cdot B_{kj}

Formálisan[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az összegkonvenció legegyszerűbb változata így hangzik: ha egy szorzatban egy index kétszer is felbukkan, akkor összegzünk rá. A relativitáselméletben csak akkor összegeznek, ha a kovariáns és a kontravariáns index egyezik meg. Ezt a kétféle indexet úgy különböztetik meg egymástól, hogy a kovariáns indexet alulra, a kontravariáns indexet pedig felülre teszik.

Az összegzési konvencióval az írásmód rövidebb, és segít felismerni olyan szimmetriákat és összefüggéseket, amelyek a hagyományos írásmódban felismerés nélkül maradnának.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Különbségtétel nélkül[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A következő példában A, B n \times n-es mátrix, értékeik A_{ij}, B_{ij} és \vec x = \left( x_1, x_2, \dots , x_n \right),  \vec y = \left( y_1, y_2, \dots , y_n \right) hozzájuk illeszkedő vektorok.

Kovariáns és kontravariáns indexek szerint[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Az A^i_j és B^i_j komponensű tenzorok  C^i_j komponensű szorzata  C^i_j = A^i_k B^k_j
  • Az A^i_j komponensű tenzor alkalmazása az x^i, y^i összegére a z^i vektort adja: z^i = A^i_j \left( x^j + y^j \right).
  • A t tenzormező egy U környezetben ábrázolható, mint:
t|_U = t^{i_1, \ldots , i_r}_{j_1, \ldots , j_s} \frac{\partial}{\partial x^{i_1}} \otimes \cdots \otimes \frac{\partial}{\partial x^{i_r}} \otimes \mathrm{d} x^{j_1} \otimes \cdots \otimes \mathrm{d} x^{j_s}.
ahol az \frac{\partial}{\partial x^{i_1}} objektum indexe alsó indexnek tekintendő.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]