Einstein-féle összegkonvenció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az Einstein-féle összegkonvenció, más néven Einstein-féle automatikus összegkonvenció avagy Einstein-féle néma index konvenció egy indexes jelölés az összegekre a Ricci-kalkulusban. Azt jelenti, hogy az azonos indexű tagok összeadandók, és nem tünteti fel a szumma jelet. A Ricci-kalkulust a differenciálgeometriában, a tenzoranalízisben és az elméleti fizikában használják. A konvenciót Albert Einstein 1916-ban javasolta.

Motiváció[szerkesztés]

A mátrix- és tenzorszámításokban gyakran képződnek indexes összegek. Például két -es mátrix, A és B szorzata:

Itt a k indexre összegzünk 1-től n-ig. A többszörös mátrix- és skalárszorzatok hamar átláthatatlanná válnak. A fenti szorzat az Einstein-féle összegkonvencióval:

Formálisan[szerkesztés]

Az összegkonvenció legegyszerűbb változata így hangzik: ha egy szorzatban egy index kétszer is felbukkan, akkor összegzünk rá. A relativitáselméletben csak akkor összegeznek, ha a kovariáns és a kontravariáns index egyezik meg. Ezt a kétféle indexet úgy különböztetik meg egymástól, hogy a kovariáns indexet alulra, a kontravariáns indexet pedig felülre teszik.

Az összegzési konvencióval az írásmód rövidebb, és segít felismerni olyan szimmetriákat és összefüggéseket, amelyek a hagyományos írásmódban felismerés nélkül maradnának.

Példák[szerkesztés]

Különbségtétel nélkül[szerkesztés]

A következő példában -es mátrix, értékeik és hozzájuk illeszkedő vektorok.

  • Skaláris szorzat: .
  • Mátrix-vektor szorzat:
  • Több mátrix szorzata (itt négy): .
  • Az A mátrix nyoma:

Kovariáns és kontravariáns indexek szerint[szerkesztés]

  • Az és komponensű tenzorok komponensű szorzata
  • Az komponensű tenzor alkalmazása az összegére a vektort adja: .
  • A t tenzormező egy környezetben ábrázolható, mint:
ahol az objektum indexe alsó indexnek tekintendő.

Forrás[szerkesztés]