Rotáció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A rotáció, ahogy a divergencia, a vektoranalízis egy differenciáloperátora. Mind differenciálgeometriai, mind fizikán belüli alkalmazásai jelentősek. Legszemléletesebb képét az áramlástanban nyeri el, ahol azt mutatja meg, hogy örvénylik a folyadék egy kis térfogatban.

Ha egy vektormező rotációja mindenütt nulla, akkor ez a vektormező örvénymentes.

Néhány gyakorlati példa[szerkesztés]

  • A forgószelek egy úgynevezett szem körül örvénylenek. A forgószelet leíró vektormező rotációja nem nullvektor a szemben, és lehet, hogy máshol sem.
  • Egy forgó tárcsa pontjainak sebességét leíró vektormező rotációja minden pontban ugyanaz a nullvektortól különböző vektor.
  • A következő példa egy autópálya, ahol az egyes sávokon különböző sebességgel haladnak az autók. Ha ez a sebesség balról jobbra növekszik, akkor a sávokat elválasztó vonalakon a rotáció szintén nem nullvektor.

Definíció[szerkesztés]

Az háromdimenziós vektormező rotációja szintén háromdimenziós vektormező. Jelölése : , ahol a nabla operátor, és rot a rotáció függvényszimbóluma. A kereszt egy formális keresztszorzatot jelent, így a rotáció a derékszögű koordináta-rendszerben:

ahol is a keresztszorzat a következő összefüggést adja: :

A keresztszorzat definíciója alapján a rotáció formális determinánsként írható fel.

Gömbi koordinátákkal:

Hengerkoordinátákkal: :

Görbe vonalú derékszögű koordináta-rendszerben:

, ahol

A rotáció előjelet vált, ha balos koordináta-rendszerről jobbos koordináta-rendszerre térünk át.

Két dimenzióban[szerkesztés]

A vektortérben a következő módon számítható a rotáció:

Ez éppen egy háromdimenziós vektormező rotációjának a harmadik koordinátája.

A rotáció mint örvénysűrűség[szerkesztés]

Az örvénysűrűségként való értelmezés a Stokes-tétel következő infinitezimális alakján nyugszik:

Itt egy tetszőlegesen irányított normálisú kis felületdarab; felszíne , és irányított határgörbéje .

A divergenciával analóg módon a legtöbb itt megadott állítás levezethető ebből a formulából.

Felbontási tétel[szerkesztés]

A kétszer folytonosan differenciálható háromdimenziós vektormező, amely a végtelenben elég gyorsan tart nullához, felbontható egy örvénymentes rész és egy forrásmentes rész összegére:

.

Az örvénymentes részt meghatározza a forrássűrűsége:

, ahol .

A forrásmentes részre hasonlók teljesülnek, ha skalárpotenciálja helyett az vektorpotenciált vesszük, és a meg a kifejezéseket a meg a kifejezések helyettesítik

Stokes integráltétele[szerkesztés]

A rotáció szerepet játszik a vektoranalízisben fontos Stokes-tételben, aminek segítségével a felszíni integrál görbe menti integrállá alakítható:

Számolási szabályok[szerkesztés]

Minden konstansra, minden skalármezőre és minden , vektormezőre fennáll:

  • linearitás:
  • differenciálformák:
  • további szorzási szabályok

Általánosítás tetszőleges fokú tenzormezőkre[szerkesztés]

Egy vektormező értelmezhető elsőfokú tenzormezőként. Az Einstein-féle összegkonvenció és a Levi-Civita-szimbólum alapján egy vektormező rotációja így írható:

A tetszőleges fokú tenzorokra ez alapján az általánosítás nyilvánvaló:


Források[szerkesztés]

Külső hivatkozások[szerkesztés]

A rotációról érthetően (magyar)