Gradiens

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Két skalármező szürkeárnyalatosan ábrázolva (a sötétebb árnyalat nagyobb függvényértéknek felel meg). A kék nyilak a gradienseket jelzik.

A gradiens a matematikában egy skalármezőkre alkalmazható differenciáloperátor. A gradiens a függvények deriválásának általánosítása többváltozós függvényekre. Ennek vektormező az eredménye, ami azt mutatja, hogy változik a függvény, és megadja a skalármező legnagyobb megváltozásának irányát is.

Példaként tekintsünk egy térképet, amely megadja a magasságokat a h(x,y) függvénnyel: h(x,y) a magasság az (x,y) pontban. Ekkor h(x,y) gradiense a legnagyobb meredekség irányába mutat, és hossza a legnagyobb meredekség.

A gradiens a szintvonalakra merőleges, normája pedig a skalármezőnek, mint függvénynek a gradiens iránya menti deriváltja.

A gradienst a divergenciával és a rotációval együtt a vektoranalízis vizsgálja.

Skalármező gradiense[szerkesztés]

A skalármező gradiensét a parciális deriváltak vektoraként definiálják. Csak azokban a pontokban értelmezhető, ahol az összes parciális derivált létezik. Jelölése vagy . Itt a nabla szimbóluma, és a gradiens függvényszimbóluma.

A háromdimenziós euklideszi térben a skalármező gradiense derékszögű koordináta-rendszerben

Hengerkoordinátákban

Gömbi koordinátákban

Az n dimenziós euklideszi térben

A gradiens sor- és oszlopvektorként is írható, a további felhasználásnak megfelelően. A képletekben az koordinátának megfelelő irányú egység hosszú vektort jelöli.

Geometriai értelmezése[szerkesztés]

Egy skalármező gradiense egy pontban megadja a legnagyobb meredekség irányát és a legnagyobb meredekség nagyságát. Egy lokális minimumban, egy lokális maximumban vagy egy nyeregpontban a gradiens nulla, feltéve, hogy ezek a pontok az értelmezési tartomány belsejében vannak.

A gradiens segítségével tetszőleges irányú meredekség meghatározható. Ez a meredekség éppen az irány menti derivált.

Iránymenti derivált[szerkesztés]

Az iránymenti derivált az adott irány által kimetszett függvény deriváltja. Közelebbről

.

Ha differenciálható egy környezetében, akkor az iránymenti derivált az adott irányú normált vektor és a gradiens skalárszorzata:

Vektormező Jacobi-mátrixa[szerkesztés]

A parciális deriváltak vektora vektor értékű függvényekre is definiálható. Ha vektor értékű függvény, és koordinátafüggvényei rendre , akkor

.

Ekkor deriváltja az (sorvektor) gradiensek oszlopvektoraként definiálható. Ennek a mezőnek a vektorgradiense a Jacobi-mátrix:

-re az eredmény egy másodfokú tenzor. Efféle tenzorok írják le például a fizikában a mechanikai feszültséget és az elaszticitást.

Számolási szabályok[szerkesztés]

Minden konstansra és skalármezőre

linearitás

szorzási szabály

Alkalmazások[szerkesztés]

Skalármező totális deriváltja

A derékszögű koordinátákban vett gradiens a nabla operátorral:

További példák[szerkesztés]

Ha egy test részei különböző hőmérsékletűek, akkor a melegebb helyről hő áramlik a hidegebb helyek felé. Ha a testen belül a hővezetés képessége állandó, akkor a hőáramlás a hőmérsékleti gradiens konstansszorosa.

Források[szerkesztés]