Két skalármező szürkeárnyalatosan ábrázolva (a sötétebb árnyalat nagyobb függvényértéknek felel meg). A kék nyilak a gradienseket jelzik.
A gradiens a matematikában egy skalármezőkre alkalmazható differenciáloperátor. A gradiens a függvények deriválásának általánosítása többváltozós függvényekre. Ennek vektormező az eredménye, ami azt mutatja meg, hogy hogyan változik a függvény, és megadja a skalármező legnagyobb megváltozását (irányát és nagyságát).
Példaként tekintsünk egy térképet, amely megadja a magasságokat a h(x,y) függvénnyel: h(x,y) a magasság az (x,y) pontban. Ekkor h(x,y) gradiense a legnagyobb meredekség irányába mutat, és hossza a legnagyobb meredekség.
A gradiens a szintvonalakra merőleges, normája pedig a skalármezőnek, mint függvénynek a gradiens iránya menti deriváltja.
A gradienst a divergenciával és a rotációval együtt a vektoranalízis vizsgálja.
A
skalármező gradiensét a parciális deriváltak vektoraként definiálják. Csak azokban a pontokban értelmezhető, ahol az összes parciális derivált létezik. Jelölése
vagy
. Itt
a nabla szimbóluma, és
a gradiens függvényszimbóluma.
A háromdimenziós euklideszi térben a
skalármező gradiense derékszögű koordináta-rendszerben

Hengerkoordinátákban


Gömbi koordinátákban


Az n dimenziós euklideszi térben

A gradiens sor- és oszlopvektorként is írható, a további felhasználásnak megfelelően.
A képletekben
az
koordinátának megfelelő irányú egység hosszú vektort jelöli.
Geometriai értelmezése[szerkesztés]
Egy skalármező gradiense egy pontban megadja a legnagyobb meredekség irányát és a legnagyobb meredekség nagyságát. Egy lokális minimumban, egy lokális maximumban vagy egy nyeregpontban a gradiens nulla, feltéve, hogy ezek a pontok az értelmezési tartomány belsejében vannak.
A gradiens segítségével tetszőleges irányú meredekség meghatározható. Ez a meredekség éppen az irány menti derivált.
Az iránymenti derivált az adott irány által kimetszett függvény deriváltja. Közelebbről
.
Ha
differenciálható
egy környezetében, akkor az iránymenti derivált az adott irányú normált vektor és a gradiens skalárszorzata:

Vektormező Jacobi-mátrixa[szerkesztés]
A parciális deriváltak vektora vektor értékű függvényekre is definiálható. Ha
vektor értékű függvény, és koordinátafüggvényei rendre
, akkor
.
Ekkor
deriváltja az
(sorvektor) gradiensek oszlopvektoraként definiálható. Ennek a mezőnek a vektorgradiense a Jacobi-mátrix:

-re az eredmény egy másodfokú tenzor. Efféle tenzorok írják le például a fizikában a mechanikai feszültséget és az elaszticitást.
Minden
konstansra és
skalármezőre

linearitás


szorzási szabály

Skalármező totális deriváltja

A derékszögű koordinátákban vett gradiens a nabla operátorral:

Ha egy test részei különböző hőmérsékletűek, akkor a melegebb helyről hő áramlik a hidegebb helyek felé. Ha a testen belül a hővezetés képessége állandó, akkor a hőáramlás a hőmérsékleti gradiens konstansszorosa.