Gradiens

Két skalármező szürkeárnyalatosan ábrázolva (a sötétebb árnyalat nagyobb függvényértéknek felel meg). A kék nyilak a gradienseket jelzik.

A gradiens a matematikában egy skalármezőkre alkalmazható differenciáloperátor. A gradiens a függvények deriválásának általánosítása többváltozós függvényekre. Ennek vektormező az eredménye, ami azt mutatja, hogy változik a függvény, és megadja a skalármező legnagyobb megváltozásának irányát is.

Példaként tekintsünk egy térképet, amely megadja a magasságokat a h(x,y) függvénnyel: h(x,y) a magasság az (x,y) pontban. Ekkor h(x,y) gradiense a legnagyobb meredekség irányába mutat, és hossza a legnagyobb meredekség.

A gradiens a szintvonalakra merőleges, normája pedig a skalármezőnek, mint függvénynek a gradiens iránya menti deriváltja.

A gradienst a divergenciával és a rotációval együtt a vektoranalízis vizsgálja.

Skalármező gradiense

A $\varphi \left({\vec {r}}\right)$$\varphi \left({\vec {r}}\right)$ skalármező gradiensét a parciális deriváltak vektoraként definiálják. Csak azokban a pontokban értelmezhető, ahol az összes parciális derivált létezik. Jelölése $\nabla \varphi$$\nabla \varphi$ vagy $\operatorname {grad} \varphi$$\operatorname {grad} \varphi$. Itt $\nabla$$\nabla$ a nabla szimbóluma, és $\operatorname {grad}$$\operatorname {grad}$ a gradiens függvényszimbóluma.

A háromdimenziós euklideszi térben a $\varphi (x,y,z)$$\varphi (x,y,z)$ skalármező gradiense derékszögű koordináta-rendszerben

$\operatorname {grad} \,\varphi =\nabla \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\vec {e}}_{x}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\vec {e}}_{y}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\vec {e}}_{z}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\\{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\end{pmatrix}}$$\operatorname {grad} \,\varphi =\nabla \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\vec {e}}_{x}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\vec {e}}_{y}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\vec {e}}_{z}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\\{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\end{pmatrix}}$

Hengerkoordinátákban

$V=V\left({r;\varphi ;z}\right)$$V=V\left({r;\varphi ;z}\right)$

$\operatorname {grad} \,V=\nabla V={\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial \varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }+{\frac {\partial V}{\partial z}}{\vec {e}}_{z}$$\operatorname {grad} \,V=\nabla V={\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial \varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }+{\frac {\partial V}{\partial z}}{\vec {e}}_{z}$

Gömbi koordinátákban

$V=V\left({r;\vartheta ;\varphi }\right)$$V=V\left({r;\vartheta ;\varphi }\right)$

$\operatorname {grad} \,V=\nabla V={\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial \vartheta }}{\vec {e}}_{\vartheta }+{\frac {1}{r\sin \vartheta }}{\frac {\partial V}{\partial \varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }$$\operatorname {grad} \,V=\nabla V={\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial \vartheta }}{\vec {e}}_{\vartheta }+{\frac {1}{r\sin \vartheta }}{\frac {\partial V}{\partial \varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }$

Az n dimenziós euklideszi térben

$\operatorname {grad} \,\varphi =\nabla \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}{\vec {e}}_{1}+\cdots +{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}{\vec {e}}_{n}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}$$\operatorname {grad} \,\varphi =\nabla \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}{\vec {e}}_{1}+\cdots +{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}{\vec {e}}_{n}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}$

A gradiens sor- és oszlopvektorként is írható, a további felhasználásnak megfelelően. A képletekben ${\vec {e}}_{i}$${\vec {e}}_{i}$ az $i$$i$ koordinátának megfelelő irányú egység hosszú vektort jelöli.

Geometriai értelmezése

Egy skalármező gradiense egy pontban megadja a legnagyobb meredekség irányát és a legnagyobb meredekség nagyságát. Egy lokális minimumban, egy lokális maximumban vagy egy nyeregpontban a gradiens nulla, feltéve, hogy ezek a pontok az értelmezési tartomány belsejében vannak.

A gradiens segítségével tetszőleges irányú meredekség meghatározható. Ez a meredekség éppen az irány menti derivált.

Iránymenti derivált

Az iránymenti derivált az adott irány által kimetszett függvény deriváltja. Közelebbről

$D_{\vec {v}}\varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial {\vec {v}}}}=\lim _{t\to 0}{\frac {\varphi ({\vec {r}}+t{\vec {v}})-\varphi ({\vec {r}})}{t}}.$$D_{\vec {v}}\varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial {\vec {v}}}}=\lim _{t\to 0}{\frac {\varphi ({\vec {r}}+t{\vec {v}})-\varphi ({\vec {r}})}{t}}.$.

Ha $\varphi$$\varphi$ differenciálható ${\vec {r}}$${\vec {r}}$ egy környezetében, akkor az iránymenti derivált az adott irányú normált vektor és a gradiens skalárszorzata:

$D_{\vec {v}}\varphi ={{\partial \varphi } \over {\partial {\vec {v}}}}=\left\langle \mathrm {grad} \varphi {,}{\vec {v}}\right\rangle$$D_{\vec {v}}\varphi ={{\partial \varphi } \over {\partial {\vec {v}}}}=\left\langle \mathrm {grad} \varphi {,}{\vec {v}}\right\rangle$

Vektormező Jacobi-mátrixa

A parciális deriváltak vektora vektor értékű függvényekre is definiálható. Ha ${\vec {F}}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$${\vec {F}}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ vektor értékű függvény, és koordinátafüggvényei rendre $F_{1},\ldots ,F_{m}$$F_{1},\ldots ,F_{m}$, akkor

${\vec {F}}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\bigl (}F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,F_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\bigr )}$${\vec {F}}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\bigl (}F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,F_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\bigr )}$.

Ekkor ${\vec {F}}$${\vec {F}}$ deriváltja az $F_{i}$$F_{i}$ (sorvektor) gradiensek oszlopvektoraként definiálható. Ennek a mezőnek a vektorgradiense a Jacobi-mátrix:

${\mathcal {J}}_{\vec {F}}=\operatorname {grad} {\vec {F}}=\nabla {\vec {F}}={{\partial (F_{1},\ldots ,F_{m})} \over {\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}$${\mathcal {J}}_{\vec {F}}=\operatorname {grad} {\vec {F}}=\nabla {\vec {F}}={{\partial (F_{1},\ldots ,F_{m})} \over {\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}$

$m=n$$m=n$-re az eredmény egy másodfokú tenzor. Efféle tenzorok írják le például a fizikában a mechanikai feszültséget és az elaszticitást.

Számolási szabályok

Minden $c\in \mathbb {R}$$c\in\R$ konstansra és $u,v:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$$u,v:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ skalármezőre

• $\operatorname {grad} \,c={\vec {0}}$$\operatorname {grad} \,c={\vec {0}}$

linearitás

• $\operatorname {grad} \,(c\cdot u)=c\cdot \operatorname {grad} \,u$$\operatorname {grad} \,(c\cdot u)=c\cdot \operatorname {grad} \,u$
• $\operatorname {grad} \,(u+v)=\operatorname {grad} \,u+\operatorname {grad} \,v$$\operatorname {grad} \,(u+v)=\operatorname {grad} \,u+\operatorname {grad} \,v$

szorzási szabály

• $\operatorname {grad} \,(u\cdot v)=u\cdot \operatorname {grad} \,v+v\cdot \operatorname {grad} \,u$$\operatorname {grad} \,(u\cdot v)=u\cdot \operatorname {grad} \,v+v\cdot \operatorname {grad} \,u$

Alkalmazások

Skalármező totális deriváltja

$\mathrm {d} \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\mathrm {d} y+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\mathrm {d} z=\operatorname {grad} \,\varphi \;\mathrm {d} {\vec {r}},\qquad {\text{ahol}}\quad \mathrm {d} {\vec {r}}={\begin{pmatrix}\mathrm {d} x\\\mathrm {d} y\\\mathrm {d} z\end{pmatrix}}.$$\mathrm {d} \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\mathrm {d} y+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\mathrm {d} z=\operatorname {grad} \,\varphi \;\mathrm {d} {\vec {r}},\qquad {\text{ahol}}\quad \mathrm {d} {\vec {r}}={\begin{pmatrix}\mathrm {d} x\\\mathrm {d} y\\\mathrm {d} z\end{pmatrix}}.$

A derékszögű koordinátákban vett gradiens a nabla operátorral:

${\vec {\nabla }}=\sum _{a}{{\vec {e}}_{q_{a}}{\frac {1}{h_{a}}}{\frac {\partial }{\partial {q_{a}}}}},\qquad {\text{ahol}}\quad h_{a}=\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial {q_{a}}}}\right|.$${\vec {\nabla }}=\sum _{a}{{\vec {e}}_{q_{a}}{\frac {1}{h_{a}}}{\frac {\partial }{\partial {q_{a}}}}},\qquad {\text{ahol}}\quad h_{a}=\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial {q_{a}}}}\right|.$

További példák

Ha egy test részei különböző hőmérsékletűek, akkor a melegebb helyről hő áramlik a hidegebb helyek felé. Ha a testen belül a hővezetés képessége állandó, akkor a hőáramlás a hőmérsékleti gradiens konstansszorosa.

Források

• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie, Springer Verlag, ISBN 3-540-42018-5
• http://www.sengpielaudio.com/SchallschnelleIstNichtDruckgradient.pdf