Elemi algebra

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az algebra egyik alapvető ága az elemi algebra. Ez az algebra történetileg legkorábban kialakult ága, fő feladata a valós együtthatós algebrai egyenletek, egyenlőtlenségek és egyenletrendszerek megoldása. (Az algebra további ágai a lineáris algebra és az absztrakt algebra) [forrás?].

Az elemi algebra megértésének előfeltétele a számtani alapműveletek ismerete. A számtanban konkrét számok szerepelnek, az elemi algebrában viszont már számokat reprezentáló szimbólumok, ún. változók is megjelennek.

Számolási szabályok[szerkesztés]

Összeadás[szerkesztés]

Az összeadás kommutatív művelet:

Az összeadás asszociatív művelet:

A kivonás az összeadás ellentéte. Egy negatív szám hozzáadása ekvivalens az ellentettjének kivonásával:

Szorzás[szerkesztés]

A szorzás is kommutatív művelet:

A szorzás asszociatív művelet:

Az osztás a szorzás ellentéte. Egy számmal való osztás megfelel a szám reciprokával való szorzásnak:

Hatványozás[szerkesztés]

Azonos alapú hatványok szorzatában a kitevők összeadódnak:

Hatványozott hatványok esetében a kitevők összeszorzódnak:

Disztributivitás[szerkesztés]

A szorzás az összeadásra nézve disztributív:

A hatványozás a szorzásra nézve szintén disztributív:

Nevezetes szorzatok[szerkesztés]

Az elemi algebra eszköztárához tartoznak egyes könnyen belátható azonosságok, melyeket nevezetes szorzatoknak is hívunk:

Néha ide sorolják az alábbi azonosságokat is:

Egyenletek megoldása[szerkesztés]

Egyismeretlenes lineáris egyenlet[szerkesztés]

A lehető legegyszerűbb feladat az a lineáris egyenlet, amelynek csak egy ismeretlenje van. Például:

A megoldás technikája az, hogy az egyenlet mindkét oldalával ugyanazt a műveletet végezzük, így az egyenlőség mindig fennmarad. Esetünkben levonunk mindkét oldalból 4-et:

azaz

Most osztjuk mindkét oldalt 2-vel

így adódik a megoldás

Általános esetben:

Mindkét oldalból b-t kivonva, majd osztva a-val adódik a megoldás:

Egyismeretlenes másodfokú egyenlet[szerkesztés]

A másodfokú egyenlet általános alakja a következő:

Megszorozva mindkét oldalt 4a-val adódik:

Hozzáadva mindkét oldalhoz -et, majd levonva 4ac-t:

A bal oldalon egy nevezetes szorzat tartózkodik. Ezt kihasználva:

Mindkét oldalból gyököt vonunk:

Vonjunk ki mindkét oldalból b-t, s osszunk 2a-val, így adódik a két lehetséges megoldás x-re:

A értéket szokás az egyenlet diszkriminánsának is nevezni. Észrevehető, hogy ha a diszkrimináns nulla, akkor az egyenlet két megoldása egybeesik. Ha a diszkrimináns negatív, akkor az egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán.

Többismeretlenes lineáris egyenletrendszerek[szerkesztés]

A többismeretlenes lineáris egyenletrendszerek tárgyalása általános esetben a lineáris algebra témakörébe tartozik. Ebben a szócikkben csak elemi példákat mutatunk a három lehetséges esetre:

Egy megoldással rendelkező[szerkesztés]

Pontosan egy megoldása van az alábbi lineáris egyenletrendszernek:

A két egyenletet összeadva adódik, hogy

azaz

Behelyettesítve az első egyenletbe:

A megoldás tehát .

Több megoldással rendelkező[szerkesztés]

Több lehetséges megoldása is van az alábbi egyenletrendszernek:

Tetszőleges hármas megoldása a feladatnak bármely y értékre.

Megoldhatatlan[szerkesztés]

Az alábbi lineáris egyenletrendszernek nincs megoldása:

Mivel y-ra ellentmondó feltételek adottak, ezért ez egy paradoxon.

Hivatkozások[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben az Elementary algebra című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.