Mérték (matematika)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A mérték egy függvény, ami egy adott halmaz részhalmazaihoz egy számot rendel. A mindennapi életben például ilyen mérték lehet a hossz, a terület, a térfogat vagy a valószínűség.

A mérték az integrál fogalmát általánosítja.

A mértékelmélet a valós analízis egyik ága, amely a halmazok mérhetőségével foglalkozik. Fontos szerepet tölt be a valószínűségszámításban és a statisztikában.

Formális definíció[szerkesztés]

A mérték egy függvény, ahol egy X halmaz feletti σ-algebra, ami kielégíti az alábbi feltételeket:

Az hármast nevezik mértéktérnek, és elemeit pedig mérhető halmazoknak.

Tulajdonságok[szerkesztés]

Monotonitás[szerkesztés]

μ monoton, vagyis ha E1 and E2 mérhető halmazok, és E1E2, akkor μ(E1) ≤ μ(E2).

Végtelen sok mérhető halmaz uniójának mértéke[szerkesztés]

Ha E1, E2, E3, … egy megszámlálható halmazsorozat Σ-ban, akkor

.

Ha E1, E2, E3, … mérhető halmazok és En részhalmaza En+1-nek minden n-re, akkor az Ei halmazok uniója is mérhető, és

.

Végtelen sok mérhető halmaz metszetének mértéke[szerkesztés]

Ha E1, E2, E3, … mérhető halmazok és minden n-re En+1 részhalmaza En-nek, akkor az En halmazok metszete is mérhető; illetve, ha legalább egy En halmaz mértéke véges, akkor

.

Ez a tulajdonság nem teljesül, ha nem tesszük fel, hogy legalább egy halmaz mértéke véges, ugyanis legyen minden nN esetén

Ekkor minden halmaz végtelen mértékű, de a metszetük üres.

Példák[szerkesztés]

Források[szerkesztés]