σ-additivitás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából


A mértékelméletben σ-additívnak nevezünk egy halmazfüggvényt, ha értelmezési tartományába tartozó diszjunkt halmazok megszámlálható unióján is értelmezve van, és az itt felvett értéke megegyezik az uniót alkotó halmazokon felvett értékeinek (esetleg végtelen) összegével. A σ-additív halmazfüggvény a területfogalom általánosítása.

Halmazfüggvények[szerkesztés]

Legyen A egy nemüres halmaz, és jelölje M az A részhalmazainak egy családját. Halmazfüggvénynek nevezzük az olyan leképezést, amelynek értelmezési tartománya , értékkészlete pedig a kiterjesztett számegyenes. Halmazfüggvény például a háromdimenziós euklideszi tér térfogattal bíró halmazain a térfogatfüggvény, de ilyen az egészek részhalmazain értelmezett számosságfüggvény is.

Additív halmazfüggvények[szerkesztés]

Egy halmazfüggvényt akkor nevezünk additívnak, ha az értelmezési tartományabeli diszjunkt halmazpárok unióján is értelmezve van, és ott értéke az egyes halmazokon felvett értékek összege. Képletben: valahányszor

és

fennáll, teljesül a

.

egyenlőség is.

Indukcióval belátható, hogy az additivitás kettőnél több (de véges sok) halmazra is kiterjeszthető, azaz ha X1, X2, X3, … Xn halmazok egy páronként diszjunkt családja, akkor

A σ-additivitás ennek a tulajdonságnak a kiterjesztése megszámlálhatóan sok Xi-re: ha X1, X2, X3, … halmazok egy páronként diszjunkt megszámlálhatóan végtelen családja, akkor


Forrás[szerkesztés]

  • P.R. Halmos: Mértékelmélet, Gondolat, 1994