Hilbert-tér

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Hilbert-tér a modern matematika fontos fogalma: olyan skalárszorzatos vektortér, mely teljes a skalárszorzat által definiált normára nézve. A Hilbert-tereket a funkcionálanalízis tanulmányozza. A Hilbert-térnek alapvető jelentősége van a kvantummechanika megalapozásában, jóllehet a kvantummechanika sok alapvető tulajdonsága megérthető a Hilbert-terek mélyebb megértése nélkül.[1]

Szerkezetét egyértelműen meghatározza a Hilbert-dimenziója. Ez tetszőleges kardinális szám lehet. Ha a dimenzió véges, akkor euklideszi vektortérről van szó. Sok területen, például a kvantummechanikában a megszámlálhatóan végtelen dimenziós Hilbert-teret használják. A Hilbert-tér egy eleme megadható a dimenziónak megfelelő számú valós, vagy komplex koordinátával. A vektorterekhez hasonlóan, ahol egy Hamel-bázisban megadott koordináták véges kivétellel nullák, egy Hilbert-tér ortonormált bázisában csak megszámlálható sok koordináta különbözhet nullától, és a koordináták négyzetesen összegezhetők.

Bevezetés[szerkesztés]

A Hilbert-teret David Hilbertről nevezték el, aki az integrálegyenletekkel kapcsolatban tanulmányozta azokat. Az elnevezés eredete „der abstrakte Hilbertsche Raum” Neumann Jánostól származik, a nemkorlátos hermitikus operátorokról szóló 1929-es híres cikkéből. Neumann volt talán az a matematikus, aki legtisztábban látta a jelentőségét, annak a megtermékenyítően ható munkájának következtében, mellyel a kvantummechanikát szilárd alapokra helyezte. A „Hilbert-tér” elnevezést hamarosan mások is elfogadták, például Hermann Weyl az 1931-ben publikált A csoportok és a kvantummechanika elmélete (The Theory of Groups and Quantum Mechanics) című könyvében.

Az absztrakt Hilbert-tér elemeit „vektoroknak” nevezik. A kvantummechanikában például egy fizikai rendszert egy „hullámfüggvényekből” álló komplex Hilbert-tér ír le, mely hullámfüggvények a rendszer egyes állapotait írják le, a hullámfüggvények egy L-2-tér elemei a kvantummechanika modern megfogalmazásában. A kvantummechanikában gyakran használt síkhullámok és kötött állapotok Hilbert-terére a formálisabb kifeszített Hilbert-tér néven hivatkoznak.

Definíció[szerkesztés]

A H vektorteret a T test (valós vagy komplex számtest) feletti Hilbert-térnek nevezzük, ha értelmezve van rajta egy Hermite-féle alak (belső szorzat), amely egy teljes normált teret indukál.

Azaz létezik egy leképzés: , amely minden -beli , , -re és minden -beli -ra a következőket teljesíti:

  1. (nem negatív);
  2. (definit);
  3. (hermitikus);
  4. és (lineáris a második argumentumban).

Minden, az előbbi tulajdonságokat teljesítő, belső szorzatos térben értelmezhető egy ||.|| norma következőképpen:

.

H Hilbert-tér, ha H erre a normára nézve teljes, azaz minden H-beli Cauchy-sorozat konvergál.

Megjegyzések:

Ortogonalitás[szerkesztés]

Két vektort ortogonálisnak mondunk, ha , gyakori jelölés: .

Egy S halmazt H-beli ortogonális rendszernek nevezünk, ha , és .

Egy S halmazt H-beli ortonormált rendszernek nevezünk, ha , és .

Egy véges ortonormált rendszerre érvényes a Pitagorasz-tétel és a Bessel-egyenlőtlenség (mint minden belső szorzatos térben). Azaz minden x-re H-ban:

Pitagorasz:

Bessel:

Projekció tétel[szerkesztés]

Definíció: Legyen , ekkor definiáljuk S ortogonális komplementerét:

.


Tétel: Legyen H egy Hilbert-tér, M pedig egy zárt altér H-ban. Ekkor

Riesz reprezentációs tétel[szerkesztés]

Definíció (duális tér): Egy H Hilbert-tér H* duális terén, a H-n értelmezett folytonos lineáris funkcionálok Banach-terét értjük, azaz

a folytonosság (mivel normált terek közötti lineáris leképzésről van szó) egyenértékű a leképzés operátornorma szerinti korlátosságával, azaz egy lineáris függvényre igaz:

Tétel (Riesz reprezentáció): Minden -hez létezik pontosan egy , úgy hogy minden x-re H-ban, és
.

Vagyis a tétel azt mondja ki, hogy H duális tere egy Hilbert-tér, amely izometrikusan izomorf H-hoz. Ez az egyik leglényegesebb tulajdonsága a Hilbert-tereknek, és ez a tulajdonság különbözteti meg őket nagyban az általánosabb Banach-terektől.

Ezen tétel felhasználásával vezetik be a fizikusok a bra-ket írásmódot, mely a Hilbert-tér elemeit módon jelöli, és ket-vektoroknak nevezi őket, a duálvektorokat pedig módon, melyeket bra-vektoroknak nevez. Két vektor skaláris szorzata, pedig a duálvektor hattatása a vektorra: , azaz a duálvektort a vektor mellé írjuk, így a bra és a ket vektor képzi nyelvi humorral a bracket-et, azaz a skaláris szorzat jelölésére használt zárójelet.

Bázis[szerkesztés]

Definíció: A H Hilbert-tér egy maximális ortonormált rendszerét ortonormált bázisnak nevezzük. Azaz egy ortonormált bázis, ha B ortonormált rendszer, és B bármely -val való bővítés után, már nem ortonormált rendszer.

A Zorn-lemma (illetve a kiválasztási axióma) használatával megmutatható, hogy minden Hilbert-térnek van ortonormált bázisa.

Ha y egy H Hilbert-térbéli vektor és egy ortonormált bázisa H-nak, ahol I egy tetszőleges indexhalmaz, akkor:

, ahol csak megszámlálható sok -re nem nulla, és az összegzés független a sorrendtől. y kifejezése bázisvektorok soraként egyértelmű. Továbbá:

(Parseval tétel).

Megjegyzések[szerkesztés]

Minden Hilbert-tér egyben Banach-tér is (de fordítva nem igaz).
Minden L-2 tér egy Hilbert-tér.

Minden véges dimenziós belsőszorzattal rendelkező tér (mint az euklideszi-tér a szokásos skalár szorzattal) Hilbert-teret alkot. Valójában a végtelen dimenziós terek jelentősége az alkalmazások területén sokkal nagyobb. Pár példa ezekre:

A belső szorzat teszi lehetővé a „geometriai” látásmód megőrzését, és a véges dimenziós terekben megszokott geometriai nyelvezet használatát. Az összes végtelen dimenziós topologikus vektortér közül a Hilbert-terek a „legjobban viselkedőek” és ezek állnak legközelebb a véges dimenziós terekhez.

A Fourier-analízis egyik célja, hogy egy adott függvényt adott alapfüggvények kombinációjaként írjunk fel, azaz olyan (esetleg végtelen) összegként, melyben az alapfüggvények többszörösei a tagok. Ez a probléma absztrakt módon vizsgálható Hilbert-terekben: minden Hilbert-térnek van ortonormált bázisa, és a Hilbert-tér minden eleme egyféleképp írható fel a báziselemek kombinációjaként, azaz olyan összegként, melyben a bázisvektorok többszörösei (skalárszorosai) szerepelnek.

Ajánlott irodalom[szerkesztés]

  • Reed-Simon, Methods of modern mathematical physics, 1. volume: Functional Analysis, Academic Press, INC.

Források[szerkesztés]

  1. Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. 146-148. old. Typotex Kiadó, 2009. ISBN 978-963-279-026-8