Funkcionál

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A matematikában, különösen a funkcionálanalízis területén, hagyományosan funkcionálnak nevezzük azokat a függvényeket, melyek vektortérből képeznek a vektortér alaptestére, népszerűen fogalmazva a skalár-értékű vektorfüggvényeket. Az analízisben igen természetesen fordul elő függvények vektortere, ahol a funkcionál mint függvények függvénye manifesztálódik. A funkcionálok használata a variációszámításból ered, ahol azokat a függvényeket keresik, amiken egy bizonyos funkcionál a minimumát veszi fel. Különösen fontos alkalmazása - és nem kevésbé tipikus - a fizikában, amikor egynémely rendszer olyan állapotát keressük, amely minimalizálja a rendszer hatását.

Definíció[szerkesztés]

pontosan akkor funkcionál, ha létezik feletti vektortér, hogy , ahol . funkcionál akkor lineáris, ha bármely -ra és -ra , és .

Talán pontatlanabbul, de nem csak matematikusoknak érthetően: a funkcionál olyan függvény, amely függvényhez számot rendel. (Ezzel szemben a (szűkebb értelemben vett) függvény olyan függvény, amely számhoz számot, elemhez elemet, az operátor pedig olyan függvény, amely függvényhez függvényt rendel.) Ne tévesszen meg a függvény szó kétféle használata; a többi név speciálisabb.

Példák[szerkesztés]

Határozott integrál[szerkesztés]

A Riemann-integrálható függvények teréből értelmezett lineáris funkcionál az intervallumon vett határozott integrál:

.

Algebrai duális[szerkesztés]

Legyen vektortér felett. algebrai duálisa, , a -ből -ba ható lineáris funkcionálok a tere. Ekkor

, ahol euklideszi skalárszorzás,

ugyanis izomorfia és között.

Források[szerkesztés]

Kolmogorov, A. N. – Fomin, Sz. V.: A függvényelmélet és a funkcionálanalízis elemei; fordította: Szigeti Ferenc; Typotex 2010.