Euklideszi tér (lineáris algebra)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Euklideszi térnek[1] nevezzük azon T számtest, vagy integritási tartomány feletti vektortereket, melyekben a vektorterek axiómáin felül értelmezve van, egy ún. skaláris szorzat (euklideszi norma).

Euklideszi tér axiómái[szerkesztés]

  1. A skaláris szorzat a V-beli rendezett párokhoz egy, T-beli, nemnegatív elemet rendelő függvény, vagyis
    \forall \vec{a}, \vec{b} \in V, \langle\vec{a},\vec{b}\rangle \colon V \times V  \to T
  2. A skaláris szorzat részben kommutatív, vagyis
     \forall \vec{a}, \vec{b} \in V,  \langle\vec{a},\vec{b}\rangle=\overline{\langle\vec{b},\vec{a}\rangle} ,
    ahol a felülvonás a komplex konjugálást jelöli. (Természetesen a valós esetben kommutatív).
  3. A skalárszoros (skalár az alkotó testből, vagy int. tart.-ból) „elölről” kiemelhető, vagyis:
    \forall \vec{a}, \vec{b} \in V, \forall \lambda \in T, \langle\lambda  \vec{a},\vec{b}\rangle=\lambda  \langle\vec{a},\vec{b}\rangle
  4. Összeg elölről „szétszedhető”, vagyis:
    \forall \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in V,\langle\vec{a}+\vec{b},\vec{c}\rangle=\langle\vec{a},\vec{c}\rangle+ \langle\vec{b},\vec{c}\rangle

Tételek[szerkesztés]

Több kérdés is felmerülhet a definíciókkal kapcsolatban, először is az, hogy miért kellett a konjugálást bevezetni, elvetve így a kommutativitást, valamint, hogy miért pont hátulról kiemelhetők a tagok, és mi a helyzet az elöl lévő skalárszorzóval, és összeggel? Utóbbi két kérdést két egyszerű tétellel azonnal meg lehet válaszolni:

TÉTEL: \forall \vec{a}, \vec{b} \in V, \forall \lambda \in T, \langle\vec{a}, \lambda \vec{b}\rangle=\overline{\lambda } \langle\vec{a},\vec{b}\rangle
Bizonyítás: Egyszerűen az axiómákból, csak „hátulra kell varázsolni a skalárszorost” a részleges kommutativitást kihasználva, így jön be a képbe a konjugált, formálisan:
 \langle\vec{a},\lambda \vec{b}\rangle = (2. axióma)  \overline{\langle\lambda \vec{b}, \vec{a}\rangle} = (3. axióma) \overline{\lambda \langle\vec{b}, \vec{a}\rangle} = (komplex konjugálás szorzattartó)

=\overline{\lambda} \overline{\langle\vec{b}, \vec{a}\rangle} =(2. axióma) \overline{\lambda} \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle  QED

TÉTEL:  \forall \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in V, \langle\vec{a}, \vec{b} +\vec{c}\rangle=\langle\vec{a},\vec{b}\rangle + \langle\vec{a},\vec{c}\rangle
Bizonyítás: Teljesen hasonlóan az előzőhöz, vegyük észre, hogy ha felcseréljük a tagokat (természetesen konjugálással együtt), akkor a 4. axiómát alkalmazva kapjuk a kívánt képletet. QED

Az euklideszi norma[szerkesztés]

Minden euklideszi térben bevezethető valamilyen, „hosszúságszerű” fogalom. Ezt fogjuk euklideszi normának hívni, definíciója a következő:
Az euklideszi norma egy, V-ből T-be képező, nemnegatív értékeket felvevő függvény, amelyre (jelöléssel együtt):
\left| \left| \vec{a} \right| \right| :=  \sqrt{\langle\vec{a},\vec{a}\rangle}

Hajlásszög euklideszi terekben[szerkesztés]

A norma és skalárszorzat segítségével már definiálható két vektor hajlásszöge, melyen síkvektoroknál a nemnagyobb szöget értettük. A hajlásszög, csakúgy mint középiskolában azon érték lesz, melyet a cos függvény a  \frac{\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle}{ \left| \left| \vec{a} \right| \right| * \left| \left| \vec{b} \right| \right|} helyen felvesz, vagyis ennek az arkusz koszinusza.
A definíció jogosságához be kéne látni, hogy ez az érték mindig a [-1;1] intervallumba esik, de ez azonnal következik a Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz-egyenlőtlenségből. (Vagyis a számláló mindig kisebb vagy egyenlő abszolútértékben mint a nevező.)
A hajlásszög definíciójával már definiálni lehet az egymásra ortogonális, merőleges vektorokat is.

Ortogonális, ortonormált bázis[szerkesztés]

Két vektort egymásra merőlegesnek, ortogonálisnak mondunk, ha skaláris szorzatuk 0. Könnyen meggondolható, hogy a szokásos sík-, és térvektorok esetén ez pont akkor teljesül, ha egymással bezárt szögük \frac{\pi}{2} , vagyis a „derékszög”, hiszen ennek a koszinusza 0, így a skaláris szorzat is 0 lesz.

A következő tételhez még egy definíció kell, a normált vektoré.
Egy vektort normáltnak mondunk, ha normája az alkotó számtest (szorzás szerinti) egységeleme.

Schmidt-féle ortogonalizáció Minden euklideszi térben létezik ortonormált bázis, vagyis olyan bázis, melynek minden vektora páronként merőleges, normájuk pedig az egységelem.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. A matematikus nevének szabatos átírása Eukleidész volna, tehát a szerkezet eukleidészi tér, de ebben a kifejezésben hagyományosan rögzült euklideszi alakban (lásd például Püthagorasz, de Pitagorasz-tétel stb.).

Forrás[szerkesztés]

Dr. Szalay Mihály, Lineáris algebra előadás, ELTE-TTK/IK, (az elméleti háttér)