Banach-tér

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Banach-tér a modern analízis egyik alapvető fogalma. Teljes normált vektorteret értünk alatta, vagyis olyan vektorteret, mely a normából származtatott metrikára nézve teljes.

A pontos definíció tehát a következő:

A V vektortér Banach-tér pontosan akkor, ha értelmezett rajta egy ||.|| norma, melyre teljesül, hogy a belőle d(a,b):=||a-b|| összefüggéssel származtatott d távolságra nézve a V tér teljes, vagyis a V térben minden Cauchy-sorozat konvergens.

Elnevezés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Banach-tér elnevezés Stefan Banach lengyel matematikus nevét őrzi aki 1932-es monográfiájában (Théorie des opérations linéaires, Varsó) tárgyalta először részletesen és rendszeresen a teljes normált vektorterek tulajdonságait. A Banach-terek fogalmának egyébként magyar vonatkozása is van: a Banach-terekkel foglalkozó szakemberek a Banach-terek prototípusának az elsőként Riesz Frigyes magyar matematikus által tárgyalt L^p tereket szokták tekinteni. A Banach-tér tehát tekinthető úgy, mint az L^p terek absztrahálásából született fogalom.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

1. Az L^p és \mbox{ }_{\ell^{\,^p}} terek ( \mbox{ }_{p \in[1; \infty)} ) is Banach-terek.

2. Az adott [a,b] intervallumon folytonos függvények C[a,b] tere Banach-tér.

3. Az adott [a,b] intervallumon korlátos változású függvények V[a,b] tere Banach-tér.

4. Az n-dimenziós E_n euklideszi terek Banach-terek. Így természetesen a valós számok R halmaza is Banach-teret alkot.

5. A komplex számokból képzett n-dimenziós vektorok Cn tere is Banach-teret alkot.

Néhány fontos tulajdonság[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Banach-terek tekinthetők a Hilbert-terek általánosításának, mivel minden Hilbert-tér egyben Banach-tér is.

Megfordítva: egy Banach-tér pontosan akkor Hilbert-tér (vagyis pontosan akkor származtatható normája valamely skalárszorzatból), ha a tér feletti norma teljesíti a paralelogramma-azonosságot (ez a Jordan–Neumann-tétel).

Véges dimenziós normált vektorterek mind Banach-terek, hiszen az azonos dimenziójúak topologikusan izomorfak (véges dimenziós térben minden norma ekvivalens).

Banach-térbe ható korlátos lineáris transzformációk maguk is Banach-teret alkotnak.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Járai Antal (2002): Mérték és integrál. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest.
  • Kérchy László (1997): Bevezetés a véges dimenziós vektorterek elméletébe. Polygon, Szeged.
  • Mikolás Miklós (1978): Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest.
  • Szőkefalvi-Nagy Béla (1972): Valós függvények és függvénysorok. Tankönyvkiadó, Budapest.
  • Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. 148. old. Typotex Kiadó, 2009. ISBN 978-963-279-026-8