Mértéktér

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A mértéktér egy olyan matematikai fogalom, melynek segítségével a méréseket lehet értelmezni matematikai szigorúsággal. A mögöttes motiváció tulajdonképpen az integrál problémáit tartalmazza, így a két fogalom fejlődése kéz a kézben haladt. Bár a nevük hasonló, de a mértékterek és a metrikus terek között elvi különbség van, jelesül, hogy a metrika az alaphalmaz elempárjait, a mérték pedig a részhalmazait jellemzi.

Definíció[szerkesztés]

Mértéktérnek nevezünk egy hármast, ha halmaz, mérték felette és egy σ-algebrája. Ekkor -t az halmaz mértékének nevezzük. Ezzel kapcsolatban lehet a mértékterek néhány jellemzőjét is megadni:

  • Ha véges, akkor a mértékteret végesnek nevezzük.
  • σ-véges, ha létezik olyan -beli halmazrendszer, aminek minden eleme véges és egyesítése
  • Ha σ-véges, akkor a mértékteret is σ-végesnek nevezzük.
  • A mértéktér teljes, ha minden 0 mértékű halmaz minden részhalmaza mérhető.

A mértékterek fogalmát lehet általánosítani, ha a mértéket egy σ-additív, normált térbe ható vektorfüggvénnyel helyettesítjük. Ekkor a négyest vektormértéktérnek nevezzük.

Példák[szerkesztés]

  • A valós számok tetszőleges intervalluma a rész-intervallumaiból álló σ-algebrával ellátva a Lebesgue-mértékkel
  • Események egy halmaza a hozzátartozó eseményalgebrával és a valószínűségi mértékkel ( és )

Jegyzetek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

  • dr. Tómács Tibor: Mértékelmélet (Jegyzet, Eger, 2011.)
  • Kristóf János: Az analízis elemei (Jegyzet, ELTE Budapest, 1995)
  • Bronstejn - Szemengyajev - Musiol - Mühlig: Matematikai kézikönyv (TypoTEX, 2000) ISBN 963-9132-59-4