Weibull-eloszlás
A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a Weibull-eloszlás egy folytonos valószínűség-eloszlás.
Ezt az eloszlást Waloddi Weibullról nevezték el, aki 1951-ben írta le részletesen.
Az eloszlást Maurice Fréchet (1927) fedezte fel, és 1933-ban alkalmazták először granulált részecskék (granulátumok) eloszlására.
Meghatározás
[szerkesztés]A Weibull x valószínűségi változó valószínűség-sűrűségfüggvénye:[1]
ahol k > 0 az alakparaméter és λ > 0 a skálaparaméter. A komplementer kumulatív eloszlásfüggvénye a nyújtott exponenciális függvény. A Weibull-eloszlás több más valószínűségi eloszlással is kapcsolatos, különösen az exponenciális eloszlással (k = 1), és a Rayleigh-eloszlással (k = 2). A Weibull-eloszlás ez utóbbi kettő közötti interpolációjának tekinthető. Ha x az az érték, mely a meghibásodásig eltelt időt jelzi, akkor a Weibull-eloszlás az idővel arányos meghibásodási gyakoriságot jelzi. A k alakparaméter értelmezése a következő:
- k<1 azt jelenti, hogy a meghibásodási gyakoriság idővel csökken. Ez akkor fordul elő, ha a kezdeti meghibásodás jelentős, és idővel ezért csökken a meghibásodás, mert a potenciálisan hibás elemek már kiestek a rendszerből.
- k=1 esetén a meghibásodási gyakoriság időben állandó. Ez azt jelenti, hogy a hibákat véletlenszerű külső események okozzák.
- k>1 azt jelzi, hogy a meghibásodási gyakoriság időben növekszik. Ez akkor fordulhat elő, amikor a vizsgálat tárgya az öregedési tartományba kerül, a rendszer alkotóelemei az elöregedés, és az elhasználódás miatt egyre gyakrabban hibásodnak meg.
Az anyagtudományok területén a k alakparaméter Weibull-modulusként ismert.
Tulajdonságok
[szerkesztés]Sűrűségfüggvény
[szerkesztés]A Weibull-eloszlás sűrűségfüggvénye drasztikusan változik a k értéktől függően.
0 < k < 1 tartományban a sűrűségfüggvény ∞ felé tart, ha x tart a zéróhoz.
k = 1 esetében a sűrűségfüggvény az 1/λ felé tart, amikor x közelít a zéróhoz.
k > 1 esetén a sűrűségfüggvény zéróhoz tart, ha x zéróhoz tart, és monoton nő a maximumig, majd csökkenni kezd. Érdemes megjegyezni, hogy a sűrűségfüggvény negatív meredekségű x=0-nál, ha 0 < k < 1; monoton pozitív meredekségű x= 0-nál, ha 1 < k < 2, és lapos x= 0-nál, ha k > 2.
k= 2 esetén a sűrűség monoton pozitív meredekségű x=0-nál.
Ha k tart a végtelenbe, a Weibull-eloszlás a Dirac delta eloszláshoz konvergál x= λ középértékkel.
Eloszlásfüggvény
[szerkesztés]A Weibull-eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye:
x ≥ 0, és F(x; k; λ) = 0 x < 0 esetén. A meghibásodási gyakoriság h (vagy hazárd ráta):
Momentumok
[szerkesztés]A Weibull-eloszlású valószínűségi változók logaritmusának a momentum-generáló függvénye:[2]
ahol a gamma-függvény. Hasonlóan a log X karakterisztikus függvénye:
Az X n-edik nyers momentuma:
Egy Weibull valószínűségi változó középértéke és szórásnégyzete:
és
A ferdeség:
ahol a középérték és a szórás. A többletlapultság:
ahol . A lapultság még kifejezhető így is:
Momentum-generáló függvény
[szerkesztés]Számos kifejezés ismert a X momentum-generáló függvényre: sorozatként:
Integrálként:
Ha k racionális szám, k = p/q, ahol p és q egész, akkor ezt az integrál analitikus módon kiértékelhető.[3] Ha t–t helyettesítjük t-vel, akkor:
ahol G a Meijer G-függvény. A karakterisztikus függvény is kiszámítható Muraleedharan és társai által kidolgozott módon.[4]
Az információ entrópiája
[szerkesztés]Az információ entrópiája (Shannon-entrópiafüggvény):
ahol az Euler–Mascheroni állandó.
Weibull-plot
[szerkesztés]A Weibull-eloszlást vizuálisan a Weibull-plot jelenítheti meg.[5] A Weibull-plot a tapasztalati kumulatív eloszlásfüggvény megjelenítése. Egy Q-Q plot-ban speciális tengelyeket használva az adat ábrázolható. A tengelyek és . A változók megváltozástatásának az oka a kumulatív eloszlásfüggvény linearizálása:
Ha az adat a Weibull-eloszlásból származik, akkor a Weibull-plotban egy közel egyenes vonal várható. Számos megközelítés létezik arra, amikor a tapasztalati eloszlásfüggvény generálása történik. Az egyik módszer, amikor minden egyes pont függőleges koordinátája a következő összefüggésből származik: ahol az adat rangsora és az adatpontok száma.[6] A Weibull-eloszlás paramétereinek kiértékeléséhez a lineáris regresszió módszere is alkalmazható. A gradiens a alak paraméterről ad információt közvetlenül, és a paraméterre is lehet következtetni.
Alkalmazás
[szerkesztés]A Weibull-eloszlást a következő területeken alkalmazzák:
- Túlélés-analízis[7]
- Hibananalizis
- Megbízhatósági számítások
- Ipari termelésnél (szállítási idők stb.)
- Időjárás-előrejelzés (szélsebesség-eloszlás)[8]
- Extrémérték-elmélet
- Kommunikációban (radar képek kiértékelésénél, mobil kommunikációban a csatornák áthallás vizsgálatánál)
- Általános (nem élet-) biztosításoknál
- Technológiaváltozásoknál
- Hidrológiában (egynapos esők maximális mennyisége, folyó áradások becslése)
- Granulált részecskék méretének becslésénél
Kapcsolódó eloszlások
[szerkesztés]A kiegészített Weibull-eloszlás egy járulékos paramétert tartalmaz.[2]
Ennek a valószínűség-sűrűségfüggvénye:
és f(x; k, λ, θ) = 0 x < θ-re, ahol is az alakparaméter, a skálaparameter és a a helyparaméter. Ha θ=0, akkor ez 2 paraméteres eloszlásra redukálja az eloszlást.
A Weibull-eloszlás úgy is jellemezhető, mint egy X valószínűségi változó eloszlása:
mely az exponenciális eloszlás 1 intenzitással.[2]
A Weibull-eloszlás egy interpoláció az exponenciális eloszlás (1/λ intenzitással, ha k = 1) és a Rayleigh-eloszlás között, amikor a Rayleigh eloszlásnál ha k = 2. A Weibull-eloszlás jellemezhető az állandó eloszlással is. Ha X eloszlása állandó (0,1),tartományban, akkor a valószínűségi változó Weibull-eloszlású k és λ paraméterekkel. Ez egy egyszerűen implementálható numerikus sémát ad a Weibull-eloszlás szimulációjára.
A Weibull-eloszlás a három paraméteres hatványozott Weibull-eloszlás egy speciális esete, ahol a járulékos kitevő =1. A hatványozott Weibull-eloszláshoz tartozik az „unimodális fürdőkádgörbe” és a monoton hiba ráta.[9]
A Weibull-eloszlás az általánosított extrémérték-eloszlás egy speciális esete. Ebben a kapcsolatban azonosította először Maurice Fréchet 1927-ben a Weibull-eloszlást. Az ezzel szoros kapcsolatban lévő Fréchet-eloszlás (Fréchet-ről elnevezve), a következő valószínűség sűrűség eloszlással rendelkezik:
A Weibull-eloszlást a 3 paraméteres hatványozott Weibull-eloszlásra is lehet általánosítani. Ez az az eset, amikor a meghibásodási ráta több tényezőtől függ, és időnként nő, máskor meg csökken (lásd: fürdőkádgörbe). Azt az eloszlást, melyet minimálisan több valószínűségi változó határoz meg, és mindegyiknek különböző Weibull-eloszlása van, azt poli-Weibull-eloszlásnak hívják.
Irodalom
[szerkesztés]- Obádovics J. Gyula: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika. (hely nélkül): Scolar Kft. 2009. 334. o. ISBN 9789632440675
- Fréchet, Maurice: Sur la loi de probabilité de l'écart maximum. (hely nélkül): Annales de la Société Polonaise de Mathematique. 1927. 93–116. o.
- Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N: Continuous univariate distributions. Vol. 1, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics (2nd ed.). (hely nélkül): New York: John Wiley & Sons. 1994. ISBN 978-0-471-58495-7
- Weibull, Waloddi: A statistical distribution function of wide applicability. (hely nélkül): J. Appl. Mech.-Trans. ASME 18 (3). 1951. 293–297. o.
Kapcsolódó szócikkek
[szerkesztés]- Fisher–Tippett–Gnedenko elmélet
- Statisztika
- Rayleigh-fading
- Normális eloszlás
- Exponenciális eloszlás
- Gamma-eloszlás
- Shannon-entrópiafüggvény
- Entrópia
- Lapultság
- Fürdőkádgörbe
- poli-Weibull-eloszlás
- Fréchet-eloszlás
- Általánosított extrémérték-eloszlás
- Hatványozott Weibull-eloszlás
- Extrémérték-elmélet
- Nyújtott exponenciális függvény
Források
[szerkesztés]- ↑ Papoulis, Pillai, "Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 4th Edition
- ↑ a b c Johnson, Kotz & Balakrishnan 1994
- ↑ See (Cheng, Tellambura & Beaulieu 2004) for the case when k is an integer, and (Sagias & Karagiannidis 2005) for the rational case.
- ↑ http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378383907000452
- ↑ The Weibull plot
- ↑ Wayne Nelson (2004) Applied Life Data Analysis. Wiley-Blackwell ISBN 0471644625
- ↑ Survival/Failure Time Analysis. [2012. január 5-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2011. december 24.)
- ↑ http://www.reuk.co.uk/Wind-Speed-Distribution-Weibull.htm Wind Speed Distribution Weibull
- ↑ System evolution and reliability of systems. Sysev (Belgium), 2010. január 1.