Ugrás a tartalomhoz

Weibull-eloszlás

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a Weibull-eloszlás egy folytonos valószínűség-eloszlás.

Ezt az eloszlást Waloddi Weibullról nevezték el, aki 1951-ben írta le részletesen.

Az eloszlást Maurice Fréchet (1927) fedezte fel, és 1933-ban alkalmazták először granulált részecskék (granulátumok) eloszlására.

Meghatározás

[szerkesztés]

A Weibull x valószínűségi változó valószínűség-sűrűségfüggvénye:[1]

ahol k > 0 az alakparaméter és λ > 0 a skálaparaméter. A komplementer kumulatív eloszlásfüggvénye a nyújtott exponenciális függvény. A Weibull-eloszlás több más valószínűségi eloszlással is kapcsolatos, különösen az exponenciális eloszlással (k = 1), és a Rayleigh-eloszlással (k = 2). A Weibull-eloszlás ez utóbbi kettő közötti interpolációjának tekinthető. Ha x az az érték, mely a meghibásodásig eltelt időt jelzi, akkor a Weibull-eloszlás az idővel arányos meghibásodási gyakoriságot jelzi. A k alakparaméter értelmezése a következő:

  • k<1 azt jelenti, hogy a meghibásodási gyakoriság idővel csökken. Ez akkor fordul elő, ha a kezdeti meghibásodás jelentős, és idővel ezért csökken a meghibásodás, mert a potenciálisan hibás elemek már kiestek a rendszerből.
  • k=1 esetén a meghibásodási gyakoriság időben állandó. Ez azt jelenti, hogy a hibákat véletlenszerű külső események okozzák.
  • k>1 azt jelzi, hogy a meghibásodási gyakoriság időben növekszik. Ez akkor fordulhat elő, amikor a vizsgálat tárgya az öregedési tartományba kerül, a rendszer alkotóelemei az elöregedés, és az elhasználódás miatt egyre gyakrabban hibásodnak meg.

Az anyagtudományok területén a k alakparaméter Weibull-modulusként ismert.

Tulajdonságok

[szerkesztés]

Sűrűségfüggvény

[szerkesztés]
Valószínűség-sűrűségfüggvény (2 paraméteres)
Kumulatíveloszlás-függvény (2 paraméteres)

A Weibull-eloszlás sűrűségfüggvénye drasztikusan változik a k értéktől függően.

0 < k < 1 tartományban a sűrűségfüggvény ∞ felé tart, ha x tart a zéróhoz.

k = 1 esetében a sűrűségfüggvény az 1/λ felé tart, amikor x közelít a zéróhoz.

k > 1 esetén a sűrűségfüggvény zéróhoz tart, ha x zéróhoz tart, és monoton nő a maximumig, majd csökkenni kezd. Érdemes megjegyezni, hogy a sűrűségfüggvény negatív meredekségű x=0-nál, ha 0 < k < 1; monoton pozitív meredekségű x= 0-nál, ha 1 < k < 2, és lapos x= 0-nál, ha k > 2.

k= 2 esetén a sűrűség monoton pozitív meredekségű x=0-nál.

Ha k tart a végtelenbe, a Weibull-eloszlás a Dirac delta eloszláshoz konvergál x= λ középértékkel.

Eloszlásfüggvény

[szerkesztés]

A Weibull-eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye:

x ≥ 0, és F(x; k; λ) = 0 x < 0 esetén. A meghibásodási gyakoriság h (vagy hazárd ráta):

Momentumok

[szerkesztés]

A Weibull-eloszlású valószínűségi változók logaritmusának a momentum-generáló függvénye:[2]

ahol a gamma-függvény. Hasonlóan a log X karakterisztikus függvénye:

Az X n-edik nyers momentuma:

Egy Weibull valószínűségi változó középértéke és szórásnégyzete:

és

A ferdeség:

ahol a középérték és a szórás. A többletlapultság:

ahol . A lapultság még kifejezhető így is:

Momentum-generáló függvény

[szerkesztés]

Számos kifejezés ismert a X momentum-generáló függvényre: sorozatként:

Integrálként:

Ha k racionális szám, k = p/q, ahol p és q egész, akkor ezt az integrál analitikus módon kiértékelhető.[3] Ha t–t helyettesítjük t-vel, akkor:

ahol G a Meijer G-függvény. A karakterisztikus függvény is kiszámítható Muraleedharan és társai által kidolgozott módon.[4]

Az információ entrópiája

[szerkesztés]

Az információ entrópiája (Shannon-entrópiafüggvény):

ahol az Euler–Mascheroni állandó.

Weibull-plot

[szerkesztés]

A Weibull-eloszlást vizuálisan a Weibull-plot jelenítheti meg.[5] A Weibull-plot a tapasztalati kumulatív eloszlásfüggvény megjelenítése. Egy Q-Q plot-ban speciális tengelyeket használva az adat ábrázolható. A tengelyek és . A változók megváltozástatásának az oka a kumulatív eloszlásfüggvény linearizálása:

Ha az adat a Weibull-eloszlásból származik, akkor a Weibull-plotban egy közel egyenes vonal várható. Számos megközelítés létezik arra, amikor a tapasztalati eloszlásfüggvény generálása történik. Az egyik módszer, amikor minden egyes pont függőleges koordinátája a következő összefüggésből származik: ahol az adat rangsora és az adatpontok száma.[6] A Weibull-eloszlás paramétereinek kiértékeléséhez a lineáris regresszió módszere is alkalmazható. A gradiens a alak paraméterről ad információt közvetlenül, és a paraméterre is lehet következtetni.

Alkalmazás

[szerkesztés]

A Weibull-eloszlást a következő területeken alkalmazzák:

  • Túlélés-analízis[7]
  • Hibananalizis
  • Megbízhatósági számítások
  • Ipari termelésnél (szállítási idők stb.)
  • Időjárás-előrejelzés (szélsebesség-eloszlás)[8]
  • Extrémérték-elmélet
  • Kommunikációban (radar képek kiértékelésénél, mobil kommunikációban a csatornák áthallás vizsgálatánál)
  • Általános (nem élet-) biztosításoknál
  • Technológiaváltozásoknál
  • Hidrológiában (egynapos esők maximális mennyisége, folyó áradások becslése)
  • Granulált részecskék méretének becslésénél

Kapcsolódó eloszlások

[szerkesztés]

A kiegészített Weibull-eloszlás egy járulékos paramétert tartalmaz.[2]

Ennek a valószínűség-sűrűségfüggvénye:

és f(x; k, λ, θ) = 0 x < θ-re, ahol is az alakparaméter, a skálaparameter és a a helyparaméter. Ha θ=0, akkor ez 2 paraméteres eloszlásra redukálja az eloszlást.

A Weibull-eloszlás úgy is jellemezhető, mint egy X valószínűségi változó eloszlása:

mely az exponenciális eloszlás 1 intenzitással.[2]

A Weibull-eloszlás egy interpoláció az exponenciális eloszlás (1/λ intenzitással, ha k = 1) és a Rayleigh-eloszlás között, amikor a Rayleigh eloszlásnál ha k = 2. A Weibull-eloszlás jellemezhető az állandó eloszlással is. Ha X eloszlása állandó (0,1),tartományban, akkor a valószínűségi változó Weibull-eloszlású k és λ paraméterekkel. Ez egy egyszerűen implementálható numerikus sémát ad a Weibull-eloszlás szimulációjára.

A Weibull-eloszlás a három paraméteres hatványozott Weibull-eloszlás egy speciális esete, ahol a járulékos kitevő =1. A hatványozott Weibull-eloszláshoz tartozik az „unimodális fürdőkádgörbe” és a monoton hiba ráta.[9]

A Weibull-eloszlás az általánosított extrémérték-eloszlás egy speciális esete. Ebben a kapcsolatban azonosította először Maurice Fréchet 1927-ben a Weibull-eloszlást. Az ezzel szoros kapcsolatban lévő Fréchet-eloszlás (Fréchet-ről elnevezve), a következő valószínűség sűrűség eloszlással rendelkezik:

A Weibull-eloszlást a 3 paraméteres hatványozott Weibull-eloszlásra is lehet általánosítani. Ez az az eset, amikor a meghibásodási ráta több tényezőtől függ, és időnként nő, máskor meg csökken (lásd: fürdőkádgörbe). Azt az eloszlást, melyet minimálisan több valószínűségi változó határoz meg, és mindegyiknek különböző Weibull-eloszlása van, azt poli-Weibull-eloszlásnak hívják.

Irodalom

[szerkesztés]
  • Obádovics J. Gyula: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika. (hely nélkül): Scolar Kft. 2009. 334. o. ISBN 9789632440675  
  • Fréchet, Maurice: Sur la loi de probabilité de l'écart maximum. (hely nélkül): Annales de la Société Polonaise de Mathematique. 1927. 93–116. o.  
  • Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N: Continuous univariate distributions. Vol. 1, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics (2nd ed.). (hely nélkül): New York: John Wiley & Sons. 1994. ISBN 978-0-471-58495-7  
  • Weibull, Waloddi: A statistical distribution function of wide applicability. (hely nélkül): J. Appl. Mech.-Trans. ASME 18 (3). 1951. 293–297. o.  

Kapcsolódó szócikkek

[szerkesztés]

Források

[szerkesztés]
  1. Papoulis, Pillai, "Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 4th Edition
  2. a b c Johnson, Kotz & Balakrishnan 1994
  3. See (Cheng, Tellambura & Beaulieu 2004) for the case when k is an integer, and (Sagias & Karagiannidis 2005) for the rational case.
  4. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378383907000452
  5. The Weibull plot
  6. Wayne Nelson (2004) Applied Life Data Analysis. Wiley-Blackwell ISBN 0471644625
  7. Survival/Failure Time Analysis. [2012. január 5-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2011. december 24.)
  8. http://www.reuk.co.uk/Wind-Speed-Distribution-Weibull.htm Wind Speed Distribution Weibull
  9. System evolution and reliability of systems. Sysev (Belgium), 2010. január 1.