Kovarianciamátrix

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A valószínűségszámításban a kovarianciamátrix pozitív szemidefinit vagy pozitív definit mátrix, ami több valószínűségi változóhoz vagy valószínűségi vektorváltozóhoz definiálható. Átlóján szórásnégyzetek találhatók, a többi elem a megfelelő valószínűségi változók illetve koordináták kovarianciája. Az egydimenziós szórásnégyzet általánosítása.

Definíció[szerkesztés]

Legyen valószínűségi vektorváltozó,

.

Legyen az várható értéke, a szórásnégyzete, a két koordináta, és kovarianciája. várható értéke

,

vagyis a várható értékek vektora. Az kovarianciamátrixa: [1]

A várható értékek vektora és a kovarianciamátrix az eloszlás legfontosabb jellemzői- Megadásuk: . A kovarianciamátrix, mint a kovarianciák mátrixa tartalmazza a koordináták szórásnégyzetét és a koordináták közötti lineáris kapcsolatot jellemző kovarianciákat.

A különböző elemek száma vagy . Ha a koordináták egyike sem degenerált, és nincs tökéletes kollinearitás, akkor a kovarianciamátrix pozitív definit.

Kapcsolat a várható értékkel[szerkesztés]

Ha a valószínűségi vektorváltozó várható értéke, akkor

.

Ahol a vektorok és mátrixok várható értékei koordinátánként értendők.

Egy várható értékű és adott kovarianciamátrixú valószínűségi vektorváltozó szimulálható a következő módon: Elkészítjük a kovarianciamátrix például Choleski-felbontását:

.

Ekkor a valószínűségi vektorváltozó:

ahol valószínűségi vektorváltozó, melynek koordinátái egymástól független normális eloszlásúak.

Két vektor kovarianciamátrixa[szerkesztés]

Két vektor kovarianciamátrixa

ahol az várható értéke és az várható értéke.

Tulajdonságai[szerkesztés]

  • Ha , akkor a mátrixkoordináták számításának módja az i-edik vektorkoordináta szórásnégyzetét adja. Tehát a főátlón a szórásnégyzetek állnak, így nem lehetnek negatívok.
  • Valós kovarianciamátrix szimmetrikus, mivel a kovariancia szimmetrikus.
  • A kovarianciamátrix pozitív szemidefinit. Szimmetriája miatt főtengely-transzformációkkal diagonizálható, és az így kapott mátrix szintén kovarianciamátrix. Mivel a főátlón csak szórásnégyzetek állnak, azért ez pozitív szemidefinit, ezért az eredeti is az.
  • Megfordítva, minden pozitív szemidefinit méretű szimmetrikus mátrix kovarianciamátrix.
  • A szimmetria, pozitív szemidefinitség és diagonizálhatóság miatt a kovarianciamátrixok ellipszoidként ábrázolhatók.
  • Minden mátrixra és vektorra teljesül, hogy .
  • Minden vektorra teljesül, hogy .
  • Ha és korrelálatlan valószínűségi vektorváltozók, akkor

.

Regresszió[szerkesztés]

Ha a regressziós modell alakja

,

és az hibatag idioszinkratikus, akkor a kovarianciamátrix

Hatékonysági kritérium[szerkesztés]

Egy pontbecslő hatékonysága illetve hatékonysága mérhető a kovarianciamátrixszal, mivel tartalmazza a különböző komponensek közötti kovarianciát. Általában, egy pontbecslő hatékonyságát a kovarianciamátrixszal mérik: minél kisebb a mátrix, annál jobb a becslés. Legyen és torzítatlan valószínűségi vektorváltozó. Ha méretű valószínűségi vektorváltozó, akkor méretű szimmetrikus pozitív definit mátrix. Azt mondjuk, hogy kisebb, mint , ha pozitív szemidefinit.[2]

Forrás[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Kovarianzmatrix című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

  1. George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T.C. Lee. Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 1988, S. 43.
  2. George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T.C. Lee. Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 1988, S. 78.