Differenciálszámítás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Egyváltozós függvényrajz (feketével), és ennek érintője (vörössel) a piros körrel jelzett pontban. Az érintő meredeksége megegyezik az adott pontban számított deriválttal. A képen az érintő lejt, így az itteni derivált egy negatív szám.

A differenciálszámítás a matematikai analízis egyik legfontosabb módszere. Azt vizsgálja, hogy a (valós vagy komplex értékű) függvények hogyan változnak néhány (esetleg az összes, de legalább egy) független változó változására. Ennek jellemzésére a differenciálszámítás elsődleges fontosságú fogalma, a derivált szolgál.

Egyváltozós valós-valós függvénynél (valós számokhoz valós számokat rendelünk, síkban többnyire ábrázolható) a pontbéli derivált egyenlő az adott pontban húzott érintő meredekségével (kivétel ez alól az inflexiós pont). Általánosságban egy függvény deriváltja megmutatja az adott függvény tárgyalt pontjában való legjobb lineáris közelítését.

A derivált megkeresésének folyamatát nevezzük differenciálásnak. Bizonyítható, hogy a differenciálás az integrálás inverz művelete.

A differenciálszámítást a természettudományok túlnyomó részében használjuk. Például a fizikában egy testre vonatkozó helyvektor időfüggvényének idő szerinti első deriváltja a sebesség. Newton második mozgási törvénye értelmében egy adott testre ható erővektorok algebrai összegének időfüggvénye egyenlő a testre vonatkozó impulzusvektor időfüggvényének idő szerinti első deriváltjával. A kémiában a reakcióidőket, az operációkutatásban a gazdaságosságokat, a játékelméletben megfelelő stratégiákat lehet meghatározni vele stb.

A deriváltakat gyakran függvények extrémumainak meghatározására is alkalmazzuk. Függvényegyenletek is tartalmazhatnak deriváltakat, ezeket differenciálegyenleteknek nevezzük. Sok jelenségét le tudunk írni a differenciálszámítás alkalmazásával, általában azokat, melyek folytonos mozgással vagy változásokkal modellezhetőek.

A deriválási tételek, szabályok, tulajdonságok és ezek általánosításai megjelennek még a komplex analízisben, a függvényanalízisben, a differenciálgeometriában, az absztrakt algebrában is, illetve mind az elméleti, mind az alkalmazott természettudományok további területein.

A derivált[szerkesztés]

  • Az alábbiakban csakis kizárólag egyváltozós, valós explicit függvények differenciálásával fogunk foglalkozni.

Legyen x és y valós szám, és y legyen x függvénye, tehát y = f(x). Az egyik legegyszerűbb függvény a lineáris függvény. Ennek képe egy egyenes. Ekkor y = f(x) = m x + c, ahol m és c valós számok. Itt m határozza meg f(x) meredekségét, c pedig azt, hogy f(x) hol metszi az y tengelyt (leggyakrabban ezt vertikális tengelyként ábrázoljuk). Könnyen belátható, hogy . A Δ a görög delta betű, jelentése itt: "változás". Mivel y + Δy = f(x+ Δx) = m (x + Δx) + c = m x + c + m Δx = y + mΔx, ebből következik, hogy Δy = m Δx.

Bár ez csak lineáris függvényekre igaz, folytonos f függvényt közelíthetünk lineáris függvénnyel.

Elemi függvények deriváltjai[szerkesztés]

Tételezzük fel, hogy f(x) függvény az értelmezési tartomány egészén folytonos, tehát nincs szakadása, továbbá differenciálható.

Alapfüggvény típusa Általános jelölése (elsőrendű) Deriváltja
Konstans függvény
Lineáris függvény
Hatványfüggvény
Szinusz trig.m.fv.
Koszinusz trig.m.fv.
Exponenciális függvény
Logaritmus függvény

Inverz- és egyéb további függvények deriváltjairól a Derivált szócikkben olvashatsz.

Differenciálási szabályok[szerkesztés]

Vannak olyan összetett függvények, melyek nem lettek külön megemlítve az elemi függvények deriváltfüggvényei között. Ezek például a két függvény hányadosából előállított függvények. Összetett függvények differenciálásához szükségesek a következő szabályok:

miszerint, két függvény összegének deriváltján az egyik függvény deriváltjának, valamint a másik függvény deriváltjának összegét értjük.

tehát, bármely függvény "szorzó-konstansa" kivihető a deriváltjel alól (melyek az integrálási azonosságokhoz hasonlóan adódnak).

vagyis, azt mondhatjuk, hogy két függvény szorzatának deriváltja az egyik függvény deriváltjának és a másik függvény szorzatának, valamint az egyik függvény és a másik függvény deriváltjának szorzatának összegével egyenlő.

avagy, két függvény hányadosának deriváltján (a két függvény szorzatának deriváltjából kiindulva) az egyik függvény deriváltjának és a másik függvény szorzatának, valamint az egyik függvény és a másik függvény deriváltjának szorzatának különbségének és a második függvény négyzetének hányadosával egyenlő.

  • (láncszabály)

azaz, két függvény kompozíciójának deriváltja az első függvény deriváltjának a második függvény értékén, és a második függvény deriváltjának szorzatával egyenlő.

A differenciálszámítás gyakorlati alkalmazása[szerkesztés]

Analízis[szerkesztés]

Legyen adott az harmadfokú függvény. Elemezzük ezt a függvényt az alábbi szempontok alapján:

  • Függvénytípus meghatározása (a függvénycsalád definiálása)
  • Értelmezési tartomány
  • Értékkészlet
  • Zérushely(ek)
  • Határérték
  • Szélsőértékek (extrémumok)
  • Monotonitás
  • Inflexiós pont(ok)
  • Konvexitás
  • Sajátos függvényvonások: paritás (és szimmetria), aszimptoták.

Függvénytípus: Egyváltozós explicit, algebrai és harmadfokú függvény.

Értelmezési tartomány:

Értékkészlet:

Zérushely(ek):

A zérushelyek megállapításához meg kell oldanunk a következő harmadfokú egyenletet:

(kiemeltünk 'x'-et)

Ebből a megoldások: és

Határérték(ek):

(tehát a függvénynek az értelmezési tartomány egészén nincs határértéke /az intervallumon/.)

Extrémumok (lokális szélsőértékek):

Bármely függvény (lehetséges!) szélsőértékeinek helyét a függvény első deriváltjának zérushelye(i) adja:

Hogy melyik x lesz a minimum és maximum hely, azt az f(x)-be történő behelyettesítés után kapott érték után tudjuk egyértelműen eldönteni (a kapott x-eket helyettesítsük be f(x)-be!):

Tehát:

Így: .

Ha az első derivált 0, még mindig elképzelhető, hogy a függvénynek azon a helyen nincs sem lokális minimuna, sem lokális maximuma, például a függvény deriváltja a 0 helyen: , pedig nincs szélsőérték.

Monotonitás:

A monotonitás meghatározásához többféle kalkulus módszert és/vagy tételt alkalmazhatunk, mi azonban használjuk fel azt, hogy az extrémumok meghatározása után vagyunk és tudunk következtetést mondani a függvény egyszerűsége miatt a függvény monotonitására. A páratlan kitevős algebrai függvény grafikonja és a lokális szélsőértékek miatt:

f(x) függvény extrémumai (x):

és , tehát tekintsük ezen pontok halmazait monotonitás szempontjából:

  • Az f(x) függvény szigorúan monoton növekvő az intervallumon
  • Az f(x) függvény szigorúan monoton csökkenő ugyanezen valós számhalmaz komplementerén, azaz:

Inflexiós pontok (konvexitás határok): Bármely függvény inflexiós pontja(i)nak helyét a függvény második deriváltjának zérushelye(i) adja meg:

Az inflexiós pont (IP) koordinátái: .

Figyeljünk arra, hogy inflexiós pont sem mindig létezik, csak ha , tehát a harmadik deriváltnak zérustól különbözőnek kell lennie. Vannak azonban olyan esetek, amikor ennek ellenére mégis van zérushelye a függvénynek (pl. az , mivel e függvény inflexiós pontja: ).

Konvexitás:

Az inflexiós pontnak és a függvény grafikonjának megsejtésének köszönhetően megmondhatjuk, hogy a függvény hol konvex, illetve konkáv:

  • Az f(x) függvény konvex az x ∈ ]-∞ ; -16/6 [ intervallum egészén;
  • Az f(x) függvény konkáv az x ∈ ]-16/6 ; +∞ [ intervallum egészén.

Koordinátageometria[szerkesztés]

Lineáris közelítés: Legyen adott f függvény. Ekkor f-nek az x0 abszcisszájú pontjába húzható érintőjének egyenlete: y = f(x0)+f'(x0)(x-x0). Tekintsük az f(x)=x² algebrai polinom függvényt, valamint x0=4 pontját. Ekkor f-nek az x0 abszcisszájú pontjába húzható érintő egyenes egyenlete esetünkben: y = 16 + 8(x-4), azaz: 8x - y = 16. Megj.: minden lineáris és konstans függvény érintője önmaga (∀x∈R-ben)

Simulókör egyenlete:

Ívdifferenciál kiszámítása. A függvények differenciáljának definícióját felhasználva: r = √1+y'².

Differenciálegyenletek[szerkesztés]

Differenciálegyenletek megoldása és megoldhatósága, nevezetes és közönséges differenciálegyenletek és problémák.

Egyéb analitikus területek[szerkesztés]

Középérték tétel: Legyen adott az f függvény, amelyre teljesül, hogy folytonos az [a, b] intervallumon, valamint differenciálható az ]a, b[ intervallumon. Ekkor ∃c∈]a, b[, hogy azt mondhatjuk: [f(b)-f(a)]:(b-a) = f'(c).

Függvények közelítő értéke: Legyen adott f függvény, melynek x0 helyen vett helyettesítési értékét nem, vagy csak feltételesen, illetve legtöbbször csak hosszú munkával tudnánk kiszámítani. Ekkor az f(x0+t) helyettesítési értéket a differenciálszámítás tulajdonságát kihasználva felbontással úgy kapjuk, hogy: f(x0+t) = f(x0)+f'(x0)t (feltéve, hogy t minimális). Számítsuk ki f=√1000 értékét! Nyilvánvaló, hogy 1024-et könnyen meg tudjuk mondani kettő egész kitevős hatványaként: 210, mely 1000-hez kellően közeli környezetében van. Ekkor a képletet felhasználva: f(1024-24)=32+(1/2·32)·(-24) ≈ 31,62.

Források[szerkesztés]

  • Thomas, George B., Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano. 3-4., Thomas-féle Kalkulus I., 2. kiadás (magyar nyelven), Typotex: Budapest. ISBN 978 963 2790 114 (2006)