Differenciálszámítás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Egyváltozós függvényrajz (feketével), és ennek érintője (vörössel) a piros körrel jelzett pontban. Az érintő meredeksége megegyezik az adott pontban számított deriválttal. A képen az érintő lejt, így az itteni derivált egy negatív szám.

A differenciálszámítás a matematikai analízis egyik legfontosabb módszere. Azt vizsgálja, hogy a (valós vagy komplex értékű) függvények hogyan változnak néhány (esetleg az összes, de legalább egy) független változó változására. Ennek jellemzésére a differenciálszámítás elsődleges fontosságú fogalma, a derivált szolgál.

Egyváltozós valós-valós függvénynél (valós számokhoz valós számokat rendelünk, síkban többnyire ábrázolható) a pontbéli derivált egyenlő az adott pontban húzott érintő meredekségével (kivétel ez alól az inflexiós pont). Általánosságban egy függvény deriváltja megmutatja az adott függvény tárgyalt pontjában való legjobb lineáris közelítését.

A derivált megkeresésének folyamatát nevezzük differenciálásnak. Bizonyítható, hogy a differenciálás az integrálás inverz művelete.

A differenciálszámítást a természettudományok túlnyomó részében használjuk. Például a fizikában egy testre vonatkozó helyvektor időfüggvényének idő szerinti első deriváltja a sebesség. Newton második mozgási törvénye értelmében egy adott testre ható erővektorok algebrai összegének időfüggvénye egyenlő a testre vonatkozó impulzusvektor időfüggvényének idő szerinti első deriváltjával. A kémiában a reakcióidőket, az operációkutatásban a gazdaságosságokat, a játékelméletben megfelelő stratégiákat lehet meghatározni vele stb.

A deriváltakat gyakran függvények extrémumainak meghatározására is alkalmazzuk. Függvényegyenletek is tartalmazhatnak deriváltakat, ezeket differenciálegyenleteknek nevezzük. Sok jelenségét le tudunk írni a differenciálszámítás alkalmazásával, általában azokat, melyek folytonos mozgással vagy változásokkal modellezhetőek.

A deriválási tételek, szabályok, tulajdonságok és ezek általánosításai megjelennek még a komplex analízisben, a függvényanalízisben, a differenciálgeometriában, az absztrakt algebrában is, illetve mind az elméleti, mind az alkalmazott természettudományok további területein.

A derivált[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Az alábbiakban csakis kizárólag egyváltozós, valós explicit függvények differenciálásával fogunk foglalkozni.

Legyen x és y valós szám, és y legyen x függvénye, tehát y = f(x). Az egyik legegyszerűbb függvény a lineáris függvény. Ennek képe egy egyenes. Ekkor y = f(x) = m x + c, ahol m és c valós számok. Itt m határozza meg f(x) meredekségét, c pedig azt, hogy f(x) hol metszi az y tengelyt (leggyakrabban ezt vertikális tengelyként ábrázoljuk). Könnyen belátható, hogy  \scriptstyle m=\frac {\mathrm{v\acute{a}ltoz\acute{a}s} ~ y}{\mathrm{v\acute{a}ltoz\acute{a}s} ~ x}={\Delta y \over{\Delta x}} \,. A Δ a görög delta betű, jelentése itt: "változás". Mivel y + Δy = f(x+ Δx) = m (x + Δx) + c = m x + c + m Δx = y + mΔx, ebből következik, hogy Δy = m Δx.

Bár ez csak lineáris függvényekre igaz, folytonos f függvényt közelíthetünk lineáris függvénnyel.

Elemi függvények deriváltjai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tételezzük fel, hogy f(x) függvény az értelmezési tartomány egészén folytonos, tehát nincs szakadása, továbbá differenciálható.

Alapfüggvény típusa Általános jelölése (elsőrendű) Deriváltja
Konstans függvény f (x) = c \quad (c \in R) f ' (x) = 0 \,
Lineáris függvény f (x) = c x \, f ' (x) = c \,
Hatványfüggvény f(x)=cx^n\, f'(x)=cn \cdot x^{n-1}
Szinusz trig.m.fv. f(x)= \sin x \, f'(x)= \sin \left(\frac{\pi}{2} + k2 \pi\right)= \cos x
Koszinusz trig.m.fv. f(x)= \cos x \, f'(x)= \sin (\pi+k2 \pi)=- \sin(x) \,
Exponenciális függvény f(x)=c^x \, f'(x)=c^x \cdot \ln c
Logaritmus függvény f(x)=\log_c x = \frac{\ln x}{\ln c} f'(x)=\frac{1}{x \cdot \ln c}

Inverz- és egyéb további függvények deriváltjairól a Derivált szócikkben olvashatsz.

Differenciálási szabályok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Vannak olyan összetett függvények, melyek nem lettek külön megemlítve az elemi függvények deriváltfüggvényei között. Ezek például a két függvény hányadosából előállított függvények. Összetett függvények differenciálásához szükségesek a következő szabályok:

  • \left[ f(x) \pm g(x) \right]' = f'(x) \pm g'(x)

miszerint, két függvény összegének deriváltján az egyik függvény deriváltjának, valamint a másik függvény deriváltjának összegét értjük.

  • \left[ c\! \cdot \! f(x) \right]' = c \! \cdot \! f'(x)

tehát, bármely függvény "szorzó-konstansa" kivihető a deriváltjel alól (melyek az integrálási azonosságokhoz hasonlóan adódnak).

  • \left[ f(x) \cdot g(x) \right]' = f'(x)\! \cdot \! g(x) \; + \; f(x) \! \cdot \! g'(x)

vagyis, azt mondhatjuk, hogy két függvény szorzatának deriváltja az egyik függvény deriváltjának és a másik függvény szorzatának, valamint az egyik függvény és a másik függvény deriváltjának szorzatának összegével egyenlő.

  • \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right]' = \frac{f'(x) \! \cdot \! g(x) \; - \; f(x) \! \cdot \! g'(x)}{g^2(x)}

avagy, két függvény hányadosának deriváltján (a két függvény szorzatának deriváltjából kiindulva) az egyik függvény deriváltjának és a másik függvény szorzatának, valamint az egyik függvény és a másik függvény deriváltjának szorzatának különbségének és a második függvény négyzetének hányadosával egyenlő.

  • \left[ f(x) \circ g(x) \right]' = f'(g(x)) \! \cdot \! g' (x) (láncszabály)

azaz, két függvény kompozíciójának deriváltja az első függvény deriváltjának a második függvény értékén, és a második függvény deriváltjának szorzatával egyenlő.

A differenciálszámítás gyakorlati alkalmazása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Analízis[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen adott az \scriptstyle f(x) = x^3 + 8x^2 + 16x harmadfokú függvény. Elemezzük ezt a függvényt az alábbi szempontok alapján:

  • /Függvénytípus meghatározása (a függvénycsalád definiálása)/
  • Értelmezési tartomány
  • Értékkészlet
  • Zérushely(ek)
  • Határérték
  • Szélsőértékek (extrémumok)
  • Monotonitás
  • Inflexiós pont(ok)
  • Konvexitás
  • Sajátos függvényvonások: paritás (és szimmetria), aszimptoták.

Függvénytípus: Egyváltozós explicit-, algebrai-, harmadfokú függvény.

Értelmezési tartomány:

\scriptstyle D_f: \forall x \in \mathbb{R}

Értékkészlet:

\scriptstyle R_f: \forall y \in \mathbb{R}

Zérushely(ek):

A zérushelyek megállapításához meg kell oldanunk a következő harmadfokú egyenletet:

\scriptstyle x^3 + 8x^2 + 16x = 0

\scriptstyle x(x^2+8x+16) = 0 (kiemeltünk 'x'-et)

Ebből a megoldások: \scriptstyle x_1 = 0 és \scriptstyle x_2 = -4

Határérték(ek):

\lim_{x\rightarrow +\infty} x^3+8x^2+16x = +\infty

\lim_{x\rightarrow -\infty} x^3+8x^2+16x = -\infty

(tehát a függvénynek az értelmezési tartomány egészén nincs határértéke /az \scriptstyle x \in \mathbb{R} intervallumon/.)

Extrémumok (lokális szélsőértékek):

Bármely függvény (lehetséges!) szélsőértékeinek helyét a függvény első deriváltjának zérushelye(i) adja:

\scriptstyle f'(x)= 3x^2+16x+16

\scriptstyle 3x^2+16x+16 = 0

\scriptstyle x_1 = -1\frac{1}{3}

\scriptstyle x_2 = -4

Hogy melyik x lesz a minimum és maximum hely, azt az f(x)-be történő behelyettesítés után kapott érték után tudjuk egyértelműen eldönteni (a kapott x-eket helyettesítsük be f(x)-be!):

\scriptstyle f(x) = x^3 + 8x^2 + 16x

\scriptstyle x_1 = -1\frac{1}{3}

\scriptstyle f(x_1 = -1\frac{1}{3}) = \left(-1\frac{1}{3}\right)^3 + 8\cdot \left(-1\frac{1}{3}\right)^2 + 16\cdot \left(-1\frac{1}{3}\right) = -256/27 \approx -9,4815

\scriptstyle f(x) = x^3 + 8x^2 + 16x

\scriptstyle x_2 = -4

\scriptstyle f(x_2 = -4) = (-4)^3 + 8\cdot (-4)^2 + 16\cdot (-4) = 0

Tehát: \scriptstyle f(x_2) > f(x_1)

Így: \scriptstyle x_{max} = -4; x_{min} = -1\frac{1}{3}.

Ha az első derivált 0, még mindig elképzelhető, hogy a függvénynek azon a helyen nincs sem lokális minimuna, sem lokális maximuma, például a \scriptstyle g(x)=x^3 függvény deriváltja a 0 helyen: \frac{d}{dx}x^3\Bigg|_{x=0}=0, pedig nincs szélsőérték.

Monotonitás:

A monotonitás meghatározásához többféle kalkulus módszert és/vagy tételt alkalmazhatunk, mi azonban használjuk fel azt, hogy az extrémumok meghatározása után vagyunk és tudunk következtetést mondani a függvény egyszerűsége miatt a függvény monotonitására. A páratlan kitevős algebrai függvény grafikonja és a lokális szélsőértékek miatt:

f(x) függvény extrémumai (x):

\scriptstyle x_{max} = -4 és \scriptstyle x_{min} = -1\frac{1}{3}, tehát tekintsük ezen pontok halmazait monotonitás szempontjából:

  • Az f(x) függvény szigorúan monoton növekvő az \scriptstyle x\in ]-\infty; -4[ \cup ]-1\frac{1}{3}; +\infty [ intervallumon
  • Az f(x) függvény szigorúan monoton csökkenő ugyanezen valós számhalmaz komplementerén, azaz: \scriptstyle x\in ]-4; -1\frac{1}{3}[

Inflexiós pontok (konvexitás határok): Bármely függvény inflexiós pontja(i)nak helyét a függvény második deriváltjának zérushelye(i) adja meg:

\scriptstyle f''(x)= 6x+16

\scriptstyle 6x+16 = 0

\scriptstyle x = \frac{-16}{6}

Az inflexiós pont (IP) koordinátái: \scriptstyle IP\left(-\frac{16}{6}; -\frac{256}{54}\right).

Figyeljünk arra, hogy inflexiós pont sem mindig létezik, csak ha \scriptstyle f'''(x_0) \neq 0, tehát a harmadik deriváltnak zérustól különbözőnek kell lennie. Vannak azonban olyan esetek, amikor ennek ellenére mégis van zérushelye a függvénynek (pl. az \scriptstyle f(x)=x \cdot |x|, mivel e függvény inflexiós pontja: \scriptstyle IP(0; 0)).

Konvexitás:

Az inflexiós pontnak és a függvény grafikonjának megsejtésének köszönhetően megmondhatjuk, hogy a függvény hol konvex, illetve konkáv:

  • Az f(x) függvény konvex az x ∈ ]-∞ ; -16/6 [ intervallum egészén;
  • Az f(x) függvény konkáv az x ∈ ]-16/6 ; +∞ [ intervallum egészén.

Koordinátageometria[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lineáris közelítés: Legyen adott f függvény. Ekkor f-nek az x0 abszcisszájú pontjába húzható érintőjének egyenlete: y = f(x0)+f'(x0)(x-x0). Tekintsük az f(x)=x² algebrai polinom függvényt, valamint x0=4 pontját. Ekkor f-nek az x0 abszcisszájú pontjába húzható érintő egyenes egyenlete esetünkben: y = 16 + 8(x-4), azaz: 8x - y = 16. Megj.: minden lineáris és konstans függvény érintője önmaga (∀x∈R -ben)

Simulókör egyenlete:

Ívdifferenciál kiszámítása. A függvények differenciáljának definícióját felhasználva: r = √1+y'².

Differenciálegyenletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Differenciálegyenletek megoldása és megoldhatósága, nevezetes és közönséges differenciálegyenletek és problémák.

Egyéb analitikus területek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Középérték tétel: Legyen adott az f függvény, amelyre teljesül, hogy folytonos az [a, b] intervallumon, valamint differenciálható az ]a, b[ intervallumon. Ekkor ∃c∈]a, b[, hogy azt mondhatjuk: [f(b)-f(a)]:(b-a) = f'(c).

Függvények közelítő értéke: Legyen adott f függvény, melynek x0 helyen vett helyettesítési értékét nem, vagy csak feltételesen, illetve legtöbbször csak hosszú munkával tudnánk kiszámítani. Ekkor az f(x0+t) helyettesítési értéket a differenciálszámítás tulajdonságát kihasználva felbontással úgy kapjuk, hogy: f(x0+t) = f(x0)+f'(x0)t (feltéve, hogy t minimális). Számítsuk ki f=√1000 értékét! Nyilvánvaló, hogy 1024-et könnyen meg tudjuk mondani kettő egész kitevős hatványaként: 210, mely 1000-hez kellően közeli környezetében van. Ekkor a képletet felhasználva: f(1024-24)=32+(1/2·32)·(-24) ≈ 31,62.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Thomas, George B., Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano. 3-4., Thomas-féle Kalkulus I., 2. kiadás (magyar nyelven), Typotex: Budapest. ISBN 978 963 2790 114 (2006)