Inflexiós pont

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Az f(x) = x3 függvény inflexiós pontja a (0,0)-ban van. Az x = 0 pontban a függvénynek nincs szélsőértéke, mert az f'(x) > 0 minden más pontban, tehát a függvény mindenütt szigorúan monoton növekvő

Az inflexiós pont (vagy hajlási pont) a függvénytanban, függvények analízisénél használt kifejezés, azt a pontot jelenti, ahol a függvénygörbe görbületet vált. A görbe alakja az inflexiós pontban változik konkávból konvexbe, vagy fordítva. A gyakorlati életben ha az ember egy járművel hajtana végig a görbén, akkor egy pillanatig egyenes lenne a kormány, miközben a jármű jobbról balra, vagy balról jobbra fordul.

Az x3 + 2x2 függvény inflexiós pontja, és az inflexiós pontban a függvényhez húzott érintő.

Az alábbi definíciók ekvivalensek:

  • Ha az f függvénynek x0 pontban inflexiós pontja van, akkor az első deriváltjának x0-ban szélsőértéke van: minimum vagy maximum (lehet csak helyi szélsőérték is)
  • Az inflexiós pont az a pont a görbén, amelyben a második derivált előjelet vált (azaz az inflexiós pontban a második derivált függvényértéke nulla f"(x0)=0).
  • A függvénygörbének az a pontja, amelybe ha érintőt húzunk, akkor az érintő egyenese átmetszi a függvényt az inflexiós pontban. Ezt könnyű belátni, ugyanis a konvex és konkáv része a grafikonnak csak az érintő különböző oldalán lehet.

Feltételek az inflexiós pont létezéséhez[forrásszöveg szerkesztése]

Szükséges feltételek[forrásszöveg szerkesztése]

  • f legyen az x0 pont egy környezetében kétszer differenciálható
  • x0 az inflexiós pont,
    ekkor:

Elégséges feltételek[forrásszöveg szerkesztése]

  • f függvény második deriváltja előjelet vált x0 pontban. Ha pozitívból negatívba vált az inflexiós pontban, akkor konvexből konkávba vált, ha negatívból pozitívba vált, akkor pedig konkávból konvexbe megy át.
  • Legyen az f függvény x0 pont egy környezetében háromszor differenciálható. Ekkor ha és , akkor inflexiós pont. Ha az , akkor a függvénygörbe konkávból konvexbe, ha pedig akkor konvexből konkávba vált.

Az inflexiós pont egy speciális, magasabb dimenziókban előforduló fajtája a nyeregpont.

Amennyiben a függvény első deriváltja egy adott pontban szélsőértéket vesz fel, akkor abból következik, hogy abban a pontban a második derivált értéke nulla: f''(x) = 0, de az első feltétel önmagában még nem elegendő az inflexiós pont meglétéhez. Általánosan ennek megállapításához mindig szükség van a legutolsó még nem nulla deriváltfüggvény megvizsgálására.

Példa[forrásszöveg szerkesztése]

A függvény második deriváltja:

Ekkor teljesülnie kell, hogy:

Az eredmény x=2. Egyúttal

ami nem 0, azaz a függvénynek itt inflexiós pontja van.

Különleges esetek[forrásszöveg szerkesztése]

1.
Ennek a függvénynek a grafikonja görbületet vált az x = 0 pontban konvexből konkávba. Ennek ellenére ez nem inflexiós pont, mivel itt az első derivált nem létezik, tehát szélsőértéke sem lehet.

2.
Ennek a függvénynek az x = 0 pontban inflexiós pontja van, bár a nem létezik az . Ennek ellenére az első deriváltnak, -nek x = 0-ban minimuma van.