Inflexiós pont

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Az y = x3 függvény, inflexciós pontja a (0,0)-ban van. Az x = 0 pontban a függvénynek nincs szélsőértéke, mert az f'(x) > 0 minden más pontban, tehát a függvény mindenütt szigorúan monoton növekvő

Az inflexiós pont (vagy hajlási pont) a függvénytanban, függvények analízisénél használt kifejezés, azt a pontot jelenti, ahol a függvénygörbe görbületet vált. A görbe alakja az inflexiós pontban változik konkávból konvexbe, vagy fordítva. A gyakorlati életben ha az ember egy járművel hajtana végig a görbén, akkor egy pillanatig egyenes lenne a kormány, miközben a jármű jobbról balra, vagy balról jobbra fordul.

Az x^3 + 2x^2 függvény inflexiós pontja, és az inflexiós pontban a függvényhez húzott érintő.

Az alábbi definíciók ekvivalensek:

  • Ha az f függvénynek x0 pontban inflexiós pontja van, akkor az első deriváltjának x0-ban szélsőértéke van: minimum vagy maximum (lehet csak helyi szélsőérték is)
  • Az inflexiós pont az a pont a görbén, amelyben a második derivált előjelet vált (azaz az inflexiós pontban a függvényérték nulla f"(x0)=0).
  • A függvénygörbének az a pontja, amelybe ha érintőt húzunk, akkor az érintő egyenese átmetszi a függvényt az inflexiós pontban. Ezt könnyű belátni, ugyanis a konvex és konkáv része a grafikonnak csak az érintő különböző oldalán lehet.

Feltételek az inflexiós pont létezéséhez[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Szükséges feltételek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • f legyen az x0 pont egy környezetében kétszer differenciálható
  • x0 az inflexiós pont,
    ekkor:

f''(x_W)=0 \,

Elégséges feltételek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • f függvény második deriváltja előjelet vált x0 pontban. Ha f\,''(x) pozitívból negatívba vált az inflexiós pontban, akkor f\,(x) konvexből konkávba vált, ha f\,''(x) negatívból pozitívba vált, akkor pedig f\,(x) konkávból konvexbe megy át.
  • Legyen az f függvény x0 pont egy környezetében háromszor differenciálható. Ekkor ha f\,''(x_0)=0 és f'''(x_0) \neq 0, akkor x_0 inflexiós pont. Ha az \,f''' > 0, akkor a függvénygörbe konkávból konvexbe, ha pedig \,f''' < 0 akkor konvexből konkávba vált.

Az inflexiós pont egy speciális, magasabb dimenziókban előforduló fajtája a nyeregpont.

Amennyiben a függvény első deriváltja egy adott pontban szélsőértéket vesz fel, akkor abból következik, hogy abban a pontban a második derivált értéke nulla: f''(x) = 0, de az első feltétel önmagában még nem elegendő az inflexiós pont meglétéhez. Általánosan ennek megállapításához mindig szükség van a legutolsó még nem nulla deriváltfüggvény megvizsgálására.

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

 { f(x) } = { 1 \over 3 } \cdot x^3 - 2 \cdot x^2 + 3 \cdot x

A függvény második deriváltja:

 {f''(x)} = {2 \cdot x - 4}

Ekkor teljesülnie kell, hogy:

 {f''(x)} = 0 = {2 \cdot x - 4}

Az eredmény x=2. Egyúttal

 {f'''(x)} = 2 \,

ami nem 0, azaz a függvénynek itt inflexiós pontja van.

Különleges esetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

1.  { f(x) } = (x-2)\cdot e^{|x|}
Ennek a függvénynek a grafikonja görbületet vált az x = 0 pontban konvexből konkávba. Ennek ellenére ez nem inflexiós pont, mivel itt az első derivált nem létezik, tehát szélsőértéke sem lehet.

2.  { f(x) } = x \cdot|x|
Ennek a függvénynek az x = 0 pontban inflexiós pontja van, bár a nem létezik az  {f''(0)} \,. Ennek ellenére az első deriváltnak,  {f'} \,-nek x = 0-ban minimuma van.