Karakterisztikus függvény (valószínűségszámítás)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A karakterisztikus függvény a valószínűségszámításban egy speciális, komplex értékű függvény, ami véges mértékekhez vagy szűkebb értelemben valószínűségi mértékekhez, illetve eloszlásokhoz rendelhető hozzá. A hozzárendelés bijektív, a karakterisztikus függvény meghatározza az eloszlást.

Jelentőségét az adja, hogy a valószínűségeloszlások egyes tulajdonságait könnyebb megismerni a karakterisztikus függvényből, mint az eloszlásból vagy más függvényekből. Így a valószínűségi mértékek konvolúciójára a karakterisztikus függvények szorzatából lehet következtetni.

Definíció[szerkesztés]

Legyen véges mérték -en. Ekkor karakterisztikus függvénye egy

komplex értékű függvény:

Ha , akkor ugyanez a definíció érvényes. Ha valószínűségi változó, és eloszlása , akkor karakterisztikus függvénye

.

Speciális esetek:

.
  • Ha -nek van valószínűségi függvénye, és valószínűségi függvénye , akkor
.

Elemi példák[szerkesztés]

Ha Poisson-eloszlású, akkor valószínűségi függvénye

.

A valószínűségi függvényt használó kifejezéssel

Ha paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó, valószínűségi függvénye

Ezzel

További példák majd táblázatban lesznek megadva.

Tulajdonságai[szerkesztés]

Egy (–1,1) szakaszon folytonos egyenletes eloszlású valószínűségi változó karakterisztikus függvénye a sinc függvény. Mivel ez az eloszlás szimmetrikus, azért karakterisztikus függvénye valós értékű. Nem szimmetrikus eloszlások esetén nem ez a helyzet.

Létezés[szerkesztés]

Minden véges mértéknek, így minden valószínűségi mértéknek és eloszlásnak van karakterisztikus függvénye. Az integrál mindig konvergens, mivel

.

Korlátosság[szerkesztés]

A karakterisztikus függvény mindig korlátos, teljesül, hogy

.

Szimmetria[szerkesztés]

A karakterisztikus függvény pontosan akkor valós, ha eloszlása szimmetrikus, különben hermitikus, azaz

.

Folytonosság[szerkesztés]

A karakterisztikus függvények egyenletesen folytonosak.

Jellemzése[szerkesztés]

Érdekes kérdés, hogy mely függvények lehetnek karakterisztikus függvények. Pólya tétele elégséges kritériumokat ad: Legyen az függvény olyan, hogy:

  • konvex az félegyenesen, továbbá
  • folytonos páros függvény,

Ekkor van valószínűségi mérték, aminek karakterisztikus függvénye.

Szükséges és elégséges kritériumot Bochner tétele ad: Egy folytonos : függvény akkor és csak akkor karakterisztikus függvény, ha pozitív szemidefinit és .

Kapcsolatok más függvényekkel[szerkesztés]

Lineáris transzformáció[szerkesztés]

  minden valós számra.

Sűrűségfüggvény[szerkesztés]

Ha integrálható, akkor sűrűségfüggvénye rekonstruálható, mint

Momentumok[szerkesztés]

  minden természetes számra, ha .

Speciálisan

Ha egy esetén az várható érték véges, akkor -szer folytonosan differenciálható, és körül Taylor-sorba fehthető:

Speciálisan, ha és :

Sűrűségfüggvények konvolúciója[szerkesztés]

Ha és független valószínűségi változók, akkor karakterisztikus függvénye

mivel a függetlenség miatt

Ugyanolyan eloszlású, független valószínűségi változók[szerkesztés]

Legyenek független valószínűségi változók ugyanabból az eloszlásból, és szintén valószínűségi változó, aminek értékei -ból kerülnek ki, és minden -től független, ekkor

az valószínűséggeneráló függvényéből és karakterisztikus függvényéből számítható:

.

Egyértelműség[szerkesztés]

Ha , valószínűségi változók, és minden -re, akkor , azaz és ugyanolyan eloszlású. Ezzel egyes eloszlások konvolúciója könnyebben meghatározható.

Ebből lehet következtetni Lévy folytonossági tételére: Az valószínűségi változók sorozata pontosan akkor konvergens eloszlásban, ha minden esetén. Ezt a centrális határeloszlás tételéhez lehet felhasználni.

Példák[szerkesztés]

Eloszlás karakterisztikus függvény
Diszkrét eloszlások
Binomiális eloszlás
Poisson-eloszlás
Negatív binomiális eloszlás
Abszolút folytonos eloszlások
Standard normális eloszlás
Normális eloszlás
Folytonos egyenletes eloszlás
Standard Cauchy-eloszlás
Gamma-eloszlás

Általánosabb definíciók[szerkesztés]

Valószínűségi vektorváltozók[szerkesztés]

Valószínűségi vektorváltozókra is definiálható a karakterisztikus függvény. Legyen dimenziós valószínűségi vektorváltozó. Ekkor

az karakterisztikus függvénye, ahol a skaláris szorzás.

Tetszőleges mértékek[szerkesztés]

Tetszőleges mértékek esetén kompakt tartójú, korlátos, mérhető, valós értékű függvényekre értelmezhető a karakterisztikus függvény, mint

ahol a mérték. A mérték egyértelmű, az összes ilyen függvény karakterisztikus függvénye meghatározza.

Kapcsolat más generátorfüggvényekkel[szerkesztés]

A valószínűségszámítás további fontos generátorfüggvényei a valószínűséggeneráló függvény és a momentumgeneráló függvény.

Egy értékű valószínűségi változó karakterisztikus függvénye . Emiatt .

Egy valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye . Eszerint, ha létezik a momentumgeneráló függvény, akkor . A karakterisztikus függvénnyel szemben ez nem mindig teljesül.

A kumulánsgeneráló függvény a momentumgeneráló függvény logaritmusa. Belőle származtatják a kumulánsokat.

Források[szerkesztés]

  • Eugen Lukacs: Characteristic functions. Griffin, London 1960 (2., erweiterte Auflage 1970), ISBN 0-85264-170-2
  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Charakteristische Funktion (Stochastik) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.